Закон Планка

Спектральная плотность света, излучаемого черным телом

Закон Планка точно описывает излучение черного тела. Здесь показано семейство кривых для разных температур. Классическая (черная) кривая расходится с наблюдаемой интенсивностью на высоких частотах (коротких волнах). Формула в единицах cgs

В физике закон Планка (также закон излучения Планка ^{[1] : 1305} ) описывает спектральную плотность электромагнитного излучения, испускаемого черным телом , находящимся в тепловом равновесии при заданной температуре T , когда между телами нет чистого потока вещества или энергии . и его окружение. ^[2]

В конце XIX века физики не смогли объяснить, почему наблюдаемый спектр излучения черного тела , который к тому времени был точно измерен, значительно отличался на более высоких частотах от предсказанного существующими теориями. В 1900 году немецкий физик Макс Планк эвристически вывел формулу для наблюдаемого спектра, предположив, что гипотетический электрически заряженный осциллятор в полости, содержащей излучение черного тела, может изменять свою энергию только с минимальным приращением E , которое было пропорционально частоте. связанной с ним электромагнитной волны . В то время как Планк первоначально рассматривал гипотезу о разделении энергии на приращения как математическую уловку, введенную просто для получения правильного ответа, другие физики, включая Альберта Эйнштейна, опирались на его работу, и теперь идея Планка признана имеющей фундаментальное значение для квантовой теории .

Закон

Каждое физическое тело самопроизвольно и непрерывно излучает электромагнитное излучение , а спектральное излучение тела B _ν описывает спектральную излучательную мощность на единицу площади, на единицу телесного угла и на единицу частоты для определенных частот излучения. Соотношение закона излучения Планка, приведенное ниже, показывает, что с ростом температуры полная излучаемая энергия тела увеличивается и пик излучаемого спектра смещается в сторону более коротких волн. ^[3] Согласно закону распределения Планка, спектральная плотность энергии (распределение энергии) при данной температуре определяется выражением (единицы СИ): ^{[4] [5]}

$${\displaystyle u_{\nu }(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$$

частоты νабсолютной температуре Tединицах СГС^{[6] [7] [8]}

$${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$$

k _Bпостоянная Больцманаhпостоянная Планкаcскорость светаяркости B _νэрг · с ^-1 · ср ^-1 · см ^-2 · Гц ^-1Bu4π/сBcдлины волны λ

В пределе низких частот (т.е. длинных волн) закон Планка стремится к закону Рэлея-Джинса , а в пределе высоких частот (т.е. малых длин волн) он стремится к приближению Вина .

Макс Планк разработал закон в 1900 году, используя только эмпирически определенные константы, а позже показал, что, выраженный в виде распределения энергии, это уникальное стабильное распределение излучения в термодинамическом равновесии . ^[2] Как распределение энергии, это одно из семейства распределений теплового равновесия, которые включают распределение Бозе-Эйнштейна , распределение Ферми-Дирака и распределение Максвелла-Больцмана .

Излучение черного тела

Солнце приближается к излучателю черного тела. Его эффективная температура составляет около5777 К.

Черное тело — это идеализированный объект, который поглощает и излучает все частоты излучения. Вблизи термодинамического равновесия испускаемое излучение точно описывается законом Планка, и из-за его зависимости от температуры излучение Планка называется тепловым излучением, так что чем выше температура тела, тем больше излучения оно излучает на каждой длине волны.

Планковское излучение имеет максимальную интенсивность на длине волны, которая зависит от температуры тела. Например, при комнатной температуре (~300  К ), тело излучает тепловое излучение, преимущественно инфракрасное и невидимое. При более высоких температурах количество инфракрасного излучения увеличивается и может ощущаться как тепло, а излучается более видимое излучение, поэтому тело светится заметно красным. При более высоких температурах тело становится ярко-желтым или сине-белым и испускает значительное количество коротковолнового излучения, включая ультрафиолетовые и даже рентгеновские лучи . Поверхность Солнца (~6000 К ) излучает большое количество как инфракрасного, так и ультрафиолетового излучения; его излучение достигает максимума в видимом спектре. Этот сдвиг, обусловленный температурой, называется законом смещения Вина .

Планковское излучение — это наибольшее количество излучения, которое любое тело, находящееся в тепловом равновесии, может излучать со своей поверхности, независимо от его химического состава или структуры поверхности. ^[9] Прохождение излучения через границу раздела сред можно охарактеризовать излучательной способностью границы раздела (отношение фактической яркости к теоретической планковской радиации), обычно обозначаемой символом ε . Обычно он зависит от химического состава и физической структуры, от температуры, длины волны, угла прохождения и поляризации . ^[10] Коэффициент излучения естественного интерфейса всегда находится в диапазоне ε = 0 и 1.

Тело, которое взаимодействует с другой средой, которая имеет ε = 1 и поглощает все падающее на него излучение, называется черным телом. Поверхность черного тела можно смоделировать небольшим отверстием в стене большого помещения, температура которого поддерживается одинаковой, а непрозрачные стены не обладают идеальной отражающей способностью на каждой длине волны. В состоянии равновесия излучение внутри этой оболочки описывается законом Планка, как и излучение, выходящее из маленькой дыры.

Точно так же, как распределение Максвелла-Больцмана является уникальным распределением энергии максимальной энтропии для газа материальных частиц в состоянии теплового равновесия, так же и распределение Планка для газа фотонов . ^{[11] [12]} В отличие от материального газа, где массы и количество частиц играют роль, спектральная яркость, давление и плотность энергии фотонного газа при тепловом равновесии полностью определяются температурой.

Если фотонный газ не является планковским, второй закон термодинамики гарантирует, что взаимодействия (между фотонами и другими частицами или даже, при достаточно высоких температурах, между самими фотонами) приведут к изменению распределения энергии фотонов и приближению к планковскому распределению. При таком подходе к термодинамическому равновесию фотоны создаются или уничтожаются в нужном количестве и с нужными энергиями, чтобы заполнить полость с распределением Планка, пока они не достигнут равновесной температуры. Как будто газ представляет собой смесь суб-газов, по одному для каждого диапазона длин волн, и каждый суб-газ в конечном итоге достигает общей температуры.

Величина B _ν ( ν , T ) представляет собой спектральную яркость как функцию температуры и частоты. В системе СИ он имеет единицы измерения Вт · м ^-2 · ср ^-1 · Гц ^-1 . Бесконечно малая мощность B _ν ( ν , T ) cos θ dA d Ω dν излучается в направлении, описываемом углом θ от нормали к поверхности из бесконечно малой площади поверхности dA в бесконечно малый телесный угол d Ω в бесконечно малой полосе частот шириной dν с центром на частоте ν . Полная мощность, излучаемая в любой телесный угол, представляет собой интеграл от B _ν ( ν , T ) по этим трем величинам и определяется законом Стефана-Больцмана . Спектральная яркость планковского излучения черного тела имеет одно и то же значение для каждого направления и угла поляризации, поэтому черное тело называется ламбертовским излучателем .

Различные формы

Закон Планка можно встретить в нескольких формах в зависимости от соглашений и предпочтений различных научных областей. Различные формы закона спектральной яркости суммированы в таблице ниже. Формы слева чаще всего встречаются в экспериментальных областях , а формы справа чаще всего встречаются в теоретических областях .

В формулировке дробной полосы пропускания , и интегрирование производится по . ${\textstyle x={\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}={\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}$ ${\textstyle \mathrm {d} (\ln x)=\mathrm {d} (\ln \nu )={\frac {\mathrm {d} \nu }{\nu }}=-{\frac {\mathrm {d} \lambda }{\lambda }}=-\mathrm {d} (\ln \lambda )}$

Закон Планка также можно записать через спектральную плотность энергии ( u ), умножив B на4π/с: ^[17]

$${\displaystyle u_{i}(T)={\frac {4\pi }{c}}B_{i}(T).}$$

Эти распределения представляют спектральную яркость абсолютно чёрных тел — мощность, излучаемую излучающей поверхностью, на единицу проекции излучающей поверхности, на единицу телесного угла , на единицу спектра (частоту, длину волны, волновое число или их угловые эквиваленты, или дробную частоту или длину волны). . Поскольку излучение изотропно (т.е. не зависит от направления), мощность, излучаемая под углом к ​​нормали , пропорциональна проецируемой площади и, следовательно, косинусу этого угла согласно закону косинуса Ламберта , и неполяризована .

Соответствие форм спектральных переменных

Разные спектральные переменные требуют разных соответствующих форм выражения закона. В общем, нельзя переходить между различными формами закона Планка, просто заменяя одну переменную другой, поскольку при этом не будет учитываться, что разные формы имеют разные единицы измерения. Единицы длины волны и частоты обратны.

Соответствующие формы выражения родственны, поскольку выражают один и тот же физический факт: для определенного физического спектрального приращения излучается соответствующее определенное приращение физической энергии.

Это так, независимо от того, выражается ли это в терминах приращения частоты d ν или, соответственно, длины волны d λ или дробной полосы пропускания d ν / ν или d λ / λ . Введение знака минус может указывать на то, что увеличение частоты соответствует уменьшению длины волны.

Чтобы преобразовать соответствующие формы так, чтобы они выражали одну и ту же величину в одних и тех же единицах, мы умножаем на спектральное приращение. Тогда для конкретного приращения спектра конкретное приращение физической энергии можно записать

$${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda =-B_{\nu }(\nu (\lambda ),T)\,d\nu ,}$$

$${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)=-{\frac {d\nu }{d\lambda }}B_{\nu }(\nu (\lambda ),T).}$$

Кроме того, ν ( λ ) =с/λ, так чтоdν/dλ= −с/λ ². Подстановка дает соответствие между формами частоты и длины волны с их разными размерностями и единицами измерения. ^{[15] [18]} Следовательно,

$${\displaystyle {\frac {B_{\lambda }(T)}{B_{\nu }(T)}}={\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {\nu ^{2}}{c}}.}$$

Очевидно, положение максимума спектрального распределения закона Планка зависит от выбора спектральной переменной. Тем не менее, так сказать, эта формула означает, что форма спектрального распределения не зависит от температуры в соответствии с законом смещения Вина, как подробно описано ниже в подразделе « Процентили» раздела «Свойства».

Форма дробной ширины полосы связана с другими формами соотношением ^[16]

${\displaystyle B_{\ln x}=\nu B_{\nu }=\lambda B_{\lambda }}$.

Первая и вторая константы излучения

В приведенных выше вариантах закона Планка варианты длины волны и волнового числа используют термины 2 hc ² ихк/к _Бкоторые содержат только физические константы. Следовательно, эти члены сами по себе могут рассматриваться как физические константы ^[19] и поэтому называются первой постоянной излучения c _{1 L} и второй постоянной излучения c ₂ с

в _{1 L} = 2 hc ²

и

с ₂ =хк/к _Б.

Используя константы излучения, вариант закона Планка с длиной волны можно упростить до

$${\displaystyle L(\lambda ,T)={\frac {c_{1L}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}$$

волнового числа

L используется здесь вместо B, потому что это символ SI, обозначающий спектральную яркость . L в c 1 _L относится к этому _. Эта ссылка необходима, потому что закон Планка можно переформулировать, чтобы получить спектральную яркость излучения M ( λ , T ) , а не спектральную яркость L ( λ , T ) , и в этом случае c ₁ заменяет c _{1 L} на

с ₁ знак равно 2π hc ² ,

так что закон Планка для спектральной световой активности можно записать как

$${\displaystyle M(\lambda ,T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}$$

По мере совершенствования методов измерения Генеральная конференция по мерам и весам пересмотрела свою оценку c ₂ ; подробности см. в Планковском локусе § Международной температурной шкалы .

Физика

Вымораживание генераторов высоких энергий

Закон Планка описывает уникальное и характерное спектральное распределение электромагнитного излучения в термодинамическом равновесии, когда нет чистого потока вещества или энергии. ^[2] Его физику легче всего понять, рассматривая излучение в полости с жесткими непрозрачными стенками. Движение стен может повлиять на излучение. Если стенки непрозрачны, то термодинамическое равновесие не изолировано. Представляет интерес объяснить, как достигается термодинамическое равновесие. Есть два основных случая: (а) когда термодинамическое равновесие приближается к присутствию материи, когда стенки полости несовершенно отражают для каждой длины волны или когда стенки идеально отражают, в то время как полость содержит небольшое черное тело ( это был основной случай, рассмотренный Планком); или (б) когда приближение к равновесию происходит при отсутствии материи, когда стенки идеально отражают все длины волн, а полость не содержит материи. Для вещества, не заключенного в такую ​​полость, тепловое излучение можно приближенно объяснить соответствующим использованием закона Планка.

Классическая физика с помощью теоремы о равнораспределении привела к ультрафиолетовой катастрофе — предсказанию, что полная интенсивность излучения абсолютно черного тела бесконечна. Если дополнить классически неоправданное предположение о том, что по какой-то причине излучение конечно, классическая термодинамика дает объяснение некоторых аспектов распределения Планка, таких как закон Стефана-Больцмана и закон смещения Вина . В случае присутствия материи квантовая механика дает хорошее объяснение, как показано ниже в разделе, озаглавленном «Коэффициенты Эйнштейна». Именно этот случай рассматривался Эйнштейном и сегодня используется в квантовой оптике. ^{[20] [21]} В случае отсутствия материи необходима квантовая теория поля, поскольку нерелятивистская квантовая механика с фиксированным числом частиц не обеспечивает достаточного объяснения.

Фотоны

Квантово-теоретическое объяснение закона Планка рассматривает излучение как газ безмассовых, незаряженных бозонных частиц, а именно фотонов, в термодинамическом равновесии . Фотоны рассматриваются как переносчики электромагнитного взаимодействия между электрически заряженными элементарными частицами. Число фотонов не сохраняется. Фотоны создаются или уничтожаются в нужном количестве и с нужными энергиями, чтобы заполнить полость с распределением Планка. Для фотонного газа, находящегося в термодинамическом равновесии, плотность внутренней энергии полностью определяется температурой; при этом давление целиком определяется плотностью внутренней энергии. Это отличается от случая термодинамического равновесия для материальных газов, для которых внутренняя энергия определяется не только температурой, но также независимо соответствующими числами различных молекул и, опять же, независимо специфическими характеристиками различных молекул. молекулы. Для разных материальных газов при данной температуре давление и плотность внутренней энергии могут изменяться независимо, поскольку разные молекулы могут независимо переносить разные энергии возбуждения.

