Распределение Максвелла-Больцмана

Специфическая функция распределения вероятностей, важная в физике

В физике (в частности, в статистической механике ) распределение Максвелла–Больцмана , или распределение Максвелла(иана) , представляет собой особое распределение вероятностей, названное в честь Джеймса Клерка Максвелла и Людвига Больцмана .

Впервые он был определен и использован для описания скоростей частиц в идеализированных газах , где частицы свободно движутся внутри неподвижного контейнера, не взаимодействуя друг с другом, за исключением очень коротких столкновений , в которых они обмениваются энергией и импульсом друг с другом или со своей тепловой средой. Термин «частица» в этом контексте относится только к газообразным частицам ( атомам или молекулам ), и предполагается, что система частиц достигла термодинамического равновесия . ^[1] Энергии таких частиц следуют тому, что известно как статистика Максвелла–Больцмана , а статистическое распределение скоростей выводится путем приравнивания энергий частиц к кинетической энергии .

Математически распределение Максвелла–Больцмана представляет собой распределение хи с тремя степенями свободы (компоненты вектора скорости в евклидовом пространстве ), с масштабным параметром, измеряющим скорости в единицах, пропорциональных квадратному корню (отношению температуры и массы частицы). ^[2] ${\displaystyle T/m}$

Распределение Максвелла-Больцмана является результатом кинетической теории газов , которая дает упрощенное объяснение многих фундаментальных свойств газов, включая давление и диффузию . ^[3] Распределение Максвелла-Больцмана применяется в основном к скоростям частиц в трех измерениях, но оказывается, что оно зависит только от скорости ( величины скорости) частиц. Распределение вероятностей скоростей частиц указывает, какие скорости более вероятны: случайно выбранная частица будет иметь скорость, выбранную случайным образом из распределения, и с большей вероятностью будет находиться в одном диапазоне скоростей, чем в другом. Кинетическая теория газов применяется к классическому идеальному газу , который является идеализацией реальных газов. В реальных газах существуют различные эффекты (например, взаимодействия Ван-дер-Ваальса , вихревой поток, релятивистские ограничения скорости и квантовые обменные взаимодействия ), которые могут сделать их распределение скоростей отличным от формы Максвелла-Больцмана. Однако разреженные газы при обычных температурах ведут себя очень близко к идеальному газу, и распределение скоростей Максвелла является отличным приближением для таких газов. Это также справедливо для идеальной плазмы , которая представляет собой ионизированный газ достаточно низкой плотности. ^[4]

Распределение было впервые выведено Максвеллом в 1860 году на эвристических основаниях. ^{[5] [6]} Больцман позже, в 1870-х годах, провел значительные исследования физического происхождения этого распределения. Распределение может быть выведено на том основании, что оно максимизирует энтропию системы. Список выводов:

1. Распределение вероятностей максимальной энтропии в фазовом пространстве с ограничением сохранения средней энергии ${\displaystyle \langle H\rangle =E;}$
2. Канонический ансамбль .

Функция распределения

Для системы, содержащей большое количество идентичных невзаимодействующих, нерелятивистских классических частиц, находящихся в термодинамическом равновесии, доля частиц в бесконечно малом элементе трехмерного пространства скоростей d ³ v , центрированном на векторе скорости величиной , определяется выражением, где: ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle f(\mathbf {v} )~d^{3}\mathbf {v} ={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{{3}/{2}}\,\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)~d^{3}\mathbf {v} ,}$$

• m — масса частицы;
• k _B — постоянная Больцмана ;
• T — термодинамическая температура ;
• ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$— это функция распределения вероятностей, надлежащим образом нормированная так, что по всем скоростям она равна единице. ${\textstyle \int f(\mathbf {v} )\,d^{3}\mathbf {v} }$

Плотность вероятности скорости функций скоростей нескольких благородных газов при температуре 298,15 К (25 °C). Ось Y в с/м, так что площадь под любым участком кривой (которая представляет вероятность того, что скорость находится в этом диапазоне) безразмерна.

