Стабильное распространение

Распределение переменных, удовлетворяющее свойству устойчивости при линейных комбинациях

В теории вероятностей распределение называется устойчивым, если линейная комбинация двух независимых случайных величин с этим распределением имеет одинаковое распределение с точностью до параметров местоположения и масштаба . Случайная величина называется стабильной , если ее распределение стабильно. Семейство стабильных распределений также иногда называют альфа-стабильным распределением Леви в честь Поля Леви , первого математика, изучившего его. ^{[1] [2]}

Из четырех параметров, определяющих семейство, наибольшее внимание было сосредоточено на параметре стабильности (см. панель). Устойчивые распределения имеют , с верхней границей, соответствующей нормальному распределению , и распределению Коши . Распределения имеют неопределенную дисперсию для и неопределенное среднее значение для . Важность стабильных распределений вероятностей заключается в том, что они являются « аттракторами » для правильно нормированных сумм независимых и одинаково распределенных ( iid ) случайных величин. Нормальное распределение определяет семейство устойчивых распределений. Согласно классической центральной предельной теореме правильно нормированная сумма набора случайных величин, каждая из которых имеет конечную дисперсию, будет стремиться к нормальному распределению по мере увеличения числа переменных. Без предположения о конечной дисперсии пределом может быть стабильное распределение, которое не является нормальным. Мандельброт назвал такие распределения «стабильными паретианскими распределениями» ^{[3] [4] [5]} в честь Вильфредо Парето . В частности, он назвал распределения, максимально смещенные в положительную сторону, «распределениями Парето – Леви» ^[1] , которые он считал лучшим описанием цен на акции и товары, чем нормальные распределения. ^[6] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 0<\alpha \leq 2}$ ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \alpha <2}$ ${\displaystyle \alpha \leq 1}$ ${\displaystyle 1<\alpha <2}$

Определение

Невырожденное распределение является устойчивым распределением, если оно удовлетворяет следующему свойству:

Пусть X ₁ и X ₂ — независимые реализации случайной величины X . Тогда X называется стабильным, если для любых констант a > 0 и b > 0 случайная величина aX ₁ + bX ₂ имеет то же распределение, что и cX + d для некоторых констант c > 0 и d . Распределение называется строго устойчивым, если это справедливо при d = 0 . ^[7]

Поскольку нормальное распределение , распределение Коши и распределение Леви обладают указанным выше свойством, из этого следует, что они являются частными случаями стабильных распределений.

Такие распределения образуют четырехпараметрическое семейство непрерывных вероятностных распределений , параметризованных параметрами местоположения и масштаба µ и c соответственно, а также двумя параметрами формы и , примерно соответствующими мерам асимметрии и концентрации соответственно (см. рисунки). ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

Характеристической функцией любого распределения вероятностей является преобразование Фурье его функции плотности вероятности . Таким образом, функция плотности является обратным преобразованием Фурье характеристической функции: ^[8] ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)e^{-ixt}\,dt.}$$

Хотя функцию плотности вероятности для общего устойчивого распределения нельзя записать аналитически, общую характеристическую функцию можно выразить аналитически. Случайная величина X называется стабильной, если ее характеристическая функция может быть записана в виде ^{[7] [9]}

$${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,c,\mu )=\exp \left(it\mu -|ct|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi \right)\right)}$$

sn( t ) —знак

$${\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\-{\frac {2}{\pi }}\log |t|&\alpha =1\end{cases}}}$$

µRпараметром асимметрииасимметриямоментовцентральный момент ${\displaystyle \beta \in [-1,1]}$ ${\displaystyle \alpha <2}$

Причина, по которой это дает стабильное распределение, заключается в том, что характеристическая функция суммы двух независимых случайных величин равна произведению двух соответствующих характеристических функций. Добавление двух случайных величин из стабильного распределения дает что-то с одинаковыми значениями и , но, возможно, с разными значениями µ и c . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Не каждая функция является характеристической функцией законного распределения вероятностей (то есть той, чья кумулятивная функция распределения действительна и изменяется от 0 до 1 без убывания), но приведенные выше характеристические функции будут законными до тех пор, пока параметры находятся в своих значениях. диапазоны. Значение характеристической функции при некотором значении t является комплексно-сопряженным ее значением при - t , как и должно быть, чтобы функция распределения вероятностей была действительной.