Закон Планка возникает как предел распределения Бозе-Эйнштейна , распределения энергии, описывающего неинтерактивные бозоны в термодинамическом равновесии. В случае безмассовых бозонов, таких как фотоны и глюоны , химический потенциал равен нулю, и распределение Бозе-Эйнштейна сводится к распределению Планка. Существует еще одно фундаментальное равновесное распределение энергии: распределение Ферми – Дирака , которое описывает фермионы , такие как электроны, в тепловом равновесии. Эти два распределения различаются, поскольку несколько бозонов могут занимать одно и то же квантовое состояние, а несколько фермионов — нет. При низких плотностях число доступных квантовых состояний на частицу велико, и эта разница становится несущественной. В пределе низкой плотности распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака сводятся к распределению Максвелла-Больцмана .

Закон теплового излучения Кирхгофа

Закон теплового излучения Кирхгофа представляет собой сжатое и краткое описание сложной физической ситуации. Нижеследующее представляет собой вводный обзор этой ситуации и очень далек от строгого физического аргумента. Целью здесь является лишь суммирование основных физических факторов ситуации и основных выводов.

Спектральная зависимость теплового излучения

Существует разница между кондуктивной теплопередачей и радиационной теплопередачей . Радиационную теплопередачу можно фильтровать так, чтобы она пропускала только определенный диапазон радиационных частот.

Общеизвестно, что чем горячее становится тело, тем больше тепла оно излучает на каждой частоте.

В полости непрозрачного тела с жесткими стенками, не отражающими идеально ни на одной частоте, в термодинамическом равновесии существует только одна температура, и она должна быть общей для излучения каждой частоты.

Можно представить себе две такие полости, каждая из которых находится в своем изолированном радиационном и термодинамическом равновесии. Можно представить себе оптическое устройство, обеспечивающее радиационную передачу тепла между двумя полостями, фильтруемую так, чтобы пропускать только определенный диапазон излучательных частот. Если значения спектральной яркости излучений в полостях различаются в этой полосе частот, можно ожидать перехода тепла от более горячего к более холодному. Можно было бы предложить использовать такую ​​фильтрованную передачу тепла в такой полосе для привода тепловой машины. Если два тела имеют одинаковую температуру, второй закон термодинамики не позволяет тепловой машине работать. Можно сделать вывод, что для общей для двух тел температуры значения спектральной яркости в полосе пропускания также должны быть общими. Это должно соблюдаться для каждой полосы частот. ^{[22] [23] [24]} Это стало ясно Бальфуру Стюарту, а затем Кирхгофу. Бальфур Стюарт экспериментально обнаружил, что из всех поверхностей одна из ламповой сажи излучает наибольшее количество теплового излучения для каждого качества излучения, судя по различным фильтрам.

Размышляя теоретически, Кирхгоф пошел немного дальше и указал, что из этого следует, что спектральная яркость, как функция частоты излучения, любой такой полости в термодинамическом равновесии должна быть уникальной универсальной функцией температуры. Он постулировал идеальное черное тело, которое взаимодействует с окружающей средой таким образом, чтобы поглощать все падающее на него излучение. Согласно принципу взаимности Гельмгольца, излучение изнутри такого тела будет беспрепятственно проходить непосредственно к его окружению, не отражаясь на границе раздела. В термодинамическом равновесии тепловое излучение, испускаемое таким телом, будет иметь уникальное универсальное спектральное излучение в зависимости от температуры. Это понимание лежит в основе закона теплового излучения Кирхгофа.

Связь между поглощательной способностью и излучательной способностью

Можно представить себе небольшое однородное сферическое материальное тело, помеченное буквой _X и _{имеющее} температуру TX , лежащее в поле излучения внутри большой полости со стенками из материала, помеченного буквой Y , при температуре TY . Тело X излучает собственное тепловое излучение. На определенной частоте ν излучение, испускаемое из определенного поперечного сечения через центр X , в каком-то смысле в направлении, нормальном к этому поперечному сечению, может быть обозначено I _{ν , X} ( TX ₎ , что характерно для материала X. . На этой частоте _ν мощность излучения от стенок в это поперечное сечение в противоположном направлении в этом направлении может быть обозначена I _{ν , Y} ( TY ₎ , для температуры стенки TY . Для материала X , определяя поглощающую способность α _{ν , X , Y} ( TX _, TY ₎ как долю падающего излучения, поглощаемую _X , эта падающая энергия поглощается со скоростью α _{ν , X , Y} ( TX , Т _Y ) я _{ν , Y} ( Т _Y ) .

Тогда скорость q ( ν , T _X , TY ) накопления энергии в одном смысле в поперечном сечении тела может быть _{выражена}

$${\displaystyle q(\nu ,T_{X},T_{Y})=\alpha _{\nu ,X,Y}(T_{X},T_{Y})I_{\nu ,Y}(T_{Y})-I_{\nu ,X}(T_{X}).}$$

Основополагающее открытие Кирхгофа, упомянутое выше, заключалось в том, что при термодинамическом равновесии при температуре T существует уникальное универсальное распределение излучения, ныне обозначаемое B _ν ( T ) , которое не зависит от химических характеристик материалов X и Y , что приводит к к очень ценному пониманию равновесия радиационного обмена любого тела вообще, а именно.

Когда существует термодинамическое равновесие при температуре T , излучение полости от стенок имеет то единственное универсальное значение, так что I _{ν , Y} ( TY ₎ = B _ν ( T ) . Далее, можно определить излучательную способность _ε ν _{, X (} T X ₎ материала тела X так, чтобы при термодинамическом равновесии при температуре T _X = T было I _{ν , X} ( TX ) = I _{ν , X} ( Т ) знак равно ε _{ν , Икс} ( Т ) B _ν ( Т ) .

Когда тепловое равновесие преобладает при температуре _T = T X ₌ T Y _, скорость накопления энергии исчезает, так что q ( ν , T _X , TY ) = 0 . Отсюда следует, что в термодинамическом равновесии _{, когда} T = TX = TY ,

$${\displaystyle 0=\alpha _{\nu ,X,Y}(T,T)B_{\nu }(T)-\epsilon _{\nu ,X}(T)B_{\nu }(T).}$$

Кирхгоф указал, что из этого следует, что в термодинамическом равновесии _{, когда} T = TX = TY ,

$${\displaystyle \alpha _{\nu ,X,Y}(T,T)=\epsilon _{\nu ,X}(T).}$$

Вводя специальные обозначения α _{ν , X} ( T ) для поглощающей способности материала X при термодинамическом равновесии при температуре T (обоснованное открытием Эйнштейна, как указано ниже), имеем далее равенство

$${\displaystyle \alpha _{\nu ,X}(T)=\epsilon _{\nu ,X}(T)}$$

Продемонстрированное здесь равенство поглощательной способности и излучательной способности характерно для термодинамического равновесия при температуре T и, как правило, не следует ожидать его соблюдения, когда условия термодинамического равновесия не выполняются. Излучательная способность и поглощающая способность являются свойствами молекул материала по отдельности, но они по-разному зависят от распределения состояний молекулярного возбуждения в каждом конкретном случае из-за явления, известного как «вынужденное излучение», которое было открыто Эйнштейном. В тех случаях, когда материал находится в термодинамическом равновесии или в состоянии, известном как локальное термодинамическое равновесие, излучательная способность и поглощающая способность становятся равными. Очень сильное падающее излучение или другие факторы могут нарушить термодинамическое равновесие или локальное термодинамическое равновесие. Локальное термодинамическое равновесие в газе означает, что молекулярные столкновения намного перевешивают излучение и поглощение света при определении распределения состояний молекулярного возбуждения.

Кирхгоф указывал, что он не знает точного характера B _ν ( T ) , но считает важным его выяснить. Спустя четыре десятилетия после открытия Кирхгофом общих принципов его существования и характера вклад Планка заключался в определении точного математического выражения этого равновесного распределения B _ν ( T ) .

Черное тело

В физике рассматривается идеальное черное тело, обозначенное здесь как B , определяемое как тело, которое полностью поглощает все падающее на него электромагнитное излучение на каждой частоте ν (отсюда и термин «черное»). Согласно закону теплового излучения Кирхгофа это означает, что для каждой частоты ν в термодинамическом равновесии при температуре T имеется α _{ν , B} ( T ) = ε _{ν , B} ( T ) = 1 , так что тепловое излучение от черное тело всегда равно полной величине, определенной законом Планка. Ни одно физическое тело не может излучать тепловое излучение, превышающее тепловое излучение черного тела, поскольку, если бы оно находилось в равновесии с полем излучения, оно излучало бы больше энергии, чем падало на него.

Хотя идеально черных материалов не существует, на практике можно точно аппроксимировать черную поверхность. ^[2] Что касается материальной внутренней части, то тело из конденсированного вещества, жидкости, твердого тела или плазмы, имеющее определенную границу раздела с окружающей средой, является совершенно черным для излучения, если оно полностью непрозрачно. Это означает, что он поглощает все излучение, проникающее через границу тела с окружающей средой, и попадает в тело. Добиться этого на практике не так уж и сложно. С другой стороны, идеально черного интерфейса в природе не встречается. Идеально черный интерфейс не отражает излучение, а пропускает все, что на него падает, с любой стороны. Лучший практический способ создать эффективно черный интерфейс — это смоделировать «интерфейс» в виде небольшого отверстия в стенке большой полости в полностью непрозрачном твердом теле материала, которое не отражает идеально ни на одной частоте, со стенками, расположенными на одной частоте. контролируемая температура. Помимо этих требований, состав материала стен не ограничен. Излучение, попадающее в отверстие, практически не имеет возможности выйти из полости без поглощения при многократных ударах о ее стенки. ^[25]

Косинусный закон Ламберта

Как объяснил Планк ^[26] , излучающее тело имеет внутреннюю часть, состоящую из материи, и границу раздела с прилегающей к нему материальной средой, которая обычно является средой, изнутри которой наблюдается излучение с поверхности тела. Интерфейс не состоит из физической материи, а представляет собой теоретическую концепцию, математическую двумерную поверхность, совместное свойство двух смежных сред, строго говоря, не принадлежащее ни одной из них по отдельности. Такой интерфейс не может ни поглощать, ни излучать, поскольку не состоит из физической материи; но это место отражения и передачи излучения, поскольку это поверхность разрыва оптических свойств. Отражение и пропускание излучения на границе раздела подчиняются принципу взаимности Стокса–Гельмгольца .

В любой точке недр черного тела, находящегося внутри полости, находящейся в термодинамическом равновесии при температуре Т , излучение однородно, изотропно и неполяризовано. Черное тело поглощает все и не отражает ни одного падающего на него электромагнитного излучения. Согласно принципу взаимности Гельмгольца, излучение изнутри черного тела не отражается от его поверхности, а полностью передается наружу. Из-за изотропности излучения внутри тела спектральная яркость излучения, передаваемого из его внутренней части во внешнюю через его поверхность, не зависит от направления. ^[27]

Это выражается в том, что излучение поверхности черного тела, находящегося в термодинамическом равновесии, подчиняется закону косинуса Ламберта. ^{[28] [29]} Это означает, что спектральный поток d Φ( dA , θ , d Ω, dν ) от заданного бесконечно малого элемента площади dA фактической излучающей поверхности черного тела, обнаруженный с заданного направления, что делает угол θ с нормалью к фактической излучающей поверхности в dA , в элемент телесного угла обнаружения d Ω с центром в направлении, указанном θ , в элементе полосы частот dν , может быть представлен как ^[30]

$${\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=L^{0}(dA,d\nu )\,dA\,d\nu \,\cos \theta }$$

L ⁰ ( dA , dν )dAθ = 0

Коэффициент cos θ присутствует, поскольку область, к которой непосредственно относится спектральная яркость, представляет собой проекцию фактической площади излучающей поверхности на плоскость, перпендикулярную направлению, указанному θ . Это причина названия косинусного закона .

Учитывая независимость направления спектральной яркости излучения поверхности черного тела, находящегося в термодинамическом равновесии, имеем L ⁰ ( dA , dν ) = B _ν ( T ) и поэтому

$${\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=B_{\nu }(T)\,dA\,d\nu \,\cos \theta .}$$

Таким образом, закон косинуса Ламберта выражает независимость направления спектральной яркости B _ν ( T ) поверхности черного тела, находящегося в термодинамическом равновесии.

Закон Стефана – Больцмана

Полную мощность, излучаемую на единицу площади поверхности черного тела ( P ), можно найти путем интегрирования спектрального потока черного тела, найденного из закона Ламберта, по всем частотам и по телесным углам, соответствующим полусфере ( h ) над поверхностью. .

$${\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{h}d\Omega \,B_{\nu }\cos(\theta )}$$

Бесконечно малый телесный угол можно выразить в сферических полярных координатах :

$${\displaystyle d\Omega =\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi .}$$

Так что:

$${\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,B_{\nu }(T)\cos(\theta )\sin(\theta )=\sigma T^{4}}$$

$${\displaystyle \sigma ={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{4}\pi ^{5}}{15c^{2}h^{3}}}\approx 5.670400\times 10^{-8}\,\mathrm {J\,s^{-1}m^{-2}K^{-4}} }$$

константа Стефана-Больцмана^[31]

Радиационный перенос

Уравнение переноса излучения описывает, как влияет излучение при его прохождении через материальную среду. Для частного случая, когда материальная среда находится в термодинамическом равновесии в окрестности точки среды, закон Планка имеет особое значение.