Элемент пространства скоростей можно записать как , для скоростей в стандартной декартовой системе координат, или как в стандартной сферической системе координат, где — элемент телесного угла и . ${\displaystyle d^{3}\mathbf {v} =dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}}$ ${\displaystyle d^{3}\mathbf {v} =v^{2}\,dv\,d\Omega }$ ${\displaystyle d\Omega =\sin {v_{\theta }}~dv_{\phi }~dv_{\theta }}$ ${\textstyle v^{2}=|\mathbf {v} |^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}$

Функция распределения Максвелла для частиц, движущихся только в одном направлении, если это направление x , имеет вид , который можно получить путем интегрирования трехмерной формы, приведенной выше, по v _y и v _z . $${\displaystyle f(v_{x})~dv_{x}={\sqrt {\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}}\,\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)~dv_{x},}$$

Учитывая симметрию , можно проинтегрировать по телесному углу и записать распределение вероятностей скоростей в виде функции ^[7] ${\displaystyle f(v)}$

$${\displaystyle f(v)={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{{3}/{2}}\,4\pi v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right).}$$

Эта функция плотности вероятности дает вероятность, на единицу скорости, найти частицу со скоростью около v . Это уравнение — просто распределение Максвелла–Больцмана (приведенное в информационном поле) с параметром распределения Распределение Максвелла–Больцмана эквивалентно распределению хи с тремя степенями свободы и параметром масштаба ${\textstyle a={\sqrt {k_{\text{B}}T/m}}\,.}$ ${\textstyle a={\sqrt {k_{\text{B}}T/m}}\,.}$

Простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет распределение, имеет вид: $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=k_{\text{B}}Tvf'(v)+f(v)\left(mv^{2}-2k_{\text{B}}T\right),\\[4pt]f(1)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}\exp \left(-{\frac {m}{2k_{\text{B}}T}}\right);\end{aligned}}}$$

или в безразмерном представлении: При использовании метода средних значений Дарвина–Фаулера распределение Максвелла–Больцмана получается как точный результат. $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=a^{2}xf'(x)+\left(x^{2}-2a^{2}\right)f(x),\\[4pt]f(1)&={\frac {1}{a^{3}}}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2a^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

Моделирование двумерного газа, релаксирующего к распределению скоростей Максвелла-Больцмана

Релаксация к двумерному распределению Максвелла–Больцмана

Для частиц, ограниченных движением в плоскости, распределение скоростей определяется выражением

$${\displaystyle P(s<|\mathbf {v} |<s+ds)={\frac {ms}{k_{\text{B}}T}}\exp \left(-{\frac {ms^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)ds}$$

Это распределение используется для описания систем в равновесии. Однако большинство систем изначально не находятся в состоянии равновесия. Эволюция системы к ее состоянию равновесия регулируется уравнением Больцмана . Уравнение предсказывает, что для взаимодействий на малых расстояниях распределение равновесной скорости будет следовать распределению Максвелла–Больцмана. Справа находится моделирование молекулярной динамики (МД), в котором 900  твердых сферических частиц ограничены движением в прямоугольнике. Они взаимодействуют посредством абсолютно упругих столкновений . Система инициализируется из состояния равновесия, но распределение скорости (синее) быстро сходится к двумерному распределению Максвелла–Больцмана (оранжевое).

Типичные скорости

Распределение Максвелла-Больцмана, соответствующее солнечной атмосфере. Массы частиц составляют одну массу протона , m _p =1,67 × 10 ⁻²⁷  кг ≈1  Да , а температура — эффективная температура фотосферы Солнца , T = 5800 К. ,,и V _rms обозначают наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичную скорости соответственно. Их значения≈ ${\displaystyle {\tilde {V}}}$ ${\displaystyle {\bar {V}}}$ ${\displaystyle {\tilde {V}}}$9,79 км/с , ≈ ${\displaystyle {\bar {V}}}$11,05 км/с и V _rms ≈12,00 км/с .

Среднюю скорость , наиболее вероятную скорость ( моду ) v p и среднеквадратичную скорость можно получить _из свойств распределения Максвелла. ${\displaystyle \langle v\rangle }$ ${\textstyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}$

Это хорошо работает для почти идеальных , одноатомных газов, таких как гелий , но также и для молекулярных газов, таких как двухатомный кислород . Это происходит потому, что, несмотря на большую теплоемкость (большую внутреннюю энергию при той же температуре) из-за большего числа степеней свободы , их поступательная кинетическая энергия (и, следовательно, их скорость) неизменны. ^[8]