В простейшем случае характеристическая функция представляет собой просто растянутую показательную функцию ; распределение симметрично относительно μ и называется симметричным альфа-стабильным распределением (Леви) , часто сокращенно SαS . ${\displaystyle \beta =0}$

При и распределение поддерживается [ μ , ∞). ${\displaystyle \alpha <1}$ ${\displaystyle \beta =1}$

Параметр c > 0 представляет собой масштабный коэффициент, который является мерой ширины распределения, а также является показателем или индексом распределения и определяет асимптотическое поведение распределения. ${\displaystyle \alpha }$

Параметризации

Приведенное выше определение является лишь одной из параметризаций, используемых для стабильных распределений; он является наиболее распространенным, но его плотность вероятности не является непрерывной по параметрам при . ^[10] ${\displaystyle \alpha =1}$

Непрерывная параметризация — это ^[7]

$${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=\exp \left(it\delta -|\gamma t|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi \right)\right)}$$

$${\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\left(|\gamma t|^{1-\alpha }-1\right)\tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\-{\frac {2}{\pi }}\log |\gamma t|&\alpha =1\end{cases}}}$$

Диапазоны и такие же, как и раньше, γ (например, c ) должно быть положительным, а δ (например, μ ) должно быть действительным. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

В любой параметризации можно выполнить линейное преобразование случайной величины, чтобы получить случайную величину, плотность которой равна . При первой параметризации это делается путем определения новой переменной: ${\displaystyle f(y;\alpha ,\beta ,1,0)}$

$${\displaystyle y={\begin{cases}{\frac {x-\mu }{\gamma }}&\alpha \neq 1\\{\frac {x-\mu }{\gamma }}-\beta {\frac {2}{\pi }}\ln \gamma &\alpha =1\end{cases}}}$$

Для второй параметризации мы просто используем

$${\displaystyle y={\frac {x-\delta }{\gamma }}}$$

μ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle \delta -\beta \gamma \tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right).}$

Распространение

Таким образом, стабильное распределение определяется четырьмя вышеуказанными параметрами. Можно показать, что любое невырожденное устойчивое распределение имеет гладкую (бесконечно дифференцируемую) функцию плотности. ^[7] If обозначает плотность X , а Y — сумму независимых копий X : ${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )}$

$${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}k_{i}(X_{i}-\mu )}$$

Y ${\displaystyle {\tfrac {1}{s}}f(y/s;\alpha ,\beta ,c,0)}$

$${\displaystyle s=\left(\sum _{i=1}^{N}|k_{i}|^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$$

Асимптотическое поведение при , описывается следующим образом: ^[7] ${\displaystyle \alpha <2}$

$${\displaystyle f(x)\sim {\frac {1}{|x|^{1+\alpha }}}\left(c^{\alpha }(1+\operatorname {sgn}(x)\beta )\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right){\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\pi }}\right)}$$

гамма-функцияµтяжелого хвоста ${\displaystyle \alpha \geq 1}$ ${\displaystyle \beta =\pm 1}$ ${\displaystyle \alpha <2}$

Когда распределение является гауссовским (см. ниже), с хвостами, асимптотическим к exp(− x ² /4 c ² )/(2 c √π). ${\displaystyle \alpha =2}$

Одностороннее стабильное распределение и стабильное распределение количества

При и распределение поддерживается [ μ , ∞). Это семейство называется односторонним устойчивым распределением . ^[11] Его стандартное распределение (μ=0) определяется как ${\displaystyle \alpha <1}$ ${\displaystyle \beta =1}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=f{\left(x;\alpha ,1,\cos \left({\frac {\alpha \pi }{2}}\right)^{1/\alpha },0\right)}}$, где . ${\displaystyle \alpha <1}$

Пусть , его характеристическая функция . Таким образом, интегральная форма его PDF равна (примечание: ) ${\displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi /2)}$ ${\displaystyle \varphi (t;\alpha )=\exp \left(-q|t|^{\alpha }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (q)<0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}e^{-q|t|^{\alpha }}\,dt\right]\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-\operatorname {Re} (q)\,t^{\alpha }}\sin(tx)\sin(-\operatorname {Im} (q)\,t^{\alpha })\,dt,{\text{ or }}\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}\cos(tx)\cos(\operatorname {Im} (q)\,t^{\alpha })\,dt.\end{aligned}}}$$

Двойной синусоидальный интеграл более эффективен при очень малых значениях . ${\displaystyle x}$