Для простоты можно рассматривать линейное установившееся состояние без рассеяния . Уравнение переноса излучения гласит, что для луча света, проходящего на небольшое расстояние d s , энергия сохраняется: изменение (спектральной) яркости этого луча ( I _ν ) равно количеству, удаленному материальной средой плюс сумма, полученная от материального носителя. Если поле излучения находится в равновесии с материальной средой, эти два вклада будут равны. Материальная среда будет иметь определенный коэффициент излучения и коэффициент поглощения .

Коэффициент поглощения α представляет собой дробное изменение интенсивности светового луча при прохождении расстояния d s и имеет единицы длины ^-1 . Он состоит из двух частей: уменьшения за счет поглощения и увеличения за счет стимулированного излучения . Вынужденное излучение – это излучение материального тела, вызванное приходящим излучением и пропорциональное ему. Он включен в термин поглощения, поскольку, как и поглощение, он пропорционален интенсивности падающего излучения. Поскольку величина поглощения обычно изменяется линейно пропорционально плотности материала ρ , мы можем определить «коэффициент массового поглощения» κ _ν =α/ρчто является свойством самого материала. Тогда изменение интенсивности светового луча из-за поглощения при прохождении им небольшого расстояния ds будет равно [ ^7]

$${\displaystyle dI_{\nu }=-\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }\,ds}$$

«Коэффициент массового излучения» j _ν равен излучению единицы объема элемента малого объема, деленному на его массу (поскольку, что касается массового коэффициента поглощения, излучение пропорционально излучающей массе) и имеет единицы мощности⋅ телесный угол ⁻¹ ⋅частота ⁻¹ ⋅плотность ⁻¹ . Как и коэффициент поглощения массы, он также является свойством самого материала. Тогда изменение светового луча при прохождении небольшого расстояния ds будет равно ^[32]

$${\displaystyle dI_{\nu }=j_{\nu }\rho \,ds}$$

Тогда уравнение переноса излучения будет суммой этих двух вкладов: ^[33]

$${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=j_{\nu }\rho -\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }.}$$

Если поле излучения находится в равновесии с материальной средой, то излучение будет однородным (независимо от положения), так что dI _ν = 0 и:

$${\displaystyle \kappa _{\nu }B_{\nu }=j_{\nu }}$$

$${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=\kappa _{\nu }\rho (B_{\nu }-I_{\nu }).}$$

Коэффициенты Эйнштейна

Принцип детального баланса гласит, что при термодинамическом равновесии каждый элементарный процесс уравновешивается своим обратным процессом.

В 1916 году Альберт Эйнштейн применил этот принцип на атомном уровне к случаю, когда атом излучает и поглощает излучение вследствие переходов между двумя конкретными энергетическими уровнями, ^[34] дав более глубокое понимание уравнения переноса излучения и закона Кирхгофа для этого типа. радиации. Если уровень 1 — нижний энергетический уровень с энергией E ₁ , а уровень 2 — верхний энергетический уровень с энергией E ₂ , то частота ν излучаемого или поглощаемого излучения будет определяться частотным условием Бора: ^{[35] [36]}

$${\displaystyle E_{2}-E_{1}=h\nu .}$$

Если n ₁ и n ₂ — плотности атома в состояниях 1 и 2 соответственно, то скорость изменения этих плотностей во времени будет обусловлена ​​тремя процессами:

Спонтанное излучение

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {spon} }=A_{21}n_{2}}$

Вынужденное излучение

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {stim} }=B_{21}n_{2}u_{\nu }}$

Фотопоглощение

${\displaystyle \left({\frac {dn_{2}}{dt}}\right)_{\mathrm {abs} }=B_{12}n_{1}u_{\nu }}$

где u _ν — спектральная плотность энергии поля излучения. Три параметра A ₂₁ , B ₂₁ и B ₁₂ , известные как коэффициенты Эйнштейна, связаны с частотой фотонов ν , образующихся при переходе между двумя энергетическими уровнями (состояниями). В результате каждая линия спектра имеет свой собственный набор связанных коэффициентов. Когда атомы и поле излучения находятся в равновесии, яркость будет определяться законом Планка и, согласно принципу детального баланса, сумма этих скоростей должна быть равна нулю:

$${\displaystyle 0=A_{21}n_{2}+B_{21}n_{2}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)-B_{12}n_{1}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)}$$

Поскольку атомы также находятся в равновесии, заселенности двух уровней связаны фактором Больцмана :

$${\displaystyle {\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}e^{-h\nu /k_{\mathrm {B} }T}}$$

g ₁g ₂

$${\displaystyle {\frac {A_{21}}{B_{21}}}={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}}$$

$${\displaystyle {\frac {B_{21}}{B_{12}}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}}$$

В случае изотропного поглощения и излучения коэффициент излучения ( j _ν ) и коэффициент поглощения ( κ _ν ), определенные в разделе о переносе излучения выше, могут быть выражены через коэффициенты Эйнштейна. Соотношения между коэффициентами Эйнштейна дадут выражение закона Кирхгофа, выраженного в разделе «Перенос излучения» выше, а именно:

$${\displaystyle j_{\nu }=\kappa _{\nu }B_{\nu }.}$$

Эти коэффициенты применимы как к атомам, так и к молекулам.

Характеристики

Пики

Распределения B _ν , B _ω , B _ν̃ и B _k достигают максимума при энергии фотона ^[37]

$${\displaystyle E=\left[3+W\left(-3e^{-3}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.821\ k_{\mathrm {B} }T,}$$

Wфункция Ламберта Weчисло Эйлера

Однако распределение B _λ достигает максимума при другой энергии ^[37]

$${\displaystyle E=\left[5+W\left(-5e^{-5}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 4.965\ k_{\mathrm {B} }T,}$$

B _νB _λνλмодыгруппировкеhc ${\textstyle \left|{d\nu }/{d\lambda }\right|=c/{\lambda ^{2}}}$14 387,770 мкм·К

Спектральная яркость этих пиков определяется выражением:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\nu ,{\text{max}}}(T)&={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{3}T^{3}x^{3}}{h^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{x}-1}}\\&\approx 1.896\times 10^{-19}{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m^{2}\cdot Hz\cdot sr} }}\times (T/\mathrm {K} )^{3}\\\end{aligned}}}$

с и ${\displaystyle x=3+W(-3e^{-3}),}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\lambda ,{\text{max}}}(T)&={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{5}T^{5}x^{5}}{h^{4}c^{3}}}{\frac {1}{e^{x}-1}}\\&\approx 4.096\times 10^{-6}{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}\cdot {\text{sr}}}}\times ~(T/{\text{K}})^{5}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle x=5+W(-5e^{-5}).}$

Между тем, средняя энергия фотона абсолютно черного тела равна

$${\displaystyle E=\left[{\frac {\pi ^{4}}{30\ \zeta (3)}}\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.701\ k_{\mathrm {B} }T,}$$

дзета-функция Римана ${\displaystyle \zeta }$

Приближения

Логарифмические графики зависимости яркости от частоты для закона Планка (зеленый) в сравнении с законом Рэлея-Джинса (красный) и приближением Вина (синий) для черного тела при температуре 8 мК .

В пределе низких частот (т.е. длинных волн) закон Планка становится законом Рэлея-Джинса ^{[38] [39] [40]}

$${\displaystyle B_{\nu }(T)\approx {\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}k_{\mathrm {B} }T}$$

или

$${\displaystyle B_{\lambda }(T)\approx {\frac {2c}{\lambda ^{4}}}k_{\mathrm {B} }T}$$

Сияние увеличивается пропорционально квадрату частоты, иллюстрируя ультрафиолетовую катастрофу . В пределе высоких частот (т.е. малых длин волн) закон Планка стремится к приближению Вина : ^{[40] [41] [42]}

$${\displaystyle B_{\nu }(T)\approx {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}e^{-{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}}}$$

$${\displaystyle B_{\lambda }(T)\approx {\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}.}$$

процентили

Закон смещения Вина в более сильной форме утверждает, что форма закона Планка не зависит от температуры. Поэтому можно перечислить точки процентиля общего излучения, а также пики длины волны и частоты в форме, которая дает длину волны λ , разделенную на температуру T . ^[43] Во втором столбце следующей таблицы перечислены соответствующие значения λT , то есть те значения x , для которых длина волны λ равнаИкс/Т микрометров в точке процентиля яркости, заданной соответствующей записью в первом столбце.

То есть 0,01% излучения приходится на длину волны ниже910/Т мкм, на 20% ниже2676/Тмкм и т. д. Пики длины волны и частоты выделены жирным шрифтом и встречаются при 25,0% и 64,6% соответственно. Точка 41,8% представляет собой нейтральный по длине волны и частоте пик (т.е. пик мощности на единицу изменения логарифма длины волны или частоты). Это точки, в которых действует соответствующий закон Планка.1/λ ⁵, ν ³ иν ²/λ ²соответственно, разделенное на exp (hν/к _Б Т) − 1достигают максимума. Гораздо меньший разрыв в соотношении длин волн между 0,1% и 0,01% (1110 на 22% больше, чем 910), чем между 99,9% и 99,99% (113374 на 120% больше, чем 51613), отражает экспоненциальное затухание энергии на коротких волнах (слева). конец) и полиномиальное затухание в конце.

Какой пик использовать, зависит от приложения. Традиционным выбором является пик длины волны на уровне 25,0%, определяемый законом смещения Вина в его слабой форме. Для некоторых целей более подходящей может оказаться медиана или 50%-ная точка, разделяющая общее излучение на две половины. Последний ближе к пику частоты, чем к пику длины волны, поскольку яркость падает экспоненциально на коротких длинах волн и только полиномиально на длинных. По той же причине нейтральный пик возникает на более короткой длине волны, чем медиана.

Солнечный спектр по сравнению с черным телом при температуре 5775 К.

Сравнение с солнечным спектром

Солнечное излучение можно сравнить с излучением черного тела при температуре около 5778 К (но см. график). В таблице справа показано, как распределяется излучение черного тела при этой температуре, а также для сравнения, как распределяется солнечный свет. Также для сравнения показана планета, смоделированная как черное тело, излучающая номинальную температуру 288 К (15 ° C), что является репрезентативным значением сильно меняющейся температуры Земли. Его длины волн более чем в двадцать раз превышают длину волн Солнца, что указано в третьей колонке в микрометрах (тысячах нанометров).

То есть только 1% излучения Солнца приходится на длины волн короче 296 нм и только 1% — на длинах волн более 3728 нм. Если выразить это в микрометрах, то 98% солнечного излучения находится в диапазоне от 0,296 до 3,728 мкм. Соответствующие 98% энергии, излучаемой планетой с температурой 288 К, составляют от 5,03 до 79,5 мкм, что значительно превышает диапазон солнечного излучения (или ниже, если выражать его через частоты ν =с/λвместо длин волн λ ).

Следствием этой разницы в длинах волн между солнечным и планетарным излучением, превышающей порядок величины, является то, что фильтры, предназначенные для пропускания одного и блокирования другого, легко построить. Например, окна, изготовленные из обычного стекла или прозрачного пластика, пропускают не менее 80% входящего солнечного излучения с температурой 5778 К, длина волны которого ниже 1,2 мкм, и при этом блокируют более 99% исходящего теплового излучения с температурой 288 К от 5 мкм и выше. при котором большинство видов стекла и пластика строительной толщины фактически непрозрачны.

Излучение Солнца – это излучение, достигающее верхних слоев атмосферы (TOA). Как видно из таблицы, излучение с длиной волны ниже 400 нм, или ультрафиолетовое , составляет около 8%, тогда как излучение с длиной волны выше 700 нм, или инфракрасное , начинается примерно с отметки 48% и, таким образом, составляет 52% от общего количества. Следовательно, человеческому глазу видно только 40% инсоляции TOA. Атмосфера существенно сдвигает это процентное соотношение в пользу видимого света, поскольку поглощает большую часть ультрафиолета и значительное количество инфракрасного излучения.

Выводы

Фотонный газ

Рассмотрим куб со стороной L с проводящими стенками , заполненными электромагнитным излучением, находящимся в тепловом равновесии при температуре Т. Если в одной из стен имеется небольшое отверстие, то излучение, испускаемое из отверстия, будет характерно для идеально черного тела . Сначала мы рассчитаем спектральную плотность энергии внутри резонатора, а затем определим спектральную яркость испускаемого излучения.

У стенок куба параллельная составляющая электрического поля и ортогональная составляющая магнитного поля должны исчезнуть. Аналогично волновой функции частицы в ящике можно обнаружить, что поля представляют собой суперпозиции периодических функций. Три длины волны λ ₁ , λ ₂ и λ ₃ в трех направлениях, ортогональных стенкам, могут быть:

$${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {2L}{n_{i}}},}$$

n _in _in _i

Число r можно интерпретировать как количество фотонов в моде. При r = 0 энергия моды не равна нулю. Эта вакуумная энергия электромагнитного поля ответственна за эффект Казимира . Далее мы рассчитаем внутреннюю энергию ящика при абсолютной температуре T .