• Наиболее вероятная скорость, v _p , — это скорость, которой, скорее всего, будет обладать любая молекула (с той же массой m ) в системе, и она соответствует максимальному значению или моде f ( v ) . Чтобы найти ее, мы вычисляем производную ⁠ ⁠, ${\displaystyle {\tfrac {df}{dv}},}$ приравниваем ее к нулю и решаем относительно v : с помощью решения: где: $${\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}=-8\pi {\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}\,v\,\left[{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}-1\right]\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)=0}$$ $${\displaystyle {\frac {mv_{\text{p}}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}=1;\quad v_{\text{p}}={\sqrt {\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}}}$$
  • R — газовая постоянная ;
  • M — молярная масса вещества, и, таким образом, может быть рассчитана как произведение массы частицы, m , и постоянной Авогадро , N _A : ${\displaystyle M=mN_{\mathrm {A} }.}$

Для двухатомного азота ( N ₂ , основного компонента воздуха ) ^{[примечание 1]} при комнатной температуре (300 К ), это дает $${\displaystyle v_{\text{p}}\approx {\sqrt {\frac {2\cdot 8.31\ {\text{J}}\cdot {\text{mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}\ 300\ {\text{K}}}{0.028\ {\text{kg}}\cdot {\text{mol}}^{-1}}}}\approx 422\ {\text{m/s}}.}$$

• Средняя скорость — это ожидаемое значение распределения скорости, заданное следующим образом : ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2k_{\text{B}}T}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v\rangle &=\int _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv\\[1ex]&=4\pi \left[{\frac {b}{\pi }}\right]^{3/2}\int _{0}^{\infty }v^{3}e^{-bv^{2}}dv=4\pi \left[{\frac {b}{\pi }}\right]^{3/2}{\frac {1}{2b^{2}}}={\sqrt {\frac {4}{\pi b}}}\\[1.4ex]&={\sqrt {\frac {8k_{\text{B}}T}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{\text{p}}\end{aligned}}}$$
• Среднеквадратическая скорость — это момент второго порядка распределения скорости. «Среднеквадратическая скорость» — это квадратный корень из среднеквадратической скорости, соответствующий скорости частицы со средней кинетической энергией , устанавливая : ${\displaystyle \langle v^{2}\rangle }$ ${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }}$ ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2k_{\text{B}}T}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\mathrm {rms} }&={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=\left[\int _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv\right]^{1/2}\\[1ex]&=\left[4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{3/2}\int _{0}^{\infty }v^{4}e^{-bv^{2}}dv\right]^{1/2}\\[1ex]&=\left[4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{3/2}{\frac {3}{8}}\left({\frac {\pi }{b^{5}}}\right)^{1/2}\right]^{1/2}={\sqrt {\frac {3}{2b}}}\\[1ex]&={\sqrt {\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{\text{p}}\end{aligned}}}$$

Подводя итог, типичные скорости соотносятся следующим образом: $${\displaystyle v_{\text{p}}\approx 88.6\%\ \langle v\rangle <\langle v\rangle <108.5\%\ \langle v\rangle \approx v_{\mathrm {rms} }.}$$

Среднеквадратическая скорость напрямую связана со скоростью звука c в газе, где - показатель адиабаты , f - число степеней свободы отдельной молекулы газа. Для приведенного выше примера двухатомный азот (приблизительно воздух ) при $${\displaystyle c={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{3f}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{2f}}}\ v_{\text{p}},}$$ ${\textstyle \gamma =1+{\frac {2}{f}}}$300 К , ^{[примечание 2]} и истинное значение для воздуха можно приблизительно определить, используя среднюю молярную массу воздуха ( ${\displaystyle f=5}$ $${\displaystyle c={\sqrt {\frac {7}{15}}}v_{\mathrm {rms} }\approx 68\%\ v_{\mathrm {rms} }\approx 84\%\ v_{\text{p}}\approx 353\ \mathrm {m/s} ,}$$29 г/моль ), что дает347 м/с в300 К (поправки на переменную влажность составляют порядка 0,1% - 0,6%).