Рассмотрим сумму Леви где , тогда Y имеет плотность где . Set , мы приходим к устойчивому распределению количества . ^[12] Его стандартное распределение определяется как ${\textstyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$ ${\textstyle X_{i}\sim L_{\alpha }(x)}$ ${\textstyle {\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }{\left({\frac {x}{\nu }}\right)}}$ ${\textstyle \nu =N^{1/\alpha }}$ ${\textstyle x=1}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {\alpha }{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }{\left({\frac {1}{\nu }}\right)}}$, где и . ${\displaystyle \nu >0}$ ${\displaystyle \alpha <1}$

Стабильное распределение количества является сопряженным априором одностороннего стабильного распределения. Его семейство в масштабе местоположения определяется как

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{\frac {1}{\nu -\nu _{0}}}L_{\alpha }{\left({\frac {\theta }{\nu -\nu _{0}}}\right)}}$, где , , и . ${\displaystyle \nu >\nu _{0}}$ ${\displaystyle \theta >0}$ ${\displaystyle \alpha <1}$

Это также одностороннее распространение, поддерживаемое . Параметр location является местом обрезки и определяет его масштаб. ${\displaystyle [\nu _{0},\infty )}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \theta }$

Когда , представляет собой распределение Леви , которое является обратным гамма-распределением. Таким образом, представляет собой смещённое гамма-распределение формы 3/2 и масштаба , ${\textstyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle L_{\frac {1}{2}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$ ${\displaystyle 4\theta }$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{4{\sqrt {\pi }}\theta ^{3/2}}}(\nu -\nu _{0})^{1/2}e^{-{\frac {\nu -\nu _{0}}{4\theta }}}}$, где , . ${\displaystyle \nu >\nu _{0}}$ ${\displaystyle \theta >0}$

Его среднее значение и стандартное отклонение равно . Предполагается, что VIX распределяется аналогично и ( см. раздел 7 в ^[12] ). Таким образом, стабильное распределение количества является маргинальным распределением первого порядка процесса волатильности. В этом контексте это называется «пол волатильности». ${\displaystyle \nu _{0}+6\theta }$ ${\displaystyle {\sqrt {24}}\theta }$ ${\textstyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$ ${\displaystyle \nu _{0}=10.4}$ ${\displaystyle \theta =1.6}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$

Другой подход к получению стабильного распределения количества состоит в использовании преобразования Лапласа одностороннего стабильного распределения (раздел 2.4 из ^[12] ).

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-zx}L_{\alpha }(x)dx=e^{-z^{\alpha }}}$, где . ${\displaystyle \alpha <1}$

Пусть , и можно разложить интеграл в левой части как распределение произведений стандартного распределения Лапласа и стандартного стабильного распределения счетчиков, f ${\displaystyle x=1/\nu }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-{\frac {|z|}{\nu }}}\right)\left({\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }{\left({\frac {1}{\nu }}\right)}\right)d\nu ={\frac {1}{2}}{\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}e^{-|z|^{\alpha }}}$, где . ${\displaystyle \alpha <1}$

Это называется «лямбда-разложением» (см. раздел 4 в ^[12] ), поскольку правая часть в прежних работах Лина называлась «симметричным лямбда-распределением». Однако у него есть еще несколько популярных названий, таких как « экспоненциальное распределение степени » или «обобщенное распределение ошибок/нормальное распределение», часто упоминаемое при . ${\displaystyle \alpha >1}$

n-й момент является -м моментом , и все положительные моменты конечны. ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle -(n+1)}$ ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$

Характеристики

• Все устойчивые распределения бесконечно делимы .
• За исключением нормального распределения ( ), стабильными являются лептокуртотические распределения и распределения с тяжелыми хвостами . ${\displaystyle \alpha =2}$
• Замыкание под сверткой

Стабильные распределения закрыты при свертке при фиксированном значении . Поскольку свертка эквивалентна умножению преобразованной Фурье функции, из этого следует, что произведение двух стабильных характеристических функций на одну и ту же даст еще одну такую ​​​​характеристическую функцию. Произведение двух стабильных характеристических функций определяется выражением: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \exp \left(it\mu _{1}+it\mu _{2}-|c_{1}t|^{\alpha }-|c_{2}t|^{\alpha }+i\beta _{1}|c_{1}t|^{\alpha }\operatorname {sgn}(t)\Phi +i\beta _{2}|c_{2}t|^{\alpha }\operatorname {sgn}(t)\Phi \right)}$$

Поскольку Φ не является функцией µ , c или переменных, из этого следует, что эти параметры для свернутой функции задаются формулой: ${\displaystyle \beta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\mu _{1}+\mu _{2}\\|c|&=\left(|c_{1}|^{\alpha }+|c_{2}|^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}\\[6pt]\beta &={\frac {\beta _{1}|c_{1}|^{\alpha }+\beta _{2}|c_{2}|^{\alpha }}{|c_{1}|^{\alpha }+|c_{2}|^{\alpha }}}\end{aligned}}}$$

В каждом случае можно показать, что полученные параметры лежат в требуемых интервалах для устойчивого распределения.