Согласно статистической механике , равновесное распределение вероятностей по уровням энергии определенного режима определяется выражением:

$${\displaystyle P_{r}={\frac {e^{-\beta E\left(r\right)}}{Z\left(\beta \right)}}.}$$

обратную температуру

$${\displaystyle \beta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}.}$$

Z ( β )статистической суммойPr_как

$${\displaystyle Z\left(\beta \right)=\sum _{r=0}^{\infty }e^{-\beta E\left(r\right)}={\frac {e^{-\beta \varepsilon /2}}{1-e^{-\beta \varepsilon }}},}$$

это энергия одного фотона. Среднюю энергию в режиме можно получить из статистической суммы :

$${\displaystyle \left\langle E\right\rangle =-{\frac {d\log \left(Z\right)}{d\beta }}={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}.}$$

статистике Бозе – Эйнштейнахимический потенциал

Если мы измеряем энергию относительно основного состояния, полная энергия в ящике получается путем суммирования ⟨ E ⟩ -ε/2по всем разрешенным однофотонным состояниям. Это можно сделать точно в термодинамическом пределе, когда L приближается к бесконечности. В этом пределе ε становится непрерывным, и тогда мы можем интегрировать ⟨ E ⟩ −ε/2по этому параметру. Чтобы таким образом вычислить энергию в ящике, нам нужно оценить, сколько состояний фотона существует в данном диапазоне энергий. Если мы запишем общее количество однофотонных состояний с энергиями между ε и ε + dε как g ( ε ) dε , где g ( ε ) — плотность состояний (которая оценивается ниже), то полная энергия будет равна

Для расчета плотности состояний перепишем уравнение ( 2 ) следующим образом:

$${\displaystyle \varepsilon \ {=}\ {\frac {hc}{2L}}n,}$$

nn = ( n ₁ , n ₂ , n ₃ )

Для каждого вектора n с целочисленными компонентами, большими или равными нулю, существует два состояния фотона. Это означает, что количество фотонных состояний в определенной области n -пространства в два раза превышает объем этой области. Энергетический диапазон dε соответствует оболочке толщиной dn =2 л/хкd ε в n -пространстве. Поскольку компоненты n должны быть положительными, эта оболочка охватывает октант сферы. Таким образом , количество фотонных состояний g ( ε ) dε в диапазоне энергий dε определяется выражением:

$${\displaystyle g(\varepsilon )\,d\varepsilon =2{\frac {1}{8}}4\pi n^{2}\,dn={\frac {8\pi L^{3}}{h^{3}c^{3}}}\varepsilon ^{2}\,d\varepsilon .}$$

3V = L ³

$${\displaystyle {\frac {U}{V}}=\int _{0}^{\infty }u_{\nu }(T)\,d\nu ,}$$

u _ν ( T )

$${\displaystyle u_{\nu }(T)={8\pi h\nu ^{3} \over c^{3}}{1 \over e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}.}$$

$${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {u_{\nu }(T)c}{4\pi }},}$$

$${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}}.}$$

Дипольное приближение и коэффициенты Эйнштейна

В невырожденном случае коэффициенты A и B можно рассчитать с использованием дипольного приближения нестационарной теории возмущений в квантовой механике. Вычисление A также требует второго квантования, поскольку полуклассическая теория не может объяснить спонтанное излучение, которое не стремится к нулю, когда возмущающее поле стремится к нулю. Таким образом, рассчитанные скорости перехода составляют (в единицах СИ): ^{[45] [46] [47]}

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{s.emi}={\frac {\omega _{if}^{3}e^{2}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=A_{if}}$

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{abs}={\frac {u(\omega _{fi})\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=B_{if}^{abs}u(\omega _{fi})}$

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{emi}={\frac {u(\omega _{if})\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=B_{if}^{emi}u(\omega _{if})}$

Обратите внимание, что формула скорости перехода зависит от оператора дипольного момента. Для приближений более высокого порядка он включает квадрупольный момент и другие подобные члены. Следовательно, коэффициенты A и B (которые соответствуют распределению энергии по угловым частотам) равны:

${\displaystyle A_{ab}={\frac {\omega _{ab}^{3}e^{2}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}}$

${\displaystyle B_{ab}={\frac {\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}}$

где и коэффициенты A и B удовлетворяют заданным соотношениям для невырожденного случая: ${\displaystyle \omega _{ab}={\frac {E_{a}-E_{b}}{\hbar }}}$

${\displaystyle {\frac {B_{12}}{B_{21}}}=1}$и . ${\displaystyle {\frac {A_{if}}{B}}={\frac {\omega _{if}^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}}$

Другое полезное соотношение — это соотношение из распределения Максвелла, которое гласит, что число частиц на энергетическом уровне пропорционально показателю степени . Математически: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \beta E}$

${\displaystyle {\frac {N_{a}}{N_{b}}}={\frac {e^{-E_{a}\beta }}{e^{-E_{b}\beta }}}=e^{\omega _{ba}\hbar \beta }}$

где и – число занятых энергетических уровней и соответственно, где . Затем, используя: ${\displaystyle N_{a}}$ ${\displaystyle N_{b}}$ ${\displaystyle E_{a}}$ ${\displaystyle E_{b}}$ ${\displaystyle E_{b}>E_{a}}$ ${\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}=-A_{ba}N_{b}-N_{b}u(\omega _{ba})B_{ba}+N_{a}u(\omega _{ba})B_{ab}=-N_{b}w_{b\rightarrow a}^{s.emi}-N_{b}w_{b\rightarrow a}^{emi}+N_{a}w_{a\rightarrow b}^{abs}}$

Решая для условия равновесия и используя полученные соотношения, мы получаем Закон Планка: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}=0}$

${\displaystyle u_{\omega }(\omega ,T)={\frac {\omega ^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {1}{e^{\omega \hbar \beta }-1}}}$.

История

Бальфур Стюарт

В 1858 году Бальфур Стюарт описал свои эксперименты по изучению излучательной и поглощающей способности полированных пластин из различных веществ по сравнению со способностью черных поверхностей при той же температуре. ^[9] Стюарт выбрал черную поверхность в качестве эталона из-за различных предыдущих экспериментальных результатов, особенно результатов Пьера Прево и Джона Лесли . Он писал: «Сажа, которая поглощает все падающие на нее лучи и, следовательно, обладает величайшей поглощающей способностью, будет обладать и величайшей возможной излучающей силой».

Стюарт измерял мощность излучения с помощью термобатареи и чувствительного гальванометра, считываемого с помощью микроскопа. Его интересовало избирательное тепловое излучение, которое он исследовал с помощью пластинок веществ, которые излучали и поглощали избирательно для разных качеств излучения, а не максимально для всех качеств излучения. Он обсуждал эксперименты с точки зрения лучей, которые могли отражаться и преломляться и подчинялись принципу взаимности Гельмгольца (хотя он не использовал для него эпоним). В этой статье он не упомянул, что свойства лучей можно описать их длинами волн, и не использовал аппараты спектрального разрешения, такие как призмы или дифракционные решетки. Его работа носила количественный характер в рамках этих ограничений. Он проводил измерения при комнатной температуре и быстро, чтобы привести свои тела в состояние, близкое к тепловому равновесию, в котором они были подготовлены путем нагревания до равновесия с кипящей водой. Его измерения подтвердили, что вещества, которые избирательно излучают и поглощают, соблюдают принцип избирательного равенства излучения и поглощения при тепловом равновесии.

Стюарт предложил теоретическое доказательство того, что это должно иметь место отдельно для каждого выбранного качества теплового излучения, но его математические расчеты не были строго верными. По словам историка Д.М. Сигела: «Он не практиковал более сложные методы математической физики девятнадцатого века; он даже не использовал функциональные обозначения при работе со спектральными распределениями». ^[48] ​​В этой статье он не упомянул термодинамику, хотя и упомянул о сохранении vis viva . Он предположил, что его измерения подразумевают, что излучение поглощается и излучается частицами материи на всей глубине среды, в которой оно распространяется. Он применил принцип взаимности Гельмгольца для объяснения процессов взаимодействия материалов в отличие от процессов во внутреннем материале. Он пришел к выводу, что его эксперименты показали, что внутри помещения, находящегося в тепловом равновесии, лучистое тепло, отраженное и испускаемое вместе, оставляя любую часть поверхности, независимо от ее вещества, было таким же, как если бы оставило ту же часть поверхность, если бы она была сделана из ламповой сажи. Он не упомянул о возможности идеально отражающих стен; в частности, он отметил, что хорошо отполированные реальные физические металлы поглощают очень мало.

Густав Кирхгоф

В 1859 году, не зная о работах Стюарта, Густав Роберт Кирхгоф сообщил о совпадении длин волн спектрально разрешенных линий поглощения и излучения видимого света. Что важно для теплофизики, он также заметил, что яркие или темные линии были видны в зависимости от разницы температур между эмиттером и поглотителем. ^[49]

Затем Кирхгоф продолжил рассматривать тела, излучающие и поглощающие тепловое излучение, находящиеся в непрозрачной оболочке или полости, находящиеся в равновесии при температуре Т.

Здесь использованы обозначения, отличные от Кирхгофа. Здесь мощность излучения E ( T , i ) обозначает размерную величину, полное излучение, испускаемое телом, обозначенным индексом i , при температуре T . Полный коэффициент поглощения a ( T , i ) этого тела безразмерен, это отношение поглощенного к падающему излучению в полости при температуре T. (В отличие от определения Бальфура Стюарта, определение Кирхгофа его коэффициента поглощения не относилось, в частности, к черной поверхности как к источнику падающего излучения.) Таким образом, соотношениеЕ ( Т , я )/а ( Т , я )Отношение излучаемой мощности к поглощению является размерной величиной, имеющей размерность излучающей мощности, поскольку a ( T , i ) безразмерна. Также здесь специфичная для длины волны излучающая способность тела при температуре T обозначается E ( λ , T , i ) , а коэффициент поглощения для конкретной длины волны - a ( λ , T , i ) . И снова соотношениеE ( λ , Т , я )/а ( λ , Т , я )Отношение излучаемой мощности к поглощению является размерной величиной, имеющей размерность излучаемой мощности.

Во втором отчете, сделанном в 1859 году, Кирхгоф объявил о новом общем принципе или законе, для которого он предложил теоретическое и математическое доказательство, хотя и не предложил количественных измерений мощности излучения. ^[50] Его теоретическое доказательство было и до сих пор считается некоторыми авторами недействительным. ^{[48] ​​[51]} Однако его принцип сохранился: он заключался в том, что для тепловых лучей одной и той же длины волны, находящихся в равновесии при данной температуре, отношение излучаемой мощности к коэффициенту поглощения для конкретной длины волны имеет одно и то же общее значение. для всех тел, которые излучают и поглощают эту длину волны. Символами закон гласил, что отношение длины волныE ( λ , Т , я )/а ( λ , Т , я )имеет одно и то же значение для всех тел, то есть для всех значений индекса i . В этом отчете не было упоминания о черных телах.

В 1860 году, еще не зная об измерениях Стюартом некоторых качеств излучения, Кирхгоф указал, что давно экспериментально установлено, что для полного теплового излучения невыбранного качества, испускаемого и поглощаемого телом, находящимся в равновесии, размерный коэффициент полного излученияЕ ( Т , я )/а ( Т , я ), имеет одно и то же значение, общее для всех тел, т. е. для каждого значения индекса материала i . ^[52] Опять же, без измерений мощности излучения или других новых экспериментальных данных, Кирхгоф затем предложил новое теоретическое доказательство своего нового принципа универсальности значения отношения длины волны.E ( λ , Т , я )/а ( λ , Т , я )в тепловом равновесии. Его свежее теоретическое доказательство было и до сих пор считается некоторыми авторами недействительным. ^{[48] ​​[51]}

Но что еще более важно, он опирался на новый теоретический постулат об «идеально черных телах» , что и является причиной, по которой говорят о законе Кирхгофа. Такие черные тела демонстрировали полное поглощение своей бесконечно тонкой самой поверхностной поверхностью. Они соответствуют телам сравнения Бальфура Стюарта с внутренним излучением, покрытым ламповой сажей. Они не были более реалистичными совершенно черными телами, которые позднее рассматривал Планк. Черные тела Планка излучали и поглощали только материал, находящийся внутри них; их границы с прилегающими средами были лишь математическими поверхностями, не способными ни поглощать, ни излучать, а только отражать и передавать с преломлением. ^[53]

Доказательство Кирхгофа рассматривало произвольное неидеальное тело с меткой i , а также различные идеальные черные тела с меткой BB . Требовалось, чтобы тела находились в полости в тепловом равновесии при температуре Т. Его доказательство имело целью показать, что соотношениеE ( λ , Т , я )/а ( λ , Т , я )не зависела от природы неидеального тела, каким бы частично прозрачным или частично отражающим оно ни было.

Его доказательство сначала утверждало, что для длины волны λ и при температуре T , при тепловом равновесии, все идеально черные тела одного и того же размера и формы имеют одно и то же общее значение излучательной способности E ( λ , T , BB) с размерами власти. В его доказательстве отмечалось, что безразмерный коэффициент поглощения, относящийся к длине волны a ( λ , T , BB ) идеально черного тела, по определению равен точно 1. Тогда для идеально черного тела отношение коэффициента излучения к коэффициенту поглощения, зависящее от длины волны, равно 1.Е ( λ , Т , ББ )/а ( λ , Т , BB )это снова просто E ( λ , T , BB) с размерностями степени. Кирхгоф последовательно рассматривал тепловое равновесие с произвольным неидеальным телом и с совершенно черным телом того же размера и формы, находящимся в его полости в равновесии при температуре Т. Он утверждал, что потоки теплового излучения должны быть одинаковыми в каждом случае. Таким образом, он утверждал, что при тепловом равновесии соотношениеE ( λ , Т , я )/а ( λ , Т , я )была равна E ( λ , T , BB) , которую теперь можно обозначить B _λ ( λ , T ) , непрерывной функцией, зависящей только от λ при фиксированной температуре T , и возрастающей функцией T при фиксированной длине волны λ , при низкие температуры исчезают для видимых, но не для более длинных волн, с положительными значениями для видимых длин волн при более высоких температурах, что не зависит от природы i произвольного неидеального тела. (Геометрические факторы, подробно учтенные Кирхгофом, здесь не учитывались.)