Средняя относительная скорость , где трехмерное распределение скорости равно $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\text{rel}}\equiv \langle |\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}|\rangle &=\int \!d^{3}\mathbf {v} _{1}\,d^{3}\mathbf {v} _{2}\left|\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right|f(\mathbf {v} _{1})f(\mathbf {v} _{2})\\[2pt]&={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {k_{\text{B}}T}{m}}}={\sqrt {2}}\langle v\rangle \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle f(\mathbf {v} )\equiv \left[{\frac {2\pi k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{-3/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{k_{\text{B}}T}}\right).}$$

Интеграл можно легко вычислить, перейдя к координатам и ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {U} ={\tfrac {\mathbf {v} _{1}\,+\,\mathbf {v} _{2}}{2}}.}$

Ограничения

Распределение Максвелла–Больцмана предполагает, что скорости отдельных частиц намного меньше скорости света, т.е. что . Для электронов температура электронов должна быть . ${\displaystyle T\ll {\frac {mc^{2}}{k_{\text{B}}}}}$ ${\displaystyle T_{e}\ll 5.93\times 10^{9}~\mathrm {K} }$

Вывод и связанные с ним распределения

Статистика Максвелла-Больцмана

Первоначальный вывод в 1860 году Джеймса Клерка Максвелла был аргументом, основанным на молекулярных столкновениях кинетической теории газов , а также на определенных симметриях в функции распределения скоростей; Максвелл также дал ранний аргумент о том, что эти молекулярные столкновения влекут за собой тенденцию к равновесию. ^{[5] [6] [9]} После Максвелла Людвиг Больцман в 1872 году ^[10] также вывел распределение на механических основаниях и утверждал, что газы должны со временем стремиться к этому распределению из-за столкновений (см. H-теорему ). Позднее он (1877) ^[11] снова вывел распределение в рамках статистической термодинамики . Выводы в этом разделе соответствуют выводу Больцмана 1877 года, начиная с результата, известного как статистика Максвелла–Больцмана (из статистической термодинамики). Статистика Максвелла–Больцмана дает среднее число частиц, обнаруженных в данном микросостоянии одной частицы . При определенных предположениях логарифм доли частиц в данном микросостоянии линеен по отношению энергии этого состояния к температуре системы: существуют константы и такие, что для всех , Предположения этого уравнения состоят в том, что частицы не взаимодействуют и являются классическими; это означает, что состояние каждой частицы можно рассматривать независимо от состояний других частиц. Кроме того, предполагается, что частицы находятся в тепловом равновесии. ^{[1] [12]} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle -\log \left({\frac {N_{i}}{N}}\right)={\frac {1}{k}}\cdot {\frac {E_{i}}{T}}+C.}$$

Это соотношение можно записать в виде уравнения, введя нормирующий множитель:

где:

• N _i — ожидаемое число частиц в одночастичном микросостоянии i ,
• N — общее число частиц в системе,
• E _i — энергия микросостояния i ,
• сумма по индексу j учитывает все микросостояния,
• T — равновесная температура системы,
• k _B — постоянная Больцмана .

Знаменатель в уравнении 1 является нормализующим множителем, так что отношения в сумме дают единицу — другими словами, это своего рода статсумма (для системы из одной частицы, а не обычная статсумма всей системы). ${\displaystyle N_{i}:N}$

Поскольку скорость и скорость связаны с энергией, уравнение ( 1 ) можно использовать для вывода соотношений между температурой и скоростями частиц газа. Все, что нужно, это обнаружить плотность микросостояний в энергии, которая определяется путем деления импульсного пространства на области одинакового размера.

Распределение для вектора импульса

Потенциальная энергия принимается равной нулю, так что вся энергия находится в форме кинетической энергии. Соотношение между кинетической энергией и импульсом для массивных нерелятивистских частиц следующее:

где p ² — квадрат вектора импульса p = [ p _x , p _y , p _z ] . Поэтому мы можем переписать уравнение ( 1 ) как:

где:

• Z — это статистическая сумма , соответствующая знаменателю в уравнении 1 ;
• m — молекулярная масса газа;
• T — термодинамическая температура;
• k _B — постоянная Больцмана .