Обобщенная центральная предельная теорема

Обобщенная центральная предельная теорема (GCLT) была результатом усилий нескольких математиков ( Берштейна , Линдеберга , Леви , Феллера , Колмогорова и других) в период с 1920 по 1937 год. ^[13] Первое опубликованное полное доказательство (на французском языке) GCLT был создан в 1937 году Полем Леви . ^[14] Английская версия полного доказательства GCLT доступна в переводе книги Гнеденко и Колмогорова 1954 года. ^[15]

Заявление GLCT следующее: ^[16]

Невырожденная случайная величина Z является α-стабильной для некоторого 0 < α ≤ 2 тогда и только тогда, когда существует независимая, одинаково распределенная последовательность случайных величин X ₁ , X ₂ , X ₃ , ... и констант a _n > 0, bn _∈ ℝ с

а _н (Х ₁ + ... + Х _н ) - б _н → Z.

Здесь → означает, что последовательность сумм случайных величин сходится по распределению; т. е. соответствующие распределения удовлетворяют F _n (y) → F(y) во всех точках непрерывности F.

Другими словами, если суммы независимых, одинаково распределенных случайных величин сходятся по распределению к некоторому Z , то Z должно быть стабильным распределением.

Обобщенная центральная предельная теорема

Общая ссылка: ^[17] Гнеденко.

Другим важным свойством устойчивых распределений является роль, которую они играют в обобщенной центральной предельной теореме . Центральная предельная теорема утверждает, что сумма ряда независимых и одинаково распределенных (iid) случайных величин с конечными ненулевыми дисперсиями будет стремиться к нормальному распределению по мере роста числа переменных.

Обобщение, сделанное Гнеденко и Колмогоровым, гласит, что сумма ряда случайных величин с симметричными распределениями, имеющими степенные хвосты ( хвосты Паретиана ), уменьшающимися как где (и, следовательно, имеющими бесконечную дисперсию), будет стремиться к стабильному распределению, поскольку число слагаемых растет. ^[18] Если тогда сумма сходится к устойчивому распределению с параметром устойчивости, равным 2, то есть к распределению Гаусса. ^[19] ${\displaystyle |x|^{-\alpha -1}}$ ${\displaystyle 0<\alpha \leqslant 2}$ ${\displaystyle f(x;\alpha ,0,c,0)}$ ${\displaystyle \alpha >2}$

^[20]

Есть и другие возможности. Например, если характеристическая функция случайной величины асимптотична для малых t (положительных или отрицательных), то мы можем задаться вопросом, как t изменяется с изменением n , когда значение характеристической функции для суммы n таких случайных величин равно заданному ценность тебя : ${\displaystyle 1+a|t|^{\alpha }\ln |t|}$

$${\displaystyle \varphi _{\text{sum}}=\varphi ^{n}=u}$$

Предполагая на данный момент, что t → 0, мы возьмем предел вышеизложенного при n → ∞ :

$${\displaystyle \ln u=\lim _{n\to \infty }n\ln \varphi =\lim _{n\to \infty }na|t|^{\alpha }\ln |t|.}$$

Поэтому:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(\ln u)&=\ln \left(\lim _{n\to \infty }na|t|^{\alpha }\ln |t|\right)\\[5pt]&=\lim _{n\to \infty }\ln \left(na|t|^{\alpha }\ln |t|\right)=\lim _{n\to \infty }\left[\ln(na)+\alpha \ln |t|+\ln(\ln |t|)\right]\end{aligned}}}$$

Это показывает, что это асимптотично, используя предыдущее уравнение, которое мы имеем ${\displaystyle \ln |t|}$ ${\displaystyle {\tfrac {-1}{\alpha }}\ln n,}$

$${\displaystyle |t|\sim \left({\frac {-\alpha \ln u}{na\ln n}}\right)^{1/\alpha }.}$$

Это означает, что сумма, разделенная на

$${\displaystyle \left({\frac {na\ln n}{\alpha }}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$$

t 'unтеореме о непрерывности Леви, ${\displaystyle t'=(-\ln u)^{{1}/{\alpha }}.}$ ${\displaystyle \exp(-(t')^{\alpha })}$

$${\displaystyle \left({\frac {na\ln n}{\alpha }}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$$