Таким образом, можно сформулировать закон теплового излучения Кирхгофа : для любого материала, излучающего и поглощающего в термодинамическом равновесии при любой заданной температуре T , для каждой длины волны λ отношение излучательной мощности к коэффициенту поглощения имеет одно универсальное значение, которое характерно для идеально черное тело и является излучающей способностью, которую мы здесь обозначаем B _λ ( λ , T ) . (Для наших обозначений B _λ ( λ , T ) исходное обозначение Кирхгофа было просто e .) ^{[7] [52] [54] [55] [56] [57]}

Кирхгоф объявил, что определение функции B _λ ( λ , T ) является задачей первостепенной важности, хотя и признавал, что придется преодолеть экспериментальные трудности. Он предполагал, что, как и другие функции, не зависящие от свойств отдельных тел, это будет простая функция. Эту функцию B _λ ( λ , T ) иногда называли «функцией Кирхгофа (эмиссионной, универсальной)», ^{[58] [59] [60] [61]} , хотя ее точная математическая форма не была известна еще сорок лет, пока он был открыт Планком в 1900 году. Теоретическое доказательство принципа универсальности Кирхгофа разрабатывалось и обсуждалось различными физиками одновременно и позже. ^[51] Позже, в 1860 году, Кирхгоф заявил, что его теоретическое доказательство было лучше, чем доказательство Бальфура Стюарта, и в некоторых отношениях это было так. ^[48] ​​В статье Кирхгофа 1860 года не упоминается второй закон термодинамики и, конечно, не упоминается понятие энтропии, которое в то время еще не было установлено. В более обстоятельном отчете в книге 1862 года Кирхгоф упомянул связь своего закона с «принципом Карно», который является формой второго закона. ^[62]

По словам Хельге Крага, «квантовая теория обязана своим происхождением изучению теплового излучения, в частности, излучению «черного тела», которое Роберт Кирхгоф впервые определил в 1859–1860 годах». ^[63]

Эмпирические и теоретические составляющие научной индукции закона Планка.

В 1860 году Кирхгоф предсказал экспериментальные трудности эмпирического определения функции, описывающей зависимость спектра черного тела как функции только от температуры и длины волны. Так и получилось. Чтобы получить достоверный результат, потребовалось около сорока лет разработки усовершенствованных методов измерения электромагнитного излучения. ^[64]

В 1865 году Джон Тиндалл описал излучение от электрически нагретых нитей и углеродных дуг как видимое и невидимое. ^[65] Тиндаль спектрально разложил излучение с помощью призмы из каменной соли, которая пропускала как тепло, так и видимые лучи, и измерил интенсивность излучения с помощью термобатареи. ^{[66] [67]}

В 1880 году Андре-Проспер-Поль Крова опубликовал диаграмму трехмерного вида графика силы теплового излучения в зависимости от длины волны и температуры. ^[68] Он определил спектральную переменную с помощью призм. Он анализировал поверхность с помощью так называемых «изотермических» кривых, участков для одной температуры, со спектральной переменной по оси абсцисс и степенной переменной по ординате. Он провел плавные кривые через точки своих экспериментальных данных. Они имели один пик при спектральном значении, характерном для температуры, и падали по обе стороны от него в сторону горизонтальной оси. ^{[69] [70]} Такие спектральные участки широко показаны даже сегодня.

В серии статей с 1881 по 1886 год Лэнгли сообщил об измерениях спектра теплового излучения с использованием дифракционных решеток и призм и самых чувствительных детекторов, которые он мог изготовить. Он сообщил, что существует пиковая интенсивность, которая увеличивается с температурой, что форма спектра не симметрична относительно пика, что наблюдается сильное падение интенсивности, когда длина волны короче приблизительного порогового значения для каждого при температуре, что приблизительная длина волны отсечки уменьшалась с увеличением температуры и что длина волны пиковой интенсивности уменьшалась с температурой, так что интенсивность сильно возрастала с температурой для коротких длин волн, которые были длиннее, чем приблизительное отсечка для температуры. ^[71]

Прочитав Лэнгли, русский физик В. А. Майкельсон в 1888 году опубликовал рассмотрение идеи о том, что неизвестная функция излучения Кирхгофа может быть объяснена физически и сформулирована математически в терминах «полной неравномерности колебаний... атомов». ^{[72] [73]} В то время Планк не изучал радиацию внимательно и не верил ни в атомы, ни в статистическую физику. ^[74] Майкельсон вывел формулу для спектра температуры:

$${\displaystyle I_{\lambda }=B_{1}\theta ^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {c}{\lambda ^{2}\theta }}\right)\lambda ^{-6},}$$

I _λλθB ₁c

В 1898 году Отто Люммер и Фердинанд Курльбаум опубликовали отчет о своем источнике излучения в полости. ^[75] Их конструкция практически без изменений используется для радиационных измерений и по сей день. Это была платиновая коробочка, разделенная диафрагмами, внутренняя часть которой была почернена оксидом железа. Это был важный ингредиент для постепенного совершенствования измерений, которые привели к открытию закона Планка. ^[76] Версия, описанная в 1901 году, имела внутреннюю часть, почерненную смесью оксидов хрома, никеля и кобальта. ^[77]

Важность источника излучения полости Люммера и Курльбаума заключалась в том, что он был экспериментально доступным источником излучения черного тела, в отличие от излучения просто экспонированного раскаленного твердого тела, которое было ближайшим доступным экспериментальным приближением к излучению черного тела. подходящий диапазон температур. Использовавшиеся ранее просто экспонированные раскаленные твердые тела излучали излучение с отклонениями от спектра черного тела, что делало невозможным определение истинного спектра черного тела в экспериментах. ^{[78] [79]}

Взгляды Планка, прежде чем эмпирические факты, привели его к открытию своего окончательного закона.

Планк впервые обратил свое внимание на проблему излучения черного тела в 1897 году. ^[80] Теоретический и эмпирический прогресс позволил Люммеру и Прингсхайму написать в 1899 году, что имеющиеся экспериментальные данные примерно соответствуют закону удельной интенсивности Cλ ⁻⁵ e ^{− c ⁄ λT} , где C и c обозначают эмпирически измеримые константы, а λ и T обозначают длину волны и температуру соответственно. ^{[81] [82]} По теоретическим соображениям Планк в то время принял эту формулировку, которая эффективно отсекает короткие волны. ^{[83] [84] [85]}

Густав Кирхгоф был учителем Макса Планка и предположил, что существует универсальный закон излучения черного тела, и это было названо «вызовом Кирхгофа». ^[86] Планк, теоретик, полагал, что Вильгельм Вин открыл этот закон, и Планк расширил работу Вина, представив ее в 1899 году на заседании Немецкого физического общества. Экспериментаторы Отто Люммер , Фердинанд Курльбаум , Эрнст Прингсхайм-старший и Генрих Рубенс провели эксперименты, которые, по-видимому, подтвердили закон Вина, особенно на более высоких частотах коротких волн, который Планк настолько полностью поддержал в Немецком физическом обществе, что его стали называть законом Вина-Планка. . ^[87] Однако к сентябрю 1900 года экспериментаторы вне всякого сомнения доказали, что закон Вина-Планка не работает на более длинных волнах. Они представят свои данные 19 октября. Планку сообщил об этом его друг Рубенс, и он быстро создал формулу в течение нескольких дней. ^[88] В июне того же года лорд Рэлей создал формулу, которая будет работать для коротких низкочастотных длин волн, основанная на широко распространенной теории равнораспределения . ^[89] Итак, Планк представил формулу, сочетающую в себе закон Рэлея (или аналогичную теорию равнораспределения) и закон Вина, которая будет соответствовать тому или иному закону в зависимости от длины волны, чтобы соответствовать экспериментальным данным. Однако, хотя это уравнение работало, сам Планк сказал, что, если он не сможет объяснить формулу, полученную на основе «счастливой интуиции», в формулу «истинного значения» в физике, она не будет иметь истинного значения. ^[90] Планк объяснил, что после этого последовала самая тяжелая работа в его жизни. Планк не верил в атомы и не считал, что второй закон термодинамики должен быть статистическим, поскольку вероятность не дает абсолютного ответа, а закон энтропии Больцмана основывался на гипотезе атомов и был статистическим. Но Планк не смог найти способ согласовать свое уравнение черного тела с непрерывными законами, такими как волновые уравнения Максвелла. Итак, в том, что Планк назвал «актом отчаяния», ^[91] он обратился к атомному закону энтропии Больцмана, поскольку только он заставил его уравнение работать. Поэтому он использовал постоянную Больцмана k и свою новую константу h для объяснения закона излучения черного тела, который стал широко известен благодаря его опубликованной статье. ^{[92] [93]}

Нахождение эмпирического закона

Макс Планк сформулировал свой закон 19 октября 1900 года ^{[94] [95]} как усовершенствование приближения Вина , опубликованного в 1896 году Вильгельмом Вином , которое соответствовало экспериментальным данным на коротких волнах (высоких частотах), но отклонялось от них на длинных волнах ( низкие частоты). ^[41] В июне 1900 года, основываясь на эвристических теоретических соображениях, Рэлей предложил формулу ^[96] , которую он предложил, можно было бы проверить экспериментально. Было высказано предположение, что универсальная функция Стюарта–Кирхгофа может иметь вид c ₁ Tλ ⁻⁴ exp(–с ₂/λT) . Это не была знаменитая формула Рэлея-Джинса 8π k _B Tλ ⁻⁴ , которая появилась только в 1905 году ^[38] , хотя она и сводилась к последней для длинных волн, которые здесь имеют отношение. По мнению Кляйна ^[80] , можно предположить, что вполне вероятно, что Планк видел это предположение, хотя он не упоминал о нем в своих статьях 1900 и 1901 годов. Планк должен был знать о различных других предложенных формулах. ^{[64] [97]} 7 октября 1900 года Рубенс сообщил Планку, что в дополнительной области (длинноволновая, низкая частота) и только там формула Рэлея 1900 года хорошо соответствует наблюдаемым данным. ^[97]

Для длинных волн эвристическая формула Рэлея 1900 года приблизительно означала, что энергия пропорциональна температуре: U _λ = const. Т. _ ^{[80] [97] [98]} Известно, чтодС/dU _λ"="1/Ти это приводит кдС/dU _λ"="константа/U _λи оттуда вд ² С/dU _λ ²= −константа/U _λ ²для длинных волн. Но для коротких волн формула Вина приводит к1/Т= − константа. ln U _λ + const. и оттуда вд ² С/dU _λ ²= −константа/U _λдля коротких волн. Планк, возможно, объединил эти две эвристические формулы для длинных и коротких волн ^{[97] [99]} и получил формулу ^[94]

$${\displaystyle {\frac {d^{2}S}{dU_{\lambda }^{2}}}={\frac {\alpha }{U_{\lambda }(\beta +U_{\lambda })}}.}$$

Это привело Планка к формуле

$${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {C\lambda ^{-5}}{e^{\frac {c}{\lambda T}}-1}},}$$

Cc

Планк отправил этот результат Рубенсу, который сравнил его с данными своих наблюдений и Курльбаума и обнаружил, что он удивительно хорошо подходит для всех длин волн. 19 октября 1900 года Рубенс и Курльбаум кратко сообщили о соответствии данным, ^[100] и Планк добавил к ним короткую презентацию, чтобы дать теоретический очерк, объясняющий его формулу. ^[94] В течение недели Рубенс и Курльбаум предоставили более полный отчет о своих измерениях, подтверждающий закон Планка. Их метод спектрального разрешения более длинноволнового излучения назывался методом остаточных лучей. Лучи неоднократно отражались от полированных поверхностей кристаллов, а лучи, прошедшие весь процесс, были «остаточными» и имели длины волн, преимущественно отражаемые кристаллами из подходящего конкретного материала. ^{[101] [102] [103]}

Попытка найти физическое объяснение закона

Как только Планк обнаружил эмпирически соответствующую функцию, он построил физический вывод этого закона. Его мысли вращались вокруг энтропии, а не непосредственно вокруг температуры. Планк рассматривал полость с идеально отражающими стенками; внутри полости имеется конечное число различных, но одинаково составленных резонансных колеблющихся тел определенной величины, причем по нескольку таких осцилляторов на каждой из конечного числа характеристических частот. Эти гипотетические осцилляторы были для Планка чисто воображаемыми теоретическими исследовательскими зондами, и он сказал о них, что такие осцилляторы не обязательно должны «реально существовать где-то в природе, при условии, что их существование и их свойства согласуются с законами термодинамики и электродинамики». ^[104] Планк не придавал никакого определенного физического значения своей гипотезе резонансных осцилляторов, а скорее предложил ее как математический аппарат, который позволил ему вывести единственное выражение для спектра черного тела, которое соответствовало эмпирическим данным на всех длинах волн. ^[105] Он предварительно упомянул о возможной связи таких осцилляторов с атомами . В некотором смысле осцилляторы соответствовали углеродной пылинке Планка; размер пятнышка может быть небольшим независимо от размера полости при условии, что пятнышко эффективно преобразует энергию между модами длины волны излучения. ^[97]

Частично следуя эвристическому методу расчета, впервые разработанному Больцманом для молекул газа, Планк рассмотрел возможные способы распределения электромагнитной энергии по различным режимам своих гипотетических генераторов заряженного материала. Это принятие вероятностного подхода вслед за Больцманом было для Планка радикальным изменением его прежней позиции, которая до этого сознательно выступала против такого мышления, предложенного Больцманом. ^[106] По словам Планка, «я считал [квантовую гипотезу] чисто формальным предположением и не придавал ей особого значения, за исключением того, что я получил положительный результат при любых обстоятельствах и любой ценой». ^[107] Эвристически Больцман распределил энергию в произвольных чисто математических квантах ϵ , которые он начал стремиться к нулю по величине, потому что конечная величина ϵ служила только для обеспечения определенного подсчета ради математического расчета вероятностей, и не имело физического значения. Ссылаясь на новую универсальную константу природы h , ^[108] Планк предположил, что в нескольких осцилляторах каждой из конечного числа характеристических частот полная энергия распределяется по каждому в целом кратном определенной физической единице энергии: ϵ , характеристика соответствующей характеристической частоты. ^{[95] [109] [110] [111]} Его новая универсальная константа природы h теперь известна как постоянная Планка .

