Финансовые модели с длиннохвостыми распределениями и кластеризацией волатильности

Финансовые модели с распределениями с длинным хвостом и кластеризацией волатильности были введены для преодоления проблем с реалистичностью классических финансовых моделей. Эти классические модели финансовых временных рядов обычно предполагают, что гомоскедастичность и нормальность не могут объяснить стилизованные явления, такие как асимметрия , тяжелые хвосты и волатильность, кластеризация эмпирической доходности активов в финансах. В 1963 году Бенуа Мандельброт впервые использовал стабильное (или -стабильное) распределение ${\displaystyle \alpha }$ для моделирования эмпирических распределений, обладающих свойствами асимметрии и тяжелого хвоста. Поскольку -стабильные распределения имеют бесконечные -ые моменты для всех , были предложены умеренные устойчивые процессы для преодоления этого ограничения стабильного распределения. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p>\alpha }$

С другой стороны, модели GARCH были разработаны для объяснения кластеризации волатильности . В модели GARCH предполагается, что инновационное (или остаточное) распределение является стандартным нормальным распределением, несмотря на то, что это предположение часто отвергается эмпирически. По этой причине были разработаны модели GARCH с ненормальным распределением инноваций.

Многие финансовые модели со стабильным и умеренно стабильным распределением вместе с кластеризацией волатильности были разработаны и применены для управления рисками, ценообразования опционов и выбора портфеля.

Бесконечно делимые распределения

Случайная величина называется бесконечно делимой , если для каждой существуют независимые и одинаково распределенные случайные величины. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$

${\displaystyle Y_{n,1},Y_{n,2},\dots ,Y_{n,n}\,}$

такой, что

${\displaystyle Y{\stackrel {\mathrm {d} }{=}}\sum _{k=1}^{n}Y_{n,k},\,}$

где обозначает равенство в распределении. ${\displaystyle {\stackrel {\mathrm {d} }{=}}}$

Борелевская мера на называется мерой Леви, если и ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nu ({0})=0}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }(1\wedge |x^{2}|)\,\nu (dx)<\infty .}$

Если бесконечно делится, то характеристическая функция имеет вид ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \phi _{Y}(u)=E[e^{iuY}]}$

${\displaystyle \phi _{Y}(u)=\exp \left(i\gamma u-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}u^{2}+\int _{-\infty }^{\infty }(e^{iux}-1-iux1_{|x|\leq 1})\,\nu (dx)\right),\sigma \geq 0,~~\gamma \in \mathbb {R} }$

где , и – мера Леви. Здесь тройка называется тройкой Леви . Эта тройка уникальна. И наоборот, для любого выбора, удовлетворяющего вышеуказанным условиям, существует бесконечно делимая случайная величина , характеристическая функция которой задается как . ${\displaystyle \sigma \geq 0}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (\sigma ^{2},\nu ,\gamma )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\sigma ^{2},\nu ,\gamma )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \phi _{Y}}$

α -Стабильные распределения

Говорят, что случайная величина с действительным знаком имеет устойчивое распределение, если для любого существует положительное число и действительное число такие, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$

${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{n}{\stackrel {\mathrm {d} }{=}}C_{n}X+D_{n},\,}$

где независимы и имеют то же распределение, что и . Все стабильные случайные величины безгранично делятся. Известно, что для некоторых . Стабильная случайная величина с индексом называется -стабильной случайной величиной . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{n}=n^{1/\alpha }}$ ${\displaystyle 0<\alpha \leq 2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Пусть – стабильная случайная величина. Тогда характеристическая функция имеет вид ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi _{X}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \phi _{X}(u)={\begin{cases}\exp \left(i\mu u-\sigma ^{\alpha }|u|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn} (u)\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\right)\right)&{\text{if }}\alpha \in (0,1)\cup (1,2)\\\exp \left(i\mu u-\sigma |u|\left(1+i\beta \operatorname {sgn} (u)\left({\frac {2}{\pi }}\right)\ln(|u|)\right)\right)&{\text{if }}\alpha =1\\\exp \left(i\mu u-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}u^{2}\right)&{\text{if }}\alpha =2\end{cases}}}$