сходится по распределению к симметричному альфа-стабильному распределению с параметром устойчивости и параметром масштаба 1. ${\displaystyle \alpha }$

Это можно применить к случайной величине, хвосты которой уменьшаются как . Эта случайная величина имеет среднее значение, но дисперсия бесконечна. Возьмем следующее распределение: ${\displaystyle |x|^{-3}}$

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{3}}&|x|\leq 1\\{\frac {1}{3}}x^{-3}&|x|>1\end{cases}}}$$

Мы можем написать это как

$${\displaystyle f(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {2}{w^{4}}}h\left({\frac {x}{w}}\right)dw}$$

$${\displaystyle h\left({\frac {x}{w}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}&\left|{\frac {x}{w}}\right|<1,\\0&\left|{\frac {x}{w}}\right|>1.\end{cases}}}$$

Мы хотим найти главные члены асимптотического разложения характеристической функции. Характеристическая функция распределения вероятностей такова , что характеристическая функция для f ( x ) равна ${\textstyle {\frac {1}{w}}h\left({\frac {x}{w}}\right)}$ ${\textstyle {\tfrac {\sin(tw)}{tw}},}$

$${\displaystyle \varphi (t)=\int _{1}^{\infty }{\frac {2\sin(tw)}{tw^{4}}}dw}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)-1&=\int _{1}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw+\int _{\frac {1}{|t|}}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+\left\{-{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}+{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}\right\}\right]\,dw+\int _{\frac {1}{|t|}}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}-{\frac {t^{2}dw}{3w}}+\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}\right]dw+\int _{\frac {1}{|t|}}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}-{\frac {t^{2}dw}{3w}}+\left\{\int _{0}^{\frac {1}{|t|}}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}\right]dw-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}\right]dw\right\}+\int _{\frac {1}{|t|}}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}-{\frac {t^{2}dw}{3w}}+t^{2}\int _{0}^{1}{\frac {2}{y^{3}}}\left[{\frac {\sin(y)}{y}}-1+{\frac {y^{2}}{6}}\right]dy-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{6}}\right]dw+t^{2}\int _{1}^{\infty }{\frac {2}{y^{3}}}\left[{\frac {\sin(y)}{y}}-1\right]dy\\&=-{\frac {t^{2}}{3}}\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}{\frac {dw}{w}}+t^{2}C_{1}-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{6}}\right]dw+t^{2}C_{2}\\&={\frac {t^{2}}{3}}\ln |t|+t^{2}C_{3}-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{6}}\right]dw\\&={\frac {t^{2}}{3}}\ln |t|+t^{2}C_{3}-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {t^{4}w^{4}}{5!}}+\cdots \right]dw\\&={\frac {t^{2}}{3}}\ln |t|+t^{2}C_{3}-{\mathcal {O}}\left(t^{4}\right)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ ${\displaystyle C_{3}}$

$${\displaystyle \varphi (t)\sim 1+{\frac {t^{2}}{3}}\ln |t|}$$

fxnnnзначениеnnЗаконом больших чисел ${\textstyle {\sqrt {n(\ln n)/12}},}$

Особые случаи

Логарифмический график симметричных центрированных PDF-файлов стабильного распределения, показывающий поведение степенного закона для больших x . О степенном поведении свидетельствует прямолинейный вид PDF при больших x с наклоном, равным . (Единственное исключение составляет черный цвет, который является нормальным распределением.) ${\displaystyle -(\alpha +1)}$ ${\displaystyle \alpha =2}$

Логарифмический график асимметричных центрированных PDF-файлов со стабильным распределением, показывающий поведение степенного закона для больших x . И снова наклон линейных участков равен ${\displaystyle -(\alpha +1)}$

Не существует общего аналитического решения для формы f ( x ). Однако существуют три особых случая, которые могут быть выражены через элементарные функции , как можно увидеть при рассмотрении характеристической функции : ^{[7] [9] [21]}

• Ибо распределение сводится к распределению Гаусса с дисперсией σ ² = 2 c ² и средним значением µ ; параметр асимметрии не имеет никакого эффекта. ${\displaystyle \alpha =2}$ ${\displaystyle \beta }$
• Для и распределение сводится к распределению Коши с параметром масштаба c и параметром сдвига μ . ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \beta =0}$
• Для и распределение сводится к распределению Леви с параметром масштаба c и параметром сдвига μ . ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle \beta =1}$

Обратите внимание, что три вышеупомянутых распределения также связаны следующим образом: стандартную случайную величину Коши можно рассматривать как смесь гауссовских случайных величин (все с нулевым средним значением), при этом дисперсия получается из стандартного распределения Леви. А на самом деле это частный случай более общей теоремы (см. стр. 59 в ^[22] ), позволяющей рассматривать таким образом любое симметричное альфа-стабильное распределение (с параметром альфа распределения смеси, равным удвоенному альфа-параметр распределения смешивания — и бета-параметр распределения смешивания всегда равен единице).