Планк далее объяснил ^[95] , что соответствующая определенная единица энергии ϵ должна быть пропорциональна соответствующей характеристической частоте колебаний ν гипотетического осциллятора, и в 1901 году он выразил это с помощью константы пропорциональности h : ^{[112] [113]}

$${\displaystyle \epsilon =h\nu .}$$

Планк не предполагал, что свет, распространяющийся в свободном пространстве, квантуется. ^{[114] [115] [116]} Идея квантования свободного электромагнитного поля была развита позже и в конечном итоге включена в то, что мы сейчас знаем как квантовую теорию поля . ^[117]

В 1906 году Планк признал, что его воображаемые резонаторы, обладающие линейной динамикой, не дают физического объяснения передачи энергии между частотами. ^{[118] [119]} Современная физика, следуя Эйнштейну, объясняет преобразование между частотами в присутствии атомов их квантовой возбудимостью. Планк считал, что в полости с идеально отражающими стенками и без присутствия материи электромагнитное поле не может обмениваться энергией между частотными компонентами. ^[120] Это происходит из-за линейности уравнений Максвелла . ^[121] Современная квантовая теория поля предсказывает, что в отсутствие материи электромагнитное поле подчиняется нелинейным уравнениям и в этом смысле взаимодействует с самим собой. ^{[122] [123]} Такое взаимодействие в отсутствие материи еще не было измерено напрямую, поскольку оно потребовало бы очень высоких интенсивностей и очень чувствительных и малошумящих детекторов, которые все еще находятся в процессе создания. ^{[122] [124]} Планк считал, что поле без взаимодействий не подчиняется и не нарушает классический принцип равнораспределения энергии, ^{[125] [126]} и вместо этого остается точно таким, каким оно было при введении, а не развивается в поле черного тела. . ^[127] Таким образом, линейность его механических предположений не позволяла Планку иметь механическое объяснение максимизации энтропии термодинамического равновесия поля теплового излучения. Вот почему ему пришлось прибегнуть к вероятностным аргументам Больцмана. ^{[128] [129]}

Закон Планка можно рассматривать как осуществление предсказания Густава Кирхгофа о том, что его закон теплового излучения имеет важнейшее значение. В своем зрелом изложении своего собственного закона Планк предложил тщательное и детальное теоретическое доказательство закона Кирхгофа, ^[130] теоретическое доказательство которого до сих пор иногда обсуждалось, отчасти потому, что, как говорили, оно опиралось на нефизические теоретические объекты, такие как закон Кирхгофа. прекрасно впитывающая бесконечно тонкую черную поверхность. ^[131]

Последующие события

Лишь через пять лет после того, как Планк сделал свое эвристическое предположение об абстрактных элементах энергии или действия, Альберт Эйнштейн в 1905 году ^[132] задумал реально существующие кванты света как революционное объяснение излучения черного тела, фотолюминесценции, фотоэлектрический эффект и ионизация газов ультрафиолетовым светом. В 1905 году «Эйнштейн считал, что теорию Планка невозможно согласовать с идеей квантов света, и эту ошибку он исправил в 1906 году». ^[133] Вопреки убеждениям Планка того времени, Эйнштейн предложил модель и формулу, согласно которой свет излучается, поглощается и распространяется в свободном пространстве в виде квантов энергии, локализованных в точках пространства. ^[132] В качестве введения к своим рассуждениям Эйнштейн резюмировал планковскую модель гипотетических резонансных материальных электрических осцилляторов как источников и поглотителей излучения, но затем предложил новый аргумент, оторванный от этой модели, но частично основанный на термодинамическом аргументе Вина: в котором формула Планка ϵ = hν не играла роли. ^[134] Эйнштейн дал энергетическое содержание таких квантов в видеRβν/Н. Таким образом, Эйнштейн противоречил волновой теории света, которой придерживался Планк. В 1910 году, критикуя рукопись, присланную ему Планком, Эйнштейн, зная, что Планк был постоянным сторонником специальной теории относительности Эйнштейна, писал Планку: «Мне кажется абсурдным иметь энергию, непрерывно распределяемую в пространстве, без предположения об эфире». ^[135]

По словам Томаса Куна , только в 1908 году Планк более или менее принял часть аргументов Эйнштейна в пользу физической дискретности в физике теплового излучения в отличие от абстрактной математической дискретности. Еще в 1908 году, рассматривая предложение Эйнштейна о квантовом распространении, Планк высказал мнение, что такой революционный шаг, возможно, не нужен. ^[136] До этого Планк был последовательным в своем убеждении, что дискретность квантов действия не может быть обнаружена ни в его резонансных генераторах, ни в распространении теплового излучения. Кун писал, что в более ранних работах Планка и в его монографии 1906 года ^[137] нет «упоминания о разрыве, [ни] разговоров об ограничении энергии осциллятора, [ни о] какой-либо формуле типа U = nhν ». Кун указывал, что его изучение статей Планка 1900 и 1901 годов и его монографии 1906 года ^[137] привело его к «еретическим» выводам, вопреки широко распространенным предположениям других, которые видели сочинения Планка только с точки зрения более поздних работ. , анахронизм, точки зрения. ^[138] Выводы Куна, относящиеся к периоду до 1908 года, когда Планк последовательно придерживался своей «первой теории», были приняты другими историками. ^[139]

Во втором издании своей монографии в 1912 году Планк поддержал свое несогласие с предложением Эйнштейна о квантах света. Он довольно подробно предположил, что поглощение света его виртуальными материальными резонаторами может быть непрерывным, происходящим с постоянной скоростью в состоянии равновесия, в отличие от квантового поглощения. Только излучение было квантовым. ^{[121] [140]} Иногда ее называли «второй теорией» Планка. ^[141]

Лишь в 1919 году Планк в третьем издании своей монографии более или менее принял свою «третью теорию», согласно которой как излучение, так и поглощение света являются квантовыми. ^[142]

Яркий термин « ультрафиолетовая катастрофа » был дан Паулем Эренфестом в 1911 году в связи с парадоксальным результатом, заключающимся в том, что полная энергия в полости стремится к бесконечности, когда теорема о равнораспределении классической статистической механики (ошибочно) применяется к излучению черного тела. ^{[143] [144]} Но это не входило в мысли Планка, потому что он не пытался применить доктрину равнораспределения: когда он сделал свое открытие в 1900 году, он не заметил никакой «катастрофы». ^{[83] [84] [85] [80] [145]} Впервые это было отмечено лордом Рэлеем в 1900 году, ^{[96] [146] [147]} , а затем в 1901 году ^[148] сэром Джеймсом Джинсом ; и позже, в 1905 году, Эйнштейном, когда он хотел поддержать идею о том, что свет распространяется как дискретные пакеты, позже названные «фотонами», а также Рэлеем ^[39] и Джинсом. ^{[38] [149] [150] [151]}

В 1913 году Бор дал еще одну формулу с другим физическим смыслом для величины hν . ^{[34] [35] [36] [152] [153] [154]} В отличие от формул Планка и Эйнштейна, формула Бора явно и категорически относится к энергетическим уровням атомов. Формула Бора была W _{τ 2} − W _{τ 1} = hν , где W _{τ 2} и W _{τ 1} обозначают энергетические уровни квантовых состояний атома с квантовыми числами τ ₂ и τ ₁ . Символ ν обозначает частоту кванта излучения, который может излучаться или поглощаться при переходе атома между этими двумя квантовыми состояниями. В отличие от модели Планка, частота не имеет непосредственной связи с частотами, которые могли бы описывать сами эти квантовые состояния. ${\displaystyle \nu }$

Позже, в 1924 году, Сатьендра Нат Бозе разработал теорию статистической механики фотонов, которая позволила теоретически вывести закон Планка. ^[155] Само слово «фотон» было изобретено ещё позже, Г.Н. Льюисом в 1926 году, ^[156] который ошибочно считал, что фотоны сохраняются, вопреки статистике Бозе-Эйнштейна; тем не менее слово «фотон» было принято для выражения постулата Эйнштейна о пакетной природе распространения света. В электромагнитном поле, изолированном в вакууме в сосуде с идеально отражающими стенками, как это рассматривал Планк, фотоны действительно сохранялись бы согласно модели Эйнштейна 1905 года, но Льюис имел в виду поле фотонов, рассматриваемое как система, замкнутая с относительно весомой материи, но открыт для обмена электромагнитной энергией с окружающей системой весомой материи, и он ошибочно полагал, что фотоны все еще сохраняются, сохраняясь внутри атомов.

В конечном счете, закон Планка об излучении черного тела внес вклад в концепцию Эйнштейна о квантах света, несущих линейный импульс, ^{[34] [132]} которая стала фундаментальной основой для развития квантовой механики .

Вышеупомянутая линейность механических предположений Планка, не учитывающая энергетических взаимодействий между частотными компонентами, была заменена в 1925 году оригинальной квантовой механикой Гейзенберга. В своей статье, представленной 29 июля 1925 года, теория Гейзенберга объяснила вышеупомянутую формулу Бора 1913 года. Она признала нелинейные осцилляторы моделями атомных квантовых состояний, допуская энергетическое взаимодействие между их собственными многочисленными внутренними дискретными частотными компонентами Фурье в тех случаях, когда испускания или поглощения квантов излучения. Частота кванта излучения представляла собой частоту определенной связи между внутренними метастабильными колебательными квантовыми состояниями атома. ^{[157] [158]} В то время Гейзенберг ничего не знал о матричной алгебре, но Макс Борн прочитал рукопись статьи Гейзенберга и осознал матричный характер теории Гейзенберга. Затем Борн и Джордан опубликовали явно матричную теорию квантовой механики, основанную на оригинальной квантовой механике Гейзенберга, но по форме явно отличающуюся от нее; именно матричная теория Борна и Жордана сегодня называется матричной механикой. ^{[159] [160] [161]} Объяснение Гейзенбергом осцилляторов Планка как нелинейных эффектов, проявляющихся как фурье-моды переходных процессов излучения или поглощения излучения, показало, почему осцилляторы Планка рассматриваются как устойчивые физические объекты, такие как можно было бы представить классической физикой, не дали адекватного объяснения явлениям.

В настоящее время для описания энергии кванта света часто встречается формула E = ħω , где ħ =час/2π, а ω = 2π ν обозначает угловую частоту, ^{[162] [163] [164] [165] [166]} и реже эквивалентную формулу E = hν . ^{[165] [166] [167] [168] [169]} Это утверждение о реально существующем и распространяющемся кванте света, основанное на утверждении Эйнштейна, имеет физический смысл, отличный от приведенного выше утверждения Планка ϵ = hν об абстрактных единицах энергии для быть распределено среди его гипотетических резонансных материальных генераторов.

Статья Хельге Крага, опубликованная в журнале Physics World , дает отчет об этой истории. ^[111]