для некоторых и . ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle \beta \in [-1,1]}$

Умеренные стабильные дистрибутивы

Бесконечно делимое распределение называется классическим умеренно стабильным (CTS) распределением с параметром , если его тройка Леви задается , и ${\displaystyle (C_{1},C_{2},\lambda _{+},\lambda _{-},\alpha )}$ ${\displaystyle (\sigma ^{2},\nu ,\gamma )}$ ${\displaystyle \sigma =0}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \nu (dx)=\left({\frac {C_{1}e^{-\lambda _{+}x}}{x^{1+\alpha }}}1_{x>0}+{\frac {C_{2}e^{-\lambda _{-}|x|}}{|x|^{1+\alpha }}}1_{x<0}\right)\,dx,}$

где и . ${\displaystyle C_{1},C_{2},\lambda _{+},\lambda _{-}>0}$ ${\displaystyle \alpha <2}$

Это распределение было впервые представлено под названием «Truncated Lévy Flights» ^[1] и получило название « умеренная стабильная» или « распределение KoBoL ». ^[2] В частности, если , то это распределение называется распределением CGMY, которое использовалось для финансового моделирования. ^[3] ${\displaystyle C_{1}=C_{2}=C>0}$

Характеристическая функция для умеренного устойчивого распределения определяется выражением ${\displaystyle \phi _{CTS}}$

${\displaystyle \phi _{CTS}(u)=\exp \left(iu\mu +C_{1}\Gamma (-\alpha )((\lambda _{+}-iu)^{\alpha }-\lambda _{+}^{\alpha })+C_{2}\Gamma (-\alpha )((\lambda _{-}+iu)^{\alpha }-\lambda _{-}^{\alpha })\right),}$

для некоторых . Более того, может быть распространен на регион . ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi _{CTS}}$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)\in (-\lambda _{-},\lambda _{+})\}}$

Розинский обобщил распределение CTS под названием умеренно стабильного распределения . Распределение KR, которое является подклассом обобщенного умеренного устойчивого распределения Розинского, используется в финансах. ^[4]

Бесконечно делимое распределение называется модифицированным умеренным стабильным (MTS) распределением с параметром , если его тройка Леви задана , и ${\displaystyle (C,\lambda _{+},\lambda _{-},\alpha )}$ ${\displaystyle (\sigma ^{2},\nu ,\gamma )}$ ${\displaystyle \sigma =0}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \nu (dx)=C\left({\frac {q_{\alpha }(\lambda _{+}|x|)}{x^{\alpha +1}}}1_{x>0}+{\frac {q_{\alpha }(\lambda _{-}|x|)}{|x|^{\alpha +1}}}1_{x<0}\right)\,dx,}$

где и ${\displaystyle C,\lambda _{+},\lambda _{-}>0,\alpha <2}$

${\displaystyle q_{\alpha }(x)=x^{\frac {\alpha +1}{2}}K_{\frac {\alpha +1}{2}}(x).}$

Вот модифицированная функция Бесселя второго рода. Распределение МТС не входит в класс обобщенных умеренных устойчивых распределений Розинского. ^[5] ${\displaystyle K_{p}(x)}$

Кластеризация волатильности со стабильными и умеренными стабильными инновациями

Чтобы описать эффект кластеризации волатильности в процессе возврата актива, можно использовать модель GARCH . В модели GARCH предполагается, что инновации ( ) , где и где ряды моделируются ${\displaystyle ~\epsilon _{t}~}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}~}$ ${\displaystyle z_{t}\sim iid~N(0,1)}$ ${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}}$

и где и . ${\displaystyle ~\alpha _{0}>0~}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0,~i>0}$