Общее выражение в замкнутой форме для стабильных PDF-файлов с рациональными значениями доступно в терминах G-функций Мейера . ^[23] H-функции Фокса также можно использовать для выражения стабильных функций плотности вероятности. Для простых рациональных чисел выражение в замкнутой форме часто выражается в виде менее сложных специальных функций . Доступно несколько выражений закрытой формы, имеющих довольно простые выражения с точки зрения специальных функций. В таблице ниже PDF-файлы, выражаемые элементарными функциями, обозначены буквой E , а PDF-файлы, выражаемые специальными функциями, обозначены буквой s . ^[22] ${\displaystyle \alpha }$

Некоторые из особых случаев известны под конкретными именами:

• Для и распределение представляет собой распределение Ландау ( L ), которое под этим названием имеет особое применение в физике. ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \beta =1}$
• Для и распределение сводится к распределению Хольцмарка с параметром масштаба c и параметром сдвига μ . ${\displaystyle \alpha =3/2}$ ${\displaystyle \beta =0}$

Кроме того, в пределе, когда c приближается к нулю или когда α приближается к нулю, распределение будет приближаться к дельта-функции Дирака δ ( x  −  µ ) .

Представление серии

Устойчивое распределение можно переформулировать как действительную часть более простого интеграла: ^[24]

$${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}e^{-(ct)^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}\,dt\right].}$$

Выражая вторую экспоненту в виде ряда Тейлора , имеем:

$${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-qt^{\alpha })^{n}}{n!}}\,dt\right]}$$

${\displaystyle q=c^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}$

$${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {i}{x-\mu }}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]}$$

xµnдельта-функциюxµ,xµ

Для одностороннего стабильного распределения приведенное выше разложение в ряд необходимо изменить, поскольку и . Реальной части для суммирования нет. Вместо этого интеграл характеристической функции следует проводить по отрицательной оси, что дает: ^{[25] [11]} ${\displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi /2)}$ ${\displaystyle qi^{\alpha }=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {-i}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]\\&={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\sin(n(\alpha +1)\pi )}{n!}}\left({\frac {1}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\end{aligned}}}$$

Моделирование стабильных переменных

Моделирование последовательностей стабильных случайных величин является непростой задачей, поскольку не существует ни аналитических выражений для обратных величин, ни самой функции CDF . ^{[10] [12]} Все стандартные подходы, такие как методы отклонения или инверсии, потребуют утомительных вычислений. Гораздо более элегантное и эффективное решение было предложено Чемберсом, Маллоузом и Штуком (CMS) ^[26] , которые заметили, что некоторая интегральная формула ^[27] дает следующий алгоритм: ^[28] ${\displaystyle F^{-1}(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$

• генерировать случайную величину, равномерно распределенную, и независимую экспоненциальную случайную величину со средним значением 1; ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$ ${\displaystyle W}$
• для вычислений: ${\displaystyle \alpha \neq 1}$
  $${\displaystyle X=\left(1+\zeta ^{2}\right)^{\frac {1}{2\alpha }}{\frac {\sin(\alpha (U+\xi ))}{(\cos(U))^{\frac {1}{\alpha }}}}\left({\frac {\cos(U-\alpha (U+\xi ))}{W}}\right)^{\frac {1-\alpha }{\alpha }},}$$
• для вычислений: ${\displaystyle \alpha =1}$
  $${\displaystyle X={\frac {1}{\xi }}\left\{\left({\frac {\pi }{2}}+\beta U\right)\tan U-\beta \log \left({\frac {{\frac {\pi }{2}}W\cos U}{{\frac {\pi }{2}}+\beta U}}\right)\right\},}$$
  где
  $${\displaystyle \zeta =-\beta \tan {\frac {\pi \alpha }{2}},\qquad \xi ={\begin{cases}{\frac {1}{\alpha }}\arctan(-\zeta )&\alpha \neq 1\\{\frac {\pi }{2}}&\alpha =1\end{cases}}}$$

