В теории вероятностей распределение вероятностей бесконечно делимо , если его можно выразить как распределение вероятностей суммы произвольного числа независимых и одинаково распределенных (iid) случайных величин . Характеристическая функция любого безгранично делимого распределения тогда называется бесконечно делимой характеристической функцией . [1]
Более строго, распределение вероятностей F бесконечно делимо, если для каждого положительного целого числа n существует n iid случайных величин X n 1 , ..., X nn , сумма S n = X n 1 + ... + X nn имеет то же распределение F .
Понятие бесконечной делимости вероятностных распределений было введено в 1929 году Бруно де Финетти . Этот тип декомпозиции распределения используется в теории вероятностей и статистике для поиска семейств вероятностных распределений, которые могут быть естественным выбором для определенных моделей или приложений. Бесконечно делимые распределения играют важную роль в теории вероятностей в контексте предельных теорем. [1]
Примерами непрерывных распределений, которые делятся до бесконечности, являются нормальное распределение , распределение Коши , распределение Леви и все другие члены семейства стабильных распределений , а также гамма-распределение , распределение хи-квадрат , распределение Вальда , логарифмическое распределение . -нормальное распределение [2] и t-распределение Стьюдента .
Среди дискретных распределений примерами являются распределение Пуассона и отрицательное биномиальное распределение (а, следовательно, и геометрическое распределение ). Одноточечное распределение , единственным возможным результатом которого является 0, также (тривиально) бесконечно делимо.
Равномерное распределение и биномиальное распределение не являются бесконечно делимыми, как и любые другие распределения с ограниченным носителем (≈ область конечного размера ), кроме упомянутого выше одноточечного распределения . [3] Распределение обратной величины случайной величины, имеющей t-распределение Стьюдента, также не является делимым до бесконечности. [4]
Любое составное распределение Пуассона бесконечно делимо; это непосредственно следует из определения.
Бесконечно делимые распределения появляются в широком обобщении центральной предельной теоремы : пределе при n → +∞ суммы S n = X n 1 + ... + X nn независимых равномерно асимптотически пренебрежимо малых (uan) случайных величин внутри треугольной множество
приближается — в слабом смысле — к бесконечно делимому распределению. Условие равномерно асимптотически пренебрегаемого (uan) определяется выражением
Так, например, если условие равномерной асимптотической пренебрежимости (uan) удовлетворяется посредством соответствующего масштабирования одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией , то слабая сходимость имеет место к нормальному распределению в классической версии центральной предельной теоремы. В более общем смысле, если условие uan выполняется посредством масштабирования одинаково распределенных случайных величин (с не обязательно конечным вторым моментом), то слабая сходимость соответствует стабильному распределению . С другой стороны, для треугольного массива независимых (немасштабированных) случайных величин Бернулли, где условие uan выполняется через
слабая сходимость суммы имеет место к распределению Пуассона со средним значением λ , как показывает известное доказательство закона малых чисел .
Каждое бесконечно делимое распределение вероятностей естественным образом соответствует процессу Леви . Процесс Леви — это случайный процесс { L t : t ≥ 0 } со стационарными независимыми приращениями , где стационарность означает, что для s < t распределение вероятностей L t − L s зависит только от t − s , а независимые приращения означают , что эта разность L t − L s не зависит от соответствующей разности на любом интервале, не перекрывающемся с [ s , t ], и аналогично для любого конечного числа взаимно непересекающихся интервалов.
Если { L t : t ≥ 0 } является процессом Леви, то для любого t ≥ 0 случайная величина L t будет бесконечно делимой: для любого n мы можем выбрать ( X n 1 , X n 2 , ... , Икс nn ) знак равно ( L т / п - L 0 , L 2 т / п - L т / п , ..., L т - L ( п - 1) т / п ). Аналогично, L t − L s бесконечно делится для любого s < t .
С другой стороны, если F — бесконечно делимое распределение, мы можем построить из него процесс Леви { L t : t ≥ 0 }. Для любого интервала [ s , t ], где t − s > 0 равно рациональному числу p / q , мы можем определить, что L t − L s имеет то же распределение, что и X q 1 + X q 2 + ... + X qp . Иррациональные значения t − s > 0 обрабатываются с помощью аргумента непрерывности.
Аддитивный процесс ( кадлаг , непрерывный по вероятности стохастический процесс с независимыми приращениями ) имеет бесконечно делимое распределение при любом . Пусть — его семейство бесконечно делимых распределений.
удовлетворяет ряду условий непрерывности и монотонности. Более того, если семейство бесконечно делимых распределений удовлетворяет этим условиям непрерывности и монотонности, то существует (единственно по закону) аддитивный процесс с этим распределением. [5]