_Это распределение N _i  : N пропорционально функции плотности вероятности f p для нахождения молекулы с этими значениями компонент импульса, поэтому:

Нормировочную константу можно определить, признав, что вероятность того, что молекула имеет некоторый импульс, должна быть равна 1. Интегрирование экспоненты в уравнении 4 по всем p _x , p _y и p _z дает множитель $${\displaystyle \iiint _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mk_{\text{B}}T}}\right)dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}={\Bigl [}{\sqrt {\pi }}{\sqrt {2mk_{\text{B}}T}}{\Bigr ]}^{3}}$$

Итак, нормализованная функция распределения имеет вид:

${\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left[{\frac {1}{2\pi mk_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mk_{\text{B}}T}}\right)}$   ( 6 )

Распределение представляется как произведение трех независимых нормально распределенных переменных , и с дисперсией . Кроме того, можно видеть, что величина импульса будет распределена как распределение Максвелла–Больцмана с . Распределение Максвелла–Больцмана для импульса (или равно для скоростей) может быть получено более фундаментально с использованием H-теоремы в равновесии в рамках кинетической теории газов . ${\displaystyle p_{x}}$ ${\displaystyle p_{y}}$ ${\displaystyle p_{z}}$ ${\displaystyle mk_{\text{B}}T}$ ${\textstyle a={\sqrt {mk_{\text{B}}T}}}$

Распределение энергии

Распределение энергии оказалось впечатляющим

где - бесконечно малый объем фазового пространства импульсов, соответствующий интервалу энергии dE . Используя сферическую симметрию дисперсионного соотношения энергии-импульса, это можно выразить через dE как ${\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }$ ${\displaystyle E={\tfrac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}},}$

Используя затем ( 8 ) в ( 7 ) и выражая все через энергию E , получаем и, наконец, $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{E}(E)dE&=\left[{\frac {1}{2\pi mk_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}\right)4\pi m{\sqrt {2mE}}\ dE\\[1ex]&=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{k_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}\right)\,dE\end{aligned}}}$$

${\displaystyle f_{E}(E)=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{k_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}\right)}$   ( 9 )

Поскольку энергия пропорциональна сумме квадратов трех нормально распределенных компонент импульса, это распределение энергии можно эквивалентно записать как гамма-распределение , используя параметр формы и параметр масштаба, ${\displaystyle k_{\text{shape}}=3/2}$ ${\displaystyle \theta _{\text{scale}}=k_{\text{B}}T.}$

Используя теорему о равнораспределении , учитывая, что энергия равномерно распределена между всеми тремя степенями свободы в равновесии, мы также можем разбить ее на набор распределений хи-квадрат , где энергия на степень свободы, ε , распределена как распределение хи-квадрат с одной степенью свободы, ^[13] ${\displaystyle f_{E}(E)dE}$ $${\displaystyle f_{\varepsilon }(\varepsilon )\,d\varepsilon ={\sqrt {\frac {1}{\pi \varepsilon k_{\text{B}}T}}}~\exp \left(-{\frac {\varepsilon }{k_{\text{B}}T}}\right)\,d\varepsilon }$$

В состоянии равновесия это распределение будет справедливо для любого числа степеней свободы. Например, если частицы представляют собой жесткие массовые диполи с фиксированным дипольным моментом, они будут иметь три поступательные степени свободы и две дополнительные вращательные степени свободы. Энергия в каждой степени свободы будет описываться в соответствии с приведенным выше распределением хи-квадрат с одной степенью свободы, а полная энергия будет распределена в соответствии с распределением хи-квадрат с пятью степенями свободы. Это имеет значение в теории удельной теплоемкости газа.

Распределение для вектора скорости

Признавая, что плотность вероятности скорости f _v пропорциональна функции плотности вероятности импульса

$${\displaystyle f_{\mathbf {v} }d^{3}\mathbf {v} =f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}\mathbf {v} }$$

и используя p = m v получаем

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}\exp \left(-{\frac {m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right)}{2k_{\text{B}}T}}\right)}$

что является распределением скоростей Максвелла-Больцмана. Вероятность обнаружения частицы со скоростью в бесконечно малом элементе [ dv _x , dv _y , dv _z ] относительно скорости v = [ v _x , v _y , v _z ] равна

$${\displaystyle f_{\mathbf {v} }{\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)}\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.}$$

Подобно импульсу, это распределение рассматривается как произведение трех независимых нормально распределенных переменных , , и , но с дисперсией . Также можно увидеть, что распределение скорости Максвелла–Больцмана для векторной скорости [ v _x , v _y , v _z ] является произведением распределений для каждого из трех направлений: где распределение для одного направления равно ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle v_{y}}$ ${\displaystyle v_{z}}$ ${\textstyle k_{\text{B}}T/m}$ $${\displaystyle f_{\mathbf {v} }{\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)}=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})}$$ $${\displaystyle f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}}\exp \left(-{\frac {mv_{i}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right).}$$