Этот алгоритм дает случайную величину . Подробное доказательство см. ^[29] ${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)}$

Учитывая формулы моделирования стандартной стабильной случайной величины, мы можем легко смоделировать стабильную случайную величину для всех допустимых значений параметров , и используя следующее свойство. Если тогда ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)}$

$${\displaystyle Y={\begin{cases}cX+\mu &\alpha \neq 1\\cX+{\frac {2}{\pi }}\beta c\log c+\mu &\alpha =1\end{cases}}}$$

преобразованию Бокса-Мюллерагауссовых^[30][31][32] ${\displaystyle S_{\alpha }(\beta ,c,\mu )}$ ${\displaystyle \alpha =2}$ ${\displaystyle \beta =0}$

Приложения

Стабильные распределения обязаны своей важностью как в теории, так и на практике обобщению центральной предельной теоремы на случайные величины без моментов второго (а, возможно, первого) порядка и сопутствующего самоподобия стабильного семейства. Именно кажущееся отклонение от нормальности наряду с требованием самоподобной модели финансовых данных (т.е. форма распределения годовых изменений цен активов должна напоминать форму распределения составляющих их ежедневных или ежемесячных изменений цен) побудили Бенуа Мандельброта предложить что цены на хлопок следуют альфа-стабильному распределению, равному 1,7. ^[6] Распределения Леви часто встречаются при анализе критического поведения и финансовых данных. ^{[9] [33]} ${\displaystyle \alpha }$

Они также встречаются в спектроскопии как общее выражение для спектральной линии, уширенной квазистатически давлением . ^[24]

Распределение Леви по времени ожидания солнечных вспышек (время между событиями вспышек) было продемонстрировано для солнечных вспышек в жестком рентгеновском излучении CGRO BATSE в декабре 2001 года. Анализ статистической сигнатуры Леви показал, что были очевидны две разные сигнатуры памяти; один связан с солнечным циклом, а второй, происхождение которого, по-видимому, связано с локализованными эффектами или комбинацией локализованных эффектов солнечной активной области. ^[34]

Другие аналитические случаи

Известен ряд случаев аналитически выразимых устойчивых распределений. Пусть устойчивое распределение будет выражено тогда, когда мы знаем: ${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )}$

• Распределение Коши определяется выражением ${\displaystyle f(x;1,0,1,0).}$
• Распределение Леви определяется выражением ${\displaystyle f(x;{\tfrac {1}{2}},1,1,0).}$
• Нормальное распределение определяется выражением ${\displaystyle f(x;2,0,1,0).}$
• Пусть – функция Ломмеля , тогда: ^[35] ${\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)}$
  $${\displaystyle f\left(x;{\tfrac {1}{3}},0,1,0\right)=\Re \left({\frac {2e^{-{\frac {i\pi }{4}}}}{3{\sqrt {3}}\pi }}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}S_{0,{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2e^{\frac {i\pi }{4}}}{3{\sqrt {3}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)\right)}$$
• Тогда пусть и обозначают интегралы Френеля : ^[36] ${\displaystyle S(x)}$ ${\displaystyle C(x)}$
  $${\displaystyle f\left(x;{\tfrac {1}{2}},0,1,0\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi |x|^{3}}}}\left(\sin \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\frac {1}{2}}-S\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)\right]+\cos \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\frac {1}{2}}-C\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)\right]\right)}$$
• Пусть – модифицированная функция Бесселя второго рода тогда: ^[36] ${\displaystyle K_{v}(x)}$
  $${\displaystyle f\left(x;{\tfrac {1}{3}},1,1,0\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {2{\sqrt {2}}}{3^{\frac {7}{4}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}K_{\frac {1}{3}}\left({\frac {4{\sqrt {2}}}{3^{\frac {9}{4}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)}$$
• Если обозначить гипергеометрические функции , то: ^[35] ${\displaystyle {}_{m}F_{n}}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(x;{\tfrac {4}{3}},0,1,0\right)&={\frac {3^{\frac {5}{4}}}{4{\sqrt {2\pi }}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {7}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {11}{12}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {6}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {8}{12}}\right)}}{}_{2}F_{2}\left({\tfrac {7}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {6}{12}},{\tfrac {8}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)-{\frac {3^{\frac {11}{4}}x^{3}}{4^{3}{\sqrt {2\pi }}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {13}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {17}{12}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {18}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {15}{12}}\right)}}{}_{2}F_{2}\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {17}{12}};{\tfrac {18}{12}},{\tfrac {15}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)\\[6pt]f\left(x;{\tfrac {3}{2}},0,1,0\right)&={\frac {\Gamma \left({\tfrac {5}{3}}\right)}{\pi }}{}_{2}F_{3}\left({\tfrac {5}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {5}{6}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)-{\frac {x^{2}}{3\pi }}{}_{3}F_{4}\left({\tfrac {3}{4}},1,{\tfrac {5}{4}};{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {5}{6}},{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {4}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)+{\frac {7x^{4}\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}{3^{4}\pi ^{2}}}{}_{2}F_{3}\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {19}{12}};{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {5}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)\end{aligned}}}$$
  причем последнее является распределением Хольцмарка .
• Пусть — функция Уиттекера , тогда: ^{[37] [38] [39]} ${\displaystyle W_{k,\mu }(z)}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(x;{\tfrac {2}{3}},0,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\tfrac {2}{27}}x^{-2}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {4}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {2}{3}},1,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left(-{\tfrac {16}{27}}x^{-2}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {32}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {3}{2}},1,1,0\right)&={\begin{cases}{\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left(-{\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x<0\\{}\\{\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• полет Леви
• Процесс Леви
• Другие распределения по «степенному закону»
  • Распределение Парето
  • Зета-распределение
  • Дистрибутив Зипфа
  • Распределение Ципфа – Мандельброта
• Финансовые модели с длиннохвостыми распределениями и кластеризацией волатильности
• Многомерное стабильное распределение
• Дискретно-стабильное распределение