Смотрите также

• Коэффициент излучения
• Сияние
• Уравнение Сакумы – Хаттори

Рекомендации

1. Янг, Хью Д.; Фридман, Роджер А.; Форд, А. Льюис (2016). Университетская физика (14-е изд.). Перасон. стр. 1256–1257. ISBN 9780321973610.
2. Планк 1914, с. 42
3. Гаофэн Шао и др. 2019, с. 6.
4. Зангвилл, Эндрю (2013). Современная электродинамика . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 698. ИСБН 978-0-521-89697-9.
5. Эндрюс, Дэвид Г. (2010). Введение в физику атмосферы (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 54. ИСБН 978-0-521-87220-1.
6. Планк 1914, стр. 6, 168.
7. Чандрасекхар 1960, с. 8
8. Рыбицки и Лайтман 1979, с. 22
9. Стюарт 1858 г.
10. Хапке 1993, стр. 362–373.
11. Планк 1914 г.
12. Лаудон 2000, стр. 3–45.
13. Каниу 1999, с. 117
14. Крамм и Мёлдерс 2009, с. 10
15. Шарков 2003, с. 210
16. Марр, Джонатан М.; Уилкин, Фрэнсис П. (2012). «Лучшее представление закона излучения Планка». Являюсь. Дж. Физ . 80 (5): 399. arXiv : 1109.3822 . Бибкод : 2012AmJPh..80..399M. дои : 10.1119/1.3696974. S2CID  10556556.
17. Фишер 2011
18. Гуди и Юнг 1989, с. 16.
19. Мор, Тейлор и Ньюэлл 2012, стр. 1591 г.
20. Лаудон 2000
21. Мандель и Вольф 1995
22. Уилсон 1957, с. 182
23. Адкинс 1983, стр. 147–148.
24. Ландсберг 1978, с. 208
25. Сигел и Хауэлл 2002, с. 25
26. Планк 1914, стр. 9–11.
27. Планк 1914, с. 35
28. Ландсберг 1961, стр. 273–274.
29. Born & Wolf 1999, стр. 194–199.
30. Рожденный и Вольф 1999, с. 195
31. Рыбицки и Лайтман 1979, с. 19
32. Чандрасекхар 1960, с. 7
33. Чандрасекхар 1960, с. 9
34. Эйнштейн 1916 г.
35. Бор 1913 г.
36. Джаммер 1989, стр. 113, 115.
37. Киттель и Кремер 1980, с. 98
38. Jeans 1905a, с. 98
39. Рэлей 1905 г.
40. Рыбицки и Лайтман 1979, с. 23
41. Вена 1896, с. 667
42. Планк 1906, с. 158
43. Лоуэн и Бланш, 1940 г.
44. Интегрировано из Кристиана Геймара (апрель 2004 г.). «Общее и спектральное излучение Солнца для применения в солнечной энергетике и моделей солнечного излучения». Солнечная энергия . 76 (4): 423–453. Бибкод : 2004SoEn...76..423G. doi :10.1016/j.solener.2003.08.039.
45. Зеттили, Нуредин (2009). Квантовая механика: концепции и приложения (2-е изд.). Чичестер: Уайли. стр. 594–596. ISBN 978-0-470-02679-3.
46. Сегре, Карло. «Коэффициенты Эйнштейна - Основы квантовой теории II (PHYS 406)» (PDF) . п. 32.
47. Цвибах, Бартон. «Квантовая физика III Глава 4: Теория возмущений, зависящая от времени | Квантовая физика III | Физика». MIT OpenCourseWare . стр. 108–110 . Проверено 3 ноября 2023 г.
48. Сигел 1976
49. Кирхгоф 1860а
50. Кирхгоф 1860b
51. Ширмахер 2001
52. Кирхгоф 1860c
53. Планк 1914, с. 11
54. Милн 1930, с. 80
55. Рыбицки и Лайтман 1979, стр. 16–17.
56. Михалас и Вайбель-Михалас 1984, с. 328
57. Гуди и Юнг 1989, стр. 27–28.
58. Пашен, Ф. (1896), личное письмо, цитированное Германом 1971, стр. 6
59. Германн 1971, с. 7
60. Кун 1978, стр. 8, 29.
61. Мехра и Рехенберг 1982, стр. 26, 28, 31, 39.
62. Кирхгоф 1862, с. 573
63. Краг 1999, с. 58
64. Кангро 1976
65. Тиндаль 1865а
66. Тиндаль 1865b
67. Кангро 1976, стр. 8–10.
68. Крова 1880 г.
69. Крова 1880, с. 577, Табличка I
70. Кангро 1976, стр. 10–15.
71. Кангро 1976, стр. 15–26.
72. Майкельсон 1888 г.
73. Кангро 1976, стр. 30–36.
74. Кангро 1976, стр. 122–123.
75. Люммер и Курльбаум 1898 г.
76. Кангро 1976, с. 159
77. Люммер и Курльбаум 1901 г.
78. Кангро 1976, стр. 75–76.
79. Пашен 1895, стр. 297–301.
80. Кляйн 1962, с. 460.
81. Люммер и Прингсхайм 1899, с. 225
82. Кангро 1976, с. 174
83. Планк 1900d
84. Рэлей 1900, с. 539
85. Кангро 1976, стр. 181–183.
86. Пасупати, Дж. «Квант, его открытие и продолжающиеся поиски». Современная наука , том. 79, нет. 11, Временное издательство, 2000 г., стр. 1609–1614, http://www.jstor.org/stable/24104871.
87. Кумар, Манджит, Квант: Эйнштейн, Бор и великие дебаты о природе реальности , 1-е американское издание, 2008 г. ^{[ отсутствует ISBN ] [ необходима страница ]}
88. Стоун, А. Дуглас, Эйнштейн и квант: поиски доблестного шваба , 2013, Princeton University Press. ^{[ ISBN отсутствует ] [ нужна страница ]}
89. «Замечания о законе полного излучения», в The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science , Vol. XLIX, январь – июнь 1900 г., стр. 539–541, Рэлей, Лорд (Джон Уильям Стратт)
90. Планк, Научная автобиография и другие статьи (Нью-Йорк: Философская библиотека, 1949), 41.
91. Германн, «Происхождение квантовой теории», Американский журнал физики 40, 1355 (1972), стр. 23.
92. Макс Планк, «К теории закона распределения энергии нормального спектра», Verhandl, Dtsch, phys Ges, 2, (1900)
93. Мир физики , «Макс Планк: сопротивляющийся революционер», 1 декабря 2000 г. Цитата: «Согласно молекулярно-механической интерпретации Больцмана, энтропия системы является коллективным результатом молекулярных движений. Второй закон действителен только в статистическом В этом смысле теория Больцмана, предполагавшая существование атомов и молекул, была оспорена Вильгельмом Оствальдом и другими «энергетиками», которые хотели освободить физику от понятия атомов и обосновать ее на энергии и связанных с ней величинах. Какова была позиция Планка в этом смысле. Можно было бы ожидать, что он встал на сторону победителей или тех, кто вскоре оказался победителями, а именно Больцмана и «атомистов». Но это не так. Вера Планка в абсолютную справедливость второго закона заставила его не только отвергнуть статистическую версию термодинамики Больцмана, но и подвергнуть сомнению атомную гипотезу, на которой она основана». https://physicalworld.com/a/max-planck-the-reluctant-revolutionary/
94. Планк 1900a
95. Планк 1900b
96. Рэлей 1900 г.
97. Дугал 1976
98. Планк 1943, с. 156
99. Хеттнер 1922 г.
100. Рубенс и Курльбаум 1900а.
101. Рубенс и Курльбаум 1900b
102. Кангро 1976, с. 165
103. Мехра и Рехенберг 1982, с. 41
104. Планк 1914, с. 135
105. Кун 1978, стр. 117–118.
106. Германн 1971, с. 16
107. Планк Роберту Уильяму Вудсу, 7 октября 1931 г., в Армине Германне, Генезис квантовой теории (1899–1913) (Кембридж, Массачусетс: MIT Press, 1971), 24.
108. Планк 1900c
109. Кангро 1976, с. 214
110. Кун 1978, с. 106
111. Краг 2000
112. Планк 1901 г.
113. Планк 1915, с. 89
114. Эренфест и Камерлинг-Оннес 1914, с. 873
115. тер Хаар 1967, с. 14
116. Стеле 1994, с. 128
117. Скалли и Зубайри 1997, с. 21.
118. Планк 1906, с. 220
119. Кун 1978, с. 162
120. Планк 1914, стр. 44–45, 113–114.
121. Stehle 1994, с. 150
122. Jauch & Rohrlich 1980, глава 13.
123. Карплюс и Нойман, 1951 г.
124. Томмазини и др. 2008 год
125. Джеффрис 1973, с. 223
126. Планк 1906, с. 178
127. Планк 1914, с. 26
128. Больцман 1878 г.
129. Кун 1978, стр. 38–39.
130. Планк 1914, стр. 1–45.
131. Хлопок 1899 г.
132. Эйнштейн 1905 г.
133. Краг 1999, с. 67
134. Штеле 1994, стр. 132–137.
135. Эйнштейн 1993, с. 143, письмо 1910 г.
136. Планк 1915, с. 95
137. Планк 1906 г.
138. Кун 1978, стр. 196–202.
139. Краг 1999, стр. 63–66.
140. Планк 1914, с. 161
141. Кун 1978, стр. 235–253.
142. Кун 1978, стр. 253–254.
143. Эренфест 1911 г.
144. Кун 1978, с. 152
145. Кун 1978, стр. 151–152.
146. Кангро 1976, с. 190
147. Кун 1978, стр. 144–145.
148. Джинсы 1901 г., сноска на стр. 398
149. Джинсы 1905б
150. Джинсы 1905c
151. Джинсы 1905г.
152. Зоммерфельд 1923, с. 43
153. Гейзенберг 1925, с. 108
154. Бриллюэн 1970, с. 31
155. Бозе 1924 г.
156. Льюис 1926 г.
157. Гейзенберг 1925 г.
158. Разавы 2011, стр. 39–41.
159. Родился и Джордан, 1925 г.
160. Стеле 1994, с. 286
161. Разавы 2011, стр. 42–43.
162. Мессия 1958, с. 14
163. Паули 1973, с. 1
164. Фейнман, Лейтон и Сэндс 1963, стр. 38-1
165. Швингер 2001, с. 203
166. Борен и Клотио 2006, стр. 2
167. Шифф 1949, с. 2
168. Михалас и Вайбель-Михалас 1984, с. 143
169. Рыбицки и Лайтман 1979, с. 20