Каждый компонент вектора скорости имеет нормальное распределение со средним значением и стандартным отклонением , поэтому вектор имеет трехмерное нормальное распределение, особый вид многомерного нормального распределения , со средним значением и ковариацией , где — единичная матрица 3 × 3 . ${\displaystyle \mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0}$ ${\textstyle \sigma _{v_{x}}=\sigma _{v_{y}}=\sigma _{v_{z}}={\sqrt {k_{\text{B}}T/m}}}$ ${\displaystyle \mu _{\mathbf {v} }=\mathbf {0} }$ ${\textstyle \Sigma _{\mathbf {v} }=\left({\frac {k_{\text{B}}T}{m}}\right)I}$ ${\displaystyle I}$

Распределение по скорости

Распределение Максвелла–Больцмана для скорости немедленно следует из распределения вектора скорости, приведенного выше. Обратите внимание, что скорость равна и элемент объема в сферических координатах, где и — сферические координатные углы вектора скорости. Интегрирование функции плотности вероятности скорости по телесным углам дает дополнительный множитель . Распределение скорости с заменой скорости на сумму квадратов компонент вектора: $${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$$ $${\displaystyle dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=v^{2}\sin \theta \,dv\,d\theta \,d\phi =v^{2}\,dv\,d\Omega }$$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\Omega }$ ${\displaystyle 4\pi }$

${\displaystyle f(v)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right).}$

Вн-мерное пространство

В n -мерном пространстве распределение Максвелла–Больцмана принимает вид: $${\displaystyle f(\mathbf {v} )~d^{n}\mathbf {v} ={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{n/2}\exp \left(-{\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)~d^{n}\mathbf {v} }$$

Распределение скорости принимает вид: где — нормирующая константа. $${\displaystyle f(v)~dv=A\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)v^{n-1}~dv}$$ ${\displaystyle A}$

Следующий интегральный результат полезен: где - Гамма-функция . Этот результат можно использовать для вычисления моментов функции распределения скорости: которая является самой средней скоростью $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }v^{a}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)dv&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{a/2}\,dx^{1/2}\\[2pt]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{a/2}{\frac {x^{-1/2}}{2}}\,dx\\[2pt]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}{\frac {\Gamma {\left({\frac {a+1}{2}}\right)}}{2}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ $${\displaystyle \langle v\rangle ={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\infty }v\cdot v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\,dv}}={\sqrt {\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}}~~{\frac {\Gamma {\left({\frac {n+1}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {n}{2}}\right)}}}}$$ ${\textstyle v_{\mathrm {avg} }=\langle v\rangle ={\sqrt {\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}}\ {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v^{2}\rangle &={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{2}\cdot v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\,dv}}\\[1ex]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]{\frac {\Gamma {\left({\frac {n+2}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {n}{2}}\right)}}}\\[1.2ex]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]{\frac {n}{2}}={\frac {nk_{\text{B}}T}{m}}\end{aligned}}}$$что дает среднеквадратичную скорость ${\textstyle v_{\text{rms}}={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {nk_{\text{B}}T}{m}}}.}$

Производная функции распределения скорости: $${\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}=A\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right){\biggl [}-{\frac {mv}{k_{\text{B}}T}}v^{n-1}+(n-1)v^{n-2}{\biggr ]}=0}$$

Это дает наиболее вероятную скорость ( режим ) ${\textstyle v_{\text{p}}={\sqrt {\left(n-1\right)k_{\text{B}}T/m}}.}$

Смотрите также

• Квантовое уравнение Больцмана
• Статистика Максвелла-Больцмана
• Распределение Максвелла-Юттнера
• Распределение Больцмана
• Распределение Рэлея
• Кинетическая теория газов

Примечания

1. Расчет не зависит от того, что азот двухатомный. Несмотря на большую теплоемкость (большую внутреннюю энергию при той же температуре) двухатомных газов по сравнению с одноатомными, из-за большего числа степеней свободы , все еще является средней поступательной кинетической энергией . Двухатомность азота влияет только на значение молярной массы M = ${\displaystyle {\frac {3RT}{M_{\text{m}}}}}$ 28 г/моль . См., например, K. Prakashan, Engineering Physics (2001), 2.278.
2. Азот при комнатной температуре считается «жёстким» двухатомным газом с двумя вращательными степенями свободы в дополнение к трем поступательным, а колебательная степень свободы недоступна.