Примечания

• Программа STABLE для Windows доступна на веб-странице стабильных версий Джона Нолана: http://www.robustanasis.com/public/stable.html. Он вычисляет плотность (pdf), кумулятивную функцию распределения (cdf) и квантили для общего стабильного распределения, а также выполняет оценку максимального правдоподобия стабильных параметров и некоторые методы исследовательского анализа данных для оценки соответствия набора данных.
• libstable — это реализация C для стабильного дистрибутива pdf, cdf, случайных чисел, квантилей и функций подгонки (вместе с пакетом эталонной репликации и пакетом R).
• «Стаблдист» пакета R , созданный Дитхельмом Вюрцем, Мартином Мехлером и членами основной команды Rmetrics. Вычисляет стабильную плотность, вероятность, квантили и случайные числа. Обновлено 12 сентября 2016 г.
• Реализация Python находится в scipy.stats.levy_stable в пакете SciPy .

Рекомендации

1. Мандельброт, Б. (1960). «Закон Парето-Леви и распределение доходов». Международное экономическое обозрение . 1 (2): 79–106. дои : 10.2307/2525289. JSTOR  2525289.
2. Леви, Поль (1925). Расчет вероятностей . Париж: Готье-Виллар. ОСЛК  1417531.
3. Мандельброт, Б. (1961). «Стабильные паретианские случайные функции и мультипликативное изменение дохода». Эконометрика . 29 (4): 517–543. дои : 10.2307/1911802. JSTOR  1911802.
4. Мандельброт, Б. (1963). «Изменение некоторых спекулятивных цен». Журнал бизнеса . 36 (4): 394–419. дои : 10.1086/294632. JSTOR  2350970.
5. Фама, Юджин Ф. (1963). «Мандельброт и стабильная паретианская гипотеза». Журнал бизнеса . 36 (4): 420–429. дои : 10.1086/294633. JSTOR  2350971.
6. Мандельброт, Б. (1963). «Новые методы статистической экономики». Журнал политической экономии . 71 (5): 421–440. дои : 10.1086/258792. S2CID  53004476.
7. Нолан, Джон П. «Стабильные распределения - модели для данных с тяжелыми хвостами» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 июля 2011 г. Проверено 21 февраля 2009 г.
8. Зигрист, Кайл. «Стабильные дистрибутивы». www.randomservices.org . Проверено 18 октября 2018 г.
9. Voit, Йоханнес (2005). Балиан, Р; Бейгльбёк, Ж; Гросс, Х; Тирринг, В. (ред.). Статистическая механика финансовых рынков – Спрингер . Тексты и монографии по физике. Спрингер. дои : 10.1007/b137351. ISBN 978-3-540-26285-5.
10. Нолан, Джон П. (1997). «Численный расчет стабильных плотностей и функций распределения». Коммуникации в статистике. Стохастические модели . 13 (4): 759–774. дои : 10.