Библиография

• Адкинс, CJ (1983). Равновесная термодинамика (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-25445-8.
• Эндрюс, Дэвид (2000). Введение в физику атмосферы . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0511800770.
• Бор, Н. (1913). «О строении атомов и молекул» (PDF) . Философский журнал . 26 (153): 1–25. Бибкод : 1913PMag...26..476B. дои : 10.1080/14786441308634993.
• Борен, CF ; Клотио, Э.Э. (2006). Основы атмосферной радиации . Вайли-ВЧ . ISBN 978-3-527-40503-9.
• Больцман, Л. (1878). «Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung, соответственно den Sätzen über das Wärmegleichgewicht». Sitzungsberichte Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften в Вене . 76 (2): 373–435.
• Борн, М .; Вольф, Э. (1999). Принципы оптики (7-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-64222-4.
• Борн, М .; Джордан, П. (1925). «Цур Квантенмеханик». Zeitschrift für Physik . 34 (1): 858–888. Бибкод : 1925ZPhy...34..858B. дои : 10.1007/BF01328531. S2CID  186114542.Частично переведено как «О квантовой механике» Ван дер Вардена, Б.Л. (1967). Источники квантовой механики . Издательство Северной Голландии . стр. 277–306.
• Бозе, Сатьендра Натх (1924). «Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 26 (1): 178–181. Бибкод : 1924ZPhy...26..178B. дои : 10.1007/BF01327326. S2CID  186235974.
• Брем, Джей-Джей; Маллин, WJ (1989). Введение в структуру материи. Уайли . ISBN 978-0-471-60531-7.
• Бриллюэн, Л. (1970). Пересмотр теории относительности . Академическая пресса . ISBN 978-0-12-134945-5.
• Каниу, Дж. (1999). Пассивное инфракрасное обнаружение: теория и приложения. Спрингер . ISBN 978-0-7923-8532-5.
• Чандрасекхар, С. (1960) [1950]. Перенос излучения (пересмотренное переиздание). Дуврские публикации . ISBN 978-0-486-60590-6.
• Коттон, А. (1899). «Современный статус закона Кирхгофа». Астрофизический журнал . 9 : 237–268. Бибкод : 1899ApJ.....9..237C. дои : 10.1086/140585.
• Крова, АПП (1880). «Этюд излучений от корпусов ламп накаливания. Измерение оптики высоких температур». Анналы химии и телосложения . Серия 5. 19 : 472–550.
• Дугал, RC (1976). «Изложение формулы излучения Планка (учебное пособие)». Физическое образование . 11 (6): 438–443. Бибкод : 1976PhyEd..11..438D. дои : 10.1088/0031-9120/11/6/008. S2CID  250881729.
• Эренфест, П. (1911). «Welche Züge der Lichtquantenhypothese spielen in der Theorie der Wärmestrahlung eine wesentliche Rolle?». Аннален дер Физик . 36 (11): 91–118. Бибкод : 1911АнП...341...91Е. дои : 10.1002/andp.19113411106.
• Эренфест, П .; Камерлинг-Оннес, Х. (1914). «Упрощенный вывод формулы из теории комбинаций, которую Планк положил в основу своей теории излучения». Труды Королевской голландской академии наук в Амстердаме . 17 (2): 870–873. Бибкод : 1914KNAB...17..870E.
• Эйнштейн, А. (1905). «Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt». Аннален дер Физик . 17 (6): 132–148. Бибкод : 1905АнП...322..132Е. дои : 10.1002/andp.19053220607 .Переведен в Аронс, AB; Пеппард, МБ (1965). «Предложение Эйнштейна о концепции фотона: перевод статьи Annalen der Physik 1905 года» (PDF) . Американский журнал физики . 33 (5): 367. Бибкод : 1965AmJPh..33..367A. дои : 10.1119/1.1971542. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 года . Проверено 19 апреля 2011 г.
• Эйнштейн, А. (1916). «Квантовая теория излучения». Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich . 18 : 47–62.и почти идентичная версия Эйнштейна А. (1917). «Квантовая теория излучения». Physikalische Zeitschrift . 18 : 121–128. Бибкод : 1917PhyZ...18..121E.Переведено Тер Хааром, Д. (1967). «К квантовой теории излучения». Старая квантовая теория . Пергамон Пресс . стр. 167–183. LCCN  66029628.См. также [1].
• Эйнштейн, А. (1993). Собрание сочинений Альберта Эйнштейна . Том. 3. Английский перевод Бека, издательство А. Принстонского университета . ISBN 978-0-691-10250-4.
• Фейнман, Р.П .; Лейтон, РБ ; Сэндс, М. (1963). Фейнмановские лекции по физике, том 1 . Аддисон-Уэсли . ISBN 978-0-201-02010-6.
• Фишер, Т. (1 ноября 2011 г.). «Темы: Вывод закона Планка». ТермальныйХАБ . Проверено 19 июня 2015 г.
• Гаофэн Шао; Юкао Лу; Дориан А.Х. Ханаор; Шэн Цуй; Цзянь Цзяо; Сяодун Шен (2019). «Повышение стойкости к окислению высокоэмиссионных покрытий на волокнистой керамике для многоразовых космических систем». Коррозионная наука . Эльзевир. 146 : 233–246. arXiv : 1902.03943 . doi :10.1016/j.corsci.2018.11.006. S2CID  118927116. HAL Id: hal-02308467 – через архивы HAL.
• Гуди, РМ; Юнг, Ю.Л. (1989). Атмосферная радиация: теоретические основы (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-510291-8.
• Гуггенхайм, Э.А. (1967). Термодинамика. Расширенное лечение для химиков и физиков (5-е исправленное изд.). Издательская компания Северной Голландии .
• Хакен, Х. (1981). Свет (Переиздание). Амстердам: Издательство Северной Голландии . ISBN 978-0-444-86020-0.
• Хапке, Б. (1993). Теория отражения и эмиссионная спектроскопия . Издательство Кембриджского университета , Кембридж, Великобритания. ISBN 978-0-521-30789-5.
• Гейзенберг, В. (1925). «Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen». Zeitschrift für Physik . 33 (1): 879–893. Бибкод : 1925ZPhy...33..879H. дои : 10.1007/BF01328377. S2CID  186238950.Переведено как «Квантово-теоретическая переинтерпретация кинематических и механических отношений» Ван дер Вардена, Б.Л. (1967). Источники квантовой механики . Издательство Северной Голландии . стр. 261–276.
• Гейзенберг, В. (1930). Физические принципы квантовой теории. Эккарт, К.; Хойт, ФК (перевод). Издательство Чикагского университета .
• Германн, А. (1971). Генезис квантовой теории. Нэш, CW (перевод). МТИ Пресс . ISBN 978-0-262-08047-7.перевод Frühgeschichte der Quantentheorie (1899–1913) , Physik Verlag, Мосбах/Баден, 1969.
• Хеттнер, Г. (1922). «Die Bedeutung von Rubens Arbeiten für die Plancksche Strahlungsformel». Naturwissenschaften . 10 (48): 1033–1038. Бибкод : 1922NW.....10.1033H. дои : 10.1007/BF01565205. S2CID  46268714.
• Джаммер, М. (1989). Концептуальное развитие квантовой механики (второе изд.). Издательство Томаш / Американский институт физики . ISBN 978-0-88318-617-6.
• Яух, Дж. М.; Рорлих, Ф. (1980) [1955]. Теория фотонов и электронов. Релятивистская квантовая теория поля заряженных частиц с половинным спином (второе издание второго изд.). Спрингер . ISBN 978-0-387-07295-1.
• Джинсы, Дж. Х. (1901). «Распределение молекулярной энергии». Философские труды Королевского общества А. 196 (274–286): 397–430. Бибкод : 1901RSPTA.196..397J. дои : 10.1098/rsta.1901.0008. JSTOR  90811.
• Джинсы, Дж. Х. (1905а). «XI. О разделении энергии между материей и эфиром». Философский журнал . 10 (55): 91–98. дои : 10.1080/14786440509463348.
• Джинсы, Дж. Х. (1905b). «О применении статистической механики к общей динамике материи и эфира». Труды Королевского общества А. 76 (510): 296–311. Бибкод : 1905RSPSA..76..296J. дои : 10.1098/rspa.1905.0029 . JSTOR  92714.
• Джинсы, Дж. Х. (1905c). «Сравнение двух теорий радиации». Природа . 72 (1865): 293–294. Бибкод : 1905Natur..72..293J. дои : 10.1038/072293d0. S2CID  3955227.
• Джинсы, Дж. Х. (1905d). «О законах радиации». Труды Королевского общества А. 76 (513): 545–552. Бибкод : 1905RSPSA..76..545J. дои : 10.1098/rspa.1905.0060 . JSTOR  92704.
• Джеффрис, Х. (1973). Научный вывод (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-08446-8.
• Кангро, Х. (1976). Ранняя история закона излучения Планка . Тейлор и Фрэнсис . ISBN 978-0-85066-063-0.
• Карплюс, Р.; Нойман, М. (1951). «Рассеяние света светом». Физический обзор . 83 (4): 776–784. Бибкод : 1951PhRv...83..776K. doi : 10.1103/PhysRev.83.776.
• Кирхгоф, Г. Р. (1860а). «Über die Fraunhofer'schen Linien». Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 662–665.
• Кирхгоф, Г. Р. (1860b). «Über den Zusammenhang zwischen Emission und Absorbon Licht und Wärme». Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 783–787.
• Кирхгоф, Г. Р. (1860c). «Über das Verhältniss zwischen dem Emissionsvermögen und dem Absorbsvermögen der Körper für Wärme and Licht». Аннален дер Физик и Химия . 109 (2): 275–301. Бибкод : 1860АнП...185..275К. дои : 10.1002/andp.18601850205 .Переведено Гатри Ф. как Кирхгоф Г.Р. (1860). «О соотношении излучающей и поглощающей способностей различных тел по свету и теплу». Философский журнал . Серия 4. 20 : 1–21.
• Кирхгоф, Г. Р. (1862), «Über das Verhältniss zwischen dem Emissionsvermögen und dem Absorbsvermögen der Körper für Wärme und Licht», Gessamelte Abhandlungen , Иоганн Амброзиус Барт, стр. 571–598
• Киттель, К. ; Кремер, Х. (1980). Теплофизика (2-е изд.). У. Х. Фриман . ISBN 978-0-7167-1088-2.
• Кляйн, MJ (1962). «Макс Планк и начало квантовой теории». Архив истории точных наук . 1 (5): 459–479. дои : 10.1007/BF00327765. S2CID  121189755.
• Краг, Х. (1999). Квантовые поколения. История физики двадцатого века . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-01206-3.
• Краг, Х. (декабрь 2000 г.). «Макс Планк: сопротивляющийся революционер». Мир физики . 13 (12): 31–36. дои : 10.1088/2058-7058/13/12/34.
• Крамм, Герхард; Мёльдерс, Н. (2009). «Закон излучения черного тела Планка: представление в различных областях и определение соответствующей размерной постоянной». Журнал Калькуттского математического общества . 5 (1–2): 27–61. arXiv : 0901.1863 . Бибкод : 2009arXiv0901.1863K.
• Кун, Т.С. (1978). Теория черного тела и квантовый разрыв . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-502383-1.
• Ландсберг, PT (1961). Термодинамика с квантовыми статистическими иллюстрациями . Издательство Интерсайенс .
• Ландсберг, PT (1978). Термодинамика и статистическая механика . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-851142-7.
• Льюис, Дж. Н. (1926). «Сохранение фотонов». Природа . 118 (2981): 874–875. Бибкод : 1926Natur.118..874L. дои : 10.1038/118874a0. S2CID  4110026.
• Лаудон, Р. (2000). Квантовая теория света (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-850177-0.
• Лоуэн, АН; Бланш, Г. (1940). «Таблицы излучения Планка и фотонных функций». Журнал Оптического общества Америки . 30 (2): 70. Бибкод : 1940JOSA...30...70L. дои : 10.1364/JOSA.30.000070.
• Ламмер, О. ; Курльбаум, Ф. (1898). "Der electricsch geglühte "absolut schwarze" Körper und seine Temperaturmessung". Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 17 : 106–111.
• Ламмер, О. ; Прингсхайм, Э. (1899). «1. Die Vertheilung der Energie in Spectrum des schwarzen Körpers und des Blanken Platins; 2. Temperaturbestimmung fester glühender Körper». Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 1 : 215–235.
• Ламмер, О. ; Курльбаум, Ф. (1901). "Der elektrisch geglühte "schwarze" Körper". Аннален дер Физик . 310 (8): 829–836. Бибкод : 1901АнП...310..829Л. дои : 10.1002/andp.19013100809.
• Мандель, Л .; Вольф, Э. (1995). Оптическая когерентность и квантовая оптика . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-41711-2.
• Мехра, Дж .; Рехенберг, Х. (1982). Историческое развитие квантовой теории . Том. 1. Шпрингер-Верлаг . ISBN 978-0-387-90642-3.
• Мессия, А. (1958). Квантовая механика . Теммер, Г.Г. (пер.). Уайли .
• Майкельсон, Вирджиния (1888 г.). «Теоретический очерк о распределении энергии в спектрах твердых тел». Философский журнал . Серия 5. 25 (156): 425–435. дои : 10.1080/14786448808628207.
• Михалас, Д. ; Вайбель-Михалас, Б. (1984). Основы радиационной гидродинамики . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-503437-0.
• Милн, Э.А. (1930). «Термодинамика звезд». Справочник по астрофизике . 3 (1): 63–255.
• Мор, П.Дж.; Тейлор, Б.Н.; Ньюэлл, Д.Б. (2012). «Рекомендуемые CODATA значения фундаментальных физических констант: 2010 г.» (PDF) . Обзоры современной физики . 84 (4): 1527–1605. arXiv : 1203.5425 . Бибкод : 2012РвМП...84.1527М. CiteSeerX  10.1.1.150.1225 . doi : 10.1103/RevModPhys.84.1527. S2CID  103378639.
• Палтридж, Джорджия Вирджиния ; Платт, CMR (1976). Радиационные процессы в метеорологии и климатологии . Эльзевир . ISBN 978-0-444-41444-1.
• Пашен, Ф. (1895). «Über Gesetzmäßigkeiten in den Spectren fester Körper und über ein neue Bestimmung der Sonnenttemperatur». Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Mathematisch-Physikalische Klasse) : 294–304.
• Паули, В. (1973). Энц, CP (ред.). Волновая механика . Маргулис, С.; Льюис, HR (перевод). МТИ Пресс . ISBN 978-0-262-16050-6.
• Планк, М. (1900а). «Über eine Verbesserung der Wien'schen Spectralgleichung». Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 2 : 202–204.Переведено Тер Хааром, Д. (1967). «Об улучшении уравнения Вина для спектра» (PDF) . Старая квантовая теория . Пергамон Пресс . стр. 79–81. LCCN  66029628.
• Планк, М. (1900b). «Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum». Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 2 : 237–245.Переведено Тер Хааром, Д. (1967). «К теории закона распределения энергии нормального спектра» (PDF) . Старая квантовая теория . Пергамон Пресс . п. 82. LCCN  66029628.
• Планк, М. (1900c). «Энтропия и температура тепла». Аннален дер Физик . 306 (4): 719–737. Бибкод : 1900АнП...306..719П. дои : 10.1002/andp.19003060410.
• Планк, М. (1900d). «Убер-необратимое страдание». Аннален дер Физик . 306 (1): 69–122. Бибкод : 1900АнП...306...69П. дои : 10.1002/andp.19003060105.
• Планк, М. (1901). «Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum». Аннален дер Физик . 4 (3): 553–563. Бибкод : 1901АнП...309..553П. дои : 10.1002/andp.19013090310 .В переводе Андо, К. «О законе распределения энергии в нормальном спектре» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 6 октября 2011 года . Проверено 13 октября 2011 г.
• Планк, М. (1906). Vorlesungen über die Theorie der Warmestrahlung . Иоганн Амброзиус Барт. LCCN  07004527.
• Планк, М. (1914). Теория теплового излучения. Перевод Масиуса М. (2-е изд.). Сын П. Блэкистона и компания OL  7154661M.
• Планк, М. (1915). Восемь лекций по теоретической физике, прочитанных в Колумбийском университете в 1909 году (PDF) . Перевод Уиллса, AP Нью-Йорк: издательство Колумбийского университета . Проверено 11 мая 2020 г. - через Project Gutenberg.
• Планк, М. (1943). «Zur Geschichte der Auffindung des Physikalischen Wirkungsquantums». Naturwissenschaften . 31 (14–15): 153–159. Бибкод : 1943NW.....31..153P. дои : 10.1007/BF01475738. S2CID  44899488.
• Рэлей, Лорд (1900). «LIII. Замечания о законе полного излучения». Философский журнал . Серия 5. 49 (301): 539–540. дои : 10.1080/14786440009463878.
• Рэлей, Лорд (1905). «Динамическая теория газов и излучения». Природа . 72 (1855): 54–55. Бибкод : 1905Natur..72...54R. дои : 10.1038/072054c0. S2CID  4057048.
• Разавы, М. (2011). Квантовая механика Гейзенберга . Всемирная научная . ISBN 978-981-4304-10-8.
• Рубенс, Х .; Курльбаум, Ф. (1900a). «Über die Emission langer Wellen durch den schwarzen Körper». Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 2 : 181.
• Рубенс, Х .; Курльбаум, Ф. (1900b). «Über die Emission langwelliger Wärmestrahlen durch den schwarzen Körper bei verschiedenen Climaten». Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 929–941.Переведено Рубенсом, Х .; Курльбаум, Ф. (1901). «О тепловом излучении длинных волн, испускаемом черными телами при различных температурах». Астрофизический журнал . 14 : 335–348. Бибкод : 1901ApJ....14..335R. дои : 10.1086/140874 .
• Рыбицкий, ГБ; Лайтман, AP (1979). Радиационные процессы в астрофизике. Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-471-82759-7.
• Шарков, Е.А. (2003). «Излучение черного тела» (PDF) . Пассивное микроволновое дистанционное зондирование Земли . Спрингер . ISBN 978-3-540-43946-2.
• Шифф, Л.И. (1949). Квантовая механика . МакГроу-Хилл .
• Ширмахер, А. (2001). Экспериментальная теория: доказательства закона излучения Кирхгофа до и после Планка . Münchner Zentrum für Wissenschafts und Technikgeschichte.
• Швингер, Дж. (2001). Энглерт, Б.-Г. (ред.). Квантовая механика: символика атомных измерений . Спрингер . ISBN 978-3-540-41408-7.
• Скалли, Миссури ; Зубайри, М.С. (1997). Квантовая оптика . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-43458-4.
• Сигел, DM (1976). «Бальфур Стюарт и Густав Роберт Кирхгоф: два независимых подхода к «закону излучения Кирхгофа»". Isis . 67 (4): 565–600. doi : 10.1086/351669. PMID  794025. S2CID  37368520.
• Сигел, Р .; Хауэлл, младший (2002). Теплопередача теплового излучения, Том 1 (4-е изд.). Тейлор и Фрэнсис . ISBN 978-1-56032-839-1.
• Зоммерфельд, А. (1923). Атомная структура и спектральные линии. Брозе, HL (перевод) (из 3-го немецкого изд.). Метуэн .
• Стеле, П. (1994). Порядок, Хаос, Порядок. Переход от классической к квантовой физике . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-507513-7.
• Стюарт, Б. (1858). «Отчет о некоторых экспериментах по лучистому теплу». Труды Королевского общества Эдинбурга . 22 : 1–20. дои : 10.1017/S0080456800031288. S2CID  122316368.
• тер Хаар, Д. (1967). Старая квантовая теория . Пергамон Пресс . ЛЦН  66-029628.
• Торнтон, Северная Каролина; Рекс, А.Ф. (2002). Современная физика . Томсон Обучение . ISBN 978-0-03-006049-6.
• Тиса, Л. (1966). Обобщенная термодинамика . МТИ Пресс .
• Томмазини, Д.; Феррандо, Ф.; Мишинель, Х.; Секо, М. (2008). «Обнаружение фотон-фотонного рассеяния в вакууме на эксаваттных лазерах». Физический обзор А. 77 (1): 042101. arXiv : quant-ph/0703076 . Бибкод : 2008PhRvA..77a2101M. doi :10.1103/PhysRevA.77.012101.
• Тиндаль, Дж. (1865a). «Über leuchtende und dunkle Strahlung». Аннален дер Физик и Химия . 200 (1): 36–53. Бибкод : 1865АнП...200...36Т. дои : 10.1002/andp.18652000103.
• Тиндаль, Дж. (1865b). Теплота рассматривается как способ движения. Д. Эпплтон и компания .
• Вена, В. (1896). «Über die Energievertheilung im Emissionsspectrum eines schwarzen Körpers». Аннален дер Физик и Химия . 294 (8): 662–669. Бибкод : 1896АнП...294..662Вт. дои : 10.1002/andp.18962940803.
• Уилсон, А.Х. (1957). Термодинамика и статистическая механика . Издательство Кембриджского университета .

Внешние ссылки

• Краткое изложение радиации
• Излучение черного тела - интерактивная симуляция игры с законом Планка
• Статья в Scienceworld о законе Планка