Топология Саллена–Ки

Топология электронного фильтра

Топология Саллена –Ки — это топология электронного фильтра, используемая для реализации активных фильтров второго порядка , которая особенно ценится за свою простоту. ^[1] Это вырожденная форма топологии фильтра с управляемым напряжением источником напряжения ( VCVS ) . Она была введена RP Sallen и EL Key из лаборатории Линкольна Массачусетского технологического института в 1955 году. ^[2]

Объяснение операции

Фильтр VCVS использует усилитель напряжения с практически бесконечным входным сопротивлением и нулевым выходным сопротивлением для реализации 2-полюсного фильтра нижних частот , фильтра верхних частот , полосового фильтра , режекторного фильтра или фильтра всех частот . Фильтр VCVS обеспечивает высокий коэффициент добротности и усиление полосы пропускания без использования индукторов . Фильтр VCVS также имеет преимущество независимости: фильтры VCVS можно каскадировать без влияния каскадов на настройку друг друга. Фильтр Саллена–Ки представляет собой вариацию фильтра VCVS, которая использует усилитель с единичным усилением (т. е. буферный усилитель ).

История и реализация

В 1955 году Саллен и Кей использовали усилители с катодными повторителями на вакуумных лампах ; катодный повторитель является разумным приближением к усилителю с единичным коэффициентом усиления по напряжению. Современные реализации аналоговых фильтров могут использовать операционные усилители (также называемые операционными усилителями ). Из-за своего высокого входного сопротивления и легко выбираемого коэффициента усиления операционный усилитель в обычной неинвертирующей конфигурации часто используется в реализациях VCVS. ^{[ необходима цитата ]} Реализации фильтров Саллена–Кея часто используют операционный усилитель, сконфигурированный как повторитель напряжения ; однако эмиттерные или истоковые повторители являются другими распространенными вариантами для буферного усилителя.

Чувствительность к допускам компонентов

Фильтры VCVS относительно устойчивы к допускам компонентов , но для получения высокого коэффициента добротности может потребоваться экстремальный разброс значений компонентов или высокий коэффициент усиления усилителя. ^[1] Фильтры более высокого порядка могут быть получены путем каскадирования двух или более каскадов.

Общая топология Саллена–Ки

Рисунок 1: Общая топология фильтра Саллена–Ки

На рисунке 1 показана общая топология фильтра Саллена–Ки с единичным усилением, реализованная с помощью операционного усилителя с единичным усилением. Следующий анализ основан на предположении, что операционный усилитель идеален.

Поскольку операционный усилитель находится в конфигурации с отрицательной обратной связью , его и входы должны совпадать (т.е. ). Однако инвертирующий вход подключен непосредственно к выходу , и поэтому ${\displaystyle v_{+}}$ ${\displaystyle v_{-}}$ ${\displaystyle v_{+}=v_{-}}$ ${\displaystyle v_{-}}$ ${\displaystyle v_{\text{out}}}$

По закону тока Кирхгофа (KCL), примененному в узле, ${\displaystyle v_{x}}$

Объединив уравнения (1) и (2),

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}.}$

Применение уравнения (1) и KCL на неинвертирующем входе операционного усилителя дает ${\displaystyle v_{+}}$

${\displaystyle {\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}={\frac {v_{\text{out}}}{Z_{4}}},}$

что означает, что

Объединение уравнений (2) и (3) дает

Перестановка уравнения (4) дает передаточную функцию

который обычно описывает линейную стационарную систему второго порядка (LTI) .

Если бы компонент был подключен к земле вместо , фильтр был бы делителем напряжения, состоящим из компонентов и , каскадированных с другим делителем напряжения, состоящим из компонентов и . Буферный усилитель загружает «дно» компонента на выход фильтра, что улучшит простой случай с двумя делителями. Такая интерпретация является причиной того, что фильтры Саллена–Ки часто рисуются с неинвертирующим входом операционного усилителя ниже инвертирующего входа, тем самым подчеркивая сходство между выходом и землей. ${\displaystyle Z_{3}}$ ${\displaystyle v_{\text{out}}}$ ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{3}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{4}}$ ${\displaystyle Z_{3}}$

Сопротивления ветвей

Выбирая различные пассивные компоненты (например, резисторы и конденсаторы ) для , , , и , фильтр может быть выполнен с низкочастотными, полосовыми и высокочастотными характеристиками. В примерах ниже, напомним, что резистор с сопротивлением имеет импеданс ${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle Z_{4}}$ ${\displaystyle Z_{3}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Z_{R}}$

${\displaystyle Z_{R}=R,}$

а конденсатор с емкостью имеет сопротивление ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Z_{C}}$

${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{sC}},}$

где (здесь обозначает мнимую единицу ) — комплексная угловая частота , а — частота чистого синусоидального входного сигнала. То есть, сопротивление конденсатора зависит от частоты, а сопротивление резистора — нет. ${\displaystyle s=j\omega =2\pi jf}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f}$

Применение: фильтр нижних частот

Рисунок 2: Фильтр нижних частот с единичным усилением, реализованный с использованием топологии Саллена–Ки