Однако предположение о часто отвергается эмпирически. По этой причине были разработаны новые модели GARCH со стабильными или умеренно стабильными распределенными инновациями. Представлены модели GARCH со стабильными инновациями. ^{[6] [7] [8]} Впоследствии были разработаны модели GARCH с умеренными стабильными инновациями. ^{[5] [9]} ${\displaystyle z_{t}\sim iid~N(0,1)}$ ${\displaystyle \alpha }$

Возражения против использования устойчивых распределений в финансовых моделях приведены в ^{[10] [11]}

Примечания

1. Копонен, И. (1995) «Аналитический подход к проблеме сходимости усеченных полетов Леви к гауссовскому случайному процессу», Physical Review E , 52, 1197–1199.
2. С. И. Боярченко, С. З. Левендорский (2000) «Ценообразование опционов для усеченных процессов Леви», Международный журнал теоретических и прикладных финансов , 3 (3), 549–552
3. П. Карр, Х. Геман, Д. Мадан, М. Йор (2002) «Тонкая структура доходности активов: эмпирическое исследование», Journal of Business , 75 (2), 305–332.
4. Ким, Ю.С.; Рачев, Светлозар Т.;, Бьянки, М.Л.; Фабоцци, Ф.Дж. (2007) «Новое стабильное распределение и его применение в финансах». В: Георг Бол, Светлозар Т. Рачев и Рейнольд Вюрт (редакторы), Оценка рисков: решения в банковском деле и финансах , Physika Verlag, Springer.
5. Ким, Ю.С., Чанг, Д.М., Рачев, Светлозар Т.; М. Л. Бьянки, Модифицированное умеренное стабильное распределение, Модели GARCH и ценообразование опционов, Вероятность и математическая статистика , появление
6. К. Менн, Светлозар Т. Рачев (2005) «Модель ценообразования опционов GARCH со стабильными инновациями», Европейский журнал операционных исследований , 163, 201–209. ${\displaystyle \alpha }$
7. К. Менн, Светлозар Т. Рачев (2005) «Плавно усеченные стабильные распределения, GARCH-модели и ценообразование опционов», Технический отчет. Факультет статистики и математических финансов, Школа экономики и бизнес-инженерии, Университет Карлсру
8. Светлозар Т. Рачев, К. Менн, Фрэнк Дж. Фабоцци (2005) Распределение доходности активов с толстыми хвостами и асимметричное распределение: последствия для управления рисками, выбора портфеля и ценообразования опционов , Wiley
9. Ким, Ю.С.; Рачев Светлозар Т.; Мишель Л. Бьянки, Фабоцци, Ф.Дж. (2008) «Модели финансового рынка с процессами Леви и изменяющейся во времени волатильностью», Journal of Banking & Finance , 32 (7), 1363–1378 doi :10.1016/j.jbankfin.2007.11.004
10. Лев Б. Клебанов, Ирина Волченкова (2015) «Распределения с тяжелым хвостом в финансах: реальность или миф? Точка зрения любителей», arXiv: 1507.07735v1, 1-17.
11. Лев Б. Клебанов (2016) «Пожалуйста, никаких стабильных распределений в финансах!», arXiv: 1601.00566v2, 1-9.

Рекомендации

• Б. Б. Мандельброт (1963) «Новые методы статистической экономики», Журнал политической экономии , 71, 421–440.
• Светлозар Т. Рачев, Стефан Миттник (2000) Стабильные паретианские модели в финансах , Wiley
• Г. Самородницкий и М. С. Такку, Устойчивые негауссовы случайные процессы , Чепмен и Холл/CRC.
• С. И. Боярченко, С. З. Левендорский (2000) «Ценообразование опционов для усеченных процессов Леви», Международный журнал теоретических и прикладных финансов , 3 (3), 549–552.
• Ю. Росинский (2007) «Умерение стабильных процессов», Случайные процессы и их приложения , 117 (6), 677–707.