Ссылки

1. Mandl, Franz (2008). Статистическая физика . Manchester Physics (2-е изд.). Чичестер: John Wiley & Sons. ISBN 978-0471915331.
2. Янг, Хью Д.; Фридман, Роджер А.; Форд, Альберт Льюис; Сирс, Фрэнсис Уэстон; Земански, Марк Уолдо. Университетская физика Сирса и Земански: с современной физикой (12-е изд.). Сан-Франциско: Pearson, Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-50130-1.
3. Энциклопедия физики (2-е издание), Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, ISBN 3-527-26954-1 (Verlagsgesellschaft), ISBN 0-89573-752-3 (VHC Inc.)  
4. NA Krall и AW Trivelpiece, Principles of Plasma Physics, San Francisco Press, Inc., 1986, среди многих других текстов по основам физики плазмы.
5. Максвелл, Дж. К. (1860 А): Иллюстрации динамической теории газов. Часть I. О движениях и столкновениях совершенно упругих сфер. Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал , 4-я серия, т. 19, стр. 19–32. [1]
6. Максвелл, Дж. К. (1860 Б): Иллюстрации динамической теории газов. Часть II. О процессе диффузии двух или более видов движущихся частиц между собой. Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал , 4-я серия, т. 20, стр. 21–37. [2]
7. Мюллер-Кирстен, HJW (2013). "2". Основы статистической физики (2-е изд.). World Scientific . ISBN 978-981-4449-53-3. OCLC  822895930.
8. Serway, Raymond A.; Faughn, Jerry S. & Vuille, Chris (2011). College Physics, Volume 1 (9th ed.). Cengage Learning. стр. 352. ISBN 9780840068484.
9. Gyenis, Balazs (2017). «Максвелл и нормальное распределение: красочная история вероятности, независимости и тенденции к равновесию». Исследования по истории и философии современной физики . 57 : 53–65. arXiv : 1702.01411 . Bibcode : 2017SHPMP..57...53G. doi : 10.1016/j.shpsb.2017.01.001. S2CID  38272381.
10. Больцманн, Л., «Weitere studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen». Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften в Вене, mathematisch-naturwissenschaftliche Classe , 66 , 1872, стр. 275–370.
11. Больцманн, Л., «Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung respektive den Sätzen über das Wärmegleichgewicht». Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften в Вене, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe . ок. II, 76 , 1877, стр. 373–435. Перепечатано в Wissenschaftliche Abhandlungen , Vol. II, стр. 164–223, Лейпциг: Barth, 1909. Перевод доступен по адресу : http://crystal.med.upenn.edu/sharp-lab-pdfs/2015SharpMatschinsky_Boltz1877_Entropy17.pdf Архивировано 05.03.2021 на Wayback Machine
12. Паркер, Сибил П. (1993). McGraw-Hill Encyclopedia of Physics (2-е изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-051400-3.
13. Лорендо, Норманд М. (2005). Статистическая термодинамика: основы и приложения. Cambridge University Press. стр. 434. ISBN 0-521-84635-8.

Дальнейшее чтение

• Типлер, Пол Аллен; Моска, Джин (2008). Физика для ученых и инженеров: с современной физикой (6-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-8964-2.
• Шавит, Артур; Гутфингер, Хаим (2009). Термодинамика: от концепций к приложениям (2-е изд.). CRC Press. ISBN 978-1-4200-7368-3. OCLC  244177312.
• Айвс, Дэвид Дж. Г. (1971). Химическая термодинамика . Университетская химия. Macdonald Technical and Scientific. ISBN 0-356-03736-3.
• Нэш, Леонард К. (1974). Элементы статистической термодинамики . Принципы химии (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-05229-9.
• Уорд, Калифорния; Фанг, Г. (1999). «Выражение для прогнозирования потока испарения жидкости: подход статистической теории скорости». Physical Review E. 59 ( 1): 429–440. doi :10.1103/physreve.59.429. ISSN  1063-651X.
• Рахими, П.; Уорд, КА (2005). «Кинетика испарения: подход статистической теории скорости». Международный журнал термодинамики . 8 (9): 1–14.

Внешние ссылки

• «Распределение скоростей Максвелла» из проекта Wolfram Demonstrations Project на Mathworld