Пример конфигурации фильтра нижних частот с единичным усилением показан на рисунке 2. В качестве буфера здесь используется операционный усилитель, хотя эмиттерный повторитель также эффективен. Эта схема эквивалентна общему случаю выше с

${\displaystyle Z_{1}=R_{1},\quad Z_{2}=R_{2},\quad Z_{3}={\frac {1}{sC_{1}}},\quad Z_{4}={\frac {1}{sC_{2}}}.}$

Передаточная функция для этого фильтра нижних частот второго порядка с единичным усилением имеет вид

${\displaystyle H(s)={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}}},}$

где незатухающая собственная частота , затухание , добротность и коэффициент затухания определяются как ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

и

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}}\right).}$

Так,

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}.}$

Коэффициент определяет высоту и ширину пика частотной характеристики фильтра. По мере увеличения этого параметра фильтр будет стремиться «звенеть» на одной резонансной частоте вблизи (см. « LC-фильтр » для соответствующего обсуждения). ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle f_{0}}$

Полюса и нули

Эта передаточная функция не имеет (конечных) нулей и два полюса, расположенных в комплексной s -плоскости :

${\displaystyle s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.}$

На бесконечности имеется два нуля (передаточная функция стремится к нулю для каждого из членов знаменателя). ${\displaystyle s}$

Выбор дизайна

Разработчик должен выбрать и соответствующие для своего приложения. Значение имеет решающее значение при определении окончательной формы. Например, фильтр Баттерворта второго порядка , имеющий максимально плоскую частотную характеристику полосы пропускания, имеет значение . Для сравнения, значение соответствует последовательному каскаду из двух идентичных простых фильтров нижних частот . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle Q=1/2}$

Поскольку есть 2 параметра и 4 неизвестных, процедура проектирования обычно фиксирует соотношение между обоими резисторами, а также между конденсаторами. Одна из возможностей — установить соотношение между и как против и соотношение между и как против . Итак, ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 1/m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&=mR,\\R_{2}&=R/m,\\C_{1}&=nC,\\C_{2}&=C/n.\end{aligned}}}$

В результате выражения и сводятся к ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{RC}}}$

и

${\displaystyle Q={\frac {mn}{m^{2}+1}}.}$

Рисунок 3: Фильтр нижних частот, реализованный по топологии Саллена–Ки, с f ₀  = 15,9 кГц и Q  = 0,5

Начиная с более или менее произвольного выбора для , например , и , соответствующие значения для и могут быть рассчитаны в пользу желаемого и . На практике некоторые варианты выбора значений компонентов будут работать лучше, чем другие, из-за неидеальности реальных операционных усилителей. ^[3] Например, высокие значения резисторов увеличат шумообразование схемы, одновременно способствуя смещению постоянного напряжения на выходе операционных усилителей, оснащенных биполярными входными транзисторами. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle Q}$

Пример

Например, схема на рисунке 3 имеет и . Передаточная функция определяется выражением ${\displaystyle f_{0}=15.9~{\text{kHz}}}$ ${\displaystyle Q=0.5}$

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {C_{2}(R_{1}+R_{2})} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}} _{\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}s^{2}}},}$

и после подстановки это выражение равно

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {\frac {RC(m+1/m)}{n}} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {R^{2}C^{2}} _{\frac {1}{{\omega _{0}}^{2}}}s^{2}}},}$

который показывает, как каждая комбинация идет с некоторой комбинацией, чтобы обеспечить то же самое и для фильтра нижних частот. Похожий подход к проектированию используется для других фильтров ниже. ${\displaystyle (R,C)}$ ${\displaystyle (m,n)}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle Q}$

Входное сопротивление

Входной импеданс фильтра нижних частот второго порядка с единичным усилением Саллена–Ки также представляет интерес для разработчиков. Он задается уравнением (3) в работе Картрайта и Камински ^[4] как

${\displaystyle Z(s)=R_{1}{\frac {s'^{2}+s'/Q+1}{s'^{2}+s'k/Q}},}$

где и . ${\displaystyle s'={\frac {s}{\omega _{0}}}}$ ${\displaystyle k={\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}={\frac {m}{m+1/m}}}$

Кроме того, для существует минимальное значение величины импеданса, заданное уравнением (16) Картрайта и Камински ^[4] , которое гласит, что ${\displaystyle Q>{\sqrt {\frac {1-k^{2}}{2}}}}$

${\displaystyle |Z(s)|_{\text{min}}=R_{1}{\sqrt {1-{\frac {(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}}{2Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}+2Q^{2}{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}}}}.}$

К счастью, это уравнение хорошо аппроксимируется ^[4]

${\displaystyle |Z(s)|_{\text{min}}\approx R_{1}{\sqrt {\frac {1}{Q^{2}+k^{2}+0.34}}}}$

для . Для значений за пределами этого диапазона константу 0,34 необходимо изменить для минимальной погрешности. ${\displaystyle 0.25\leq k\leq 0.75}$ ${\displaystyle k}$

Кроме того, частота, при которой возникает минимальная величина импеданса, определяется уравнением (15) Картрайта и Камински ^[4] , т.е.

${\displaystyle \omega _{\text{min}}=\omega _{0}{\sqrt {\frac {Q^{2}+{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}}.}$

Это уравнение также можно хорошо аппроксимировать с помощью уравнения (20) Картрайта и Камински ^[4] , которое гласит, что

${\displaystyle \omega _{\text{min}}\approx \omega _{0}{\sqrt {\frac {2Q^{2}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}}.}$

Применение: фильтр верхних частот

Рисунок 4: Специальный фильтр верхних частот Саллена–Ки с f ₀  = 72 Гц и Q  = 0,5

Фильтр верхних частот второго порядка с единичным усилением и с показан на рисунке 4. ${\displaystyle f_{0}=72~{\text{Hz}}}$ ${\displaystyle Q=0.5}$

Фильтр верхних частот второго порядка с единичным усилением имеет передаточную функцию

${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+\underbrace {2\pi \left({\frac {f_{0}}{Q}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {(2\pi f_{0})^{2}} _{\omega _{0}^{2}}}},}$

где незатухающая собственная частота и фактор обсуждаются выше в обсуждении фильтра нижних частот. Схема выше реализует эту передаточную функцию с помощью уравнений ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

(как и прежде) и

${\displaystyle {\frac {1}{2\zeta }}=Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}(C_{1}+C_{2})}}.}$

Так

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}}}.}$

Используйте подход, аналогичный тому, который использовался при проектировании фильтра нижних частот выше.

Применение: полосовой фильтр

Рисунок 5: Полосовой фильтр, реализованный с использованием топологии VCVS

Пример полосового фильтра с неединичным усилением, реализованного с помощью фильтра VCVS, показан на рисунке 5. Хотя он использует другую топологию и операционный усилитель, настроенный на обеспечение неединичного усиления, его можно проанализировать с помощью тех же методов, что и с общей топологией Саллена–Ки. Его передаточная функция задается как

${\displaystyle H(s)={\frac {\overbrace {\left(1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}\right)} ^{G}{\frac {s}{R_{1}C_{1}}}}{s^{2}+\underbrace {\left({\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}} _{{\omega _{0}}^{2}=(2\pi f_{0})^{2}}}}.}$

Центральная частота (т.е. частота, на которой амплитудно-частотный отклик имеет пик ) определяется по формуле ${\displaystyle f_{0}}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {R_{\text{f}}+R_{1}}{C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}R_{\text{f}}}}}.}$

Фактор добротности определяется по формуле ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&={\frac {\omega _{0}}{2\zeta \omega _{0}}}={\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}/Q}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}}{{\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {(R_{1}+R_{\text{f}})R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}R_{\text{f}}(C_{1}+C_{2})+R_{2}C_{2}\left(R_{\text{f}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}R_{1}\right)}}.\end{aligned}}}$

Делитель напряжения в цепи отрицательной обратной связи управляет «внутренним усилением» операционного усилителя: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}.}$

Если внутреннее усиление слишком велико, фильтр будет колебаться. ${\displaystyle G}$

Смотрите также

• Конструкция фильтра
• Топология электронного фильтра
• Гармонический осциллятор
• Резонанс

Ссылки

1. "EE315A Course Notes - Chapter 2"-B. Murmann Архивировано 16 июля 2010 г. на Wayback Machine
2. Sallen, RP; EL Key (март 1955 г.). «Практический метод проектирования активных RC-фильтров». Труды IRE по теории цепей . 2 (1): 74–85. doi :10.1109/tct.1955.6500159. S2CID  51640910.
3. Ограничения полосы пропускания фильтра нижних частот Саллена–Ки.
4. Картрайт, К. В.; Э. Дж. Каминский (2013). «Нахождение минимального входного импеданса фильтра нижних частот Саллена-Ки второго порядка с единичным усилением без исчисления» (PDF) . Lat. Am. J. Phys. Educ . 7 (4): 525–535.

Внешние ссылки

• Отчет о применении Texas Instruments: анализ архитектуры Саллена–Ки
• Инструмент проектирования фильтров Analog Devices – простой онлайн-инструмент для проектирования активных фильтров с использованием операционных усилителей с обратной связью по напряжению.
• Часто задаваемые вопросы о проекте активного фильтра TI
• Операционные усилители для всех – Глава 16
• Высокочастотная модификация фильтра Саллена-Ки - улучшение нижнего предела затухания в полосе задерживания
• Онлайн-инструмент для расчета фильтров нижних и верхних частот Саллена–Ки
• Онлайн-инструмент для расчета и анализа фильтров
• ECE 327: Процедуры для выходной фильтрации Лабораторная работа – Раздел 3 («Сглаживающий фильтр нижних частот») обсуждает активную фильтрацию с использованием фильтра нижних частот Саллена–Ки Баттерворта.
• Фильтрация 101: многополюсные фильтры с Саллен-Ки, Мэтт Дафф из Analog Devices объясняет, как работает схема Саллен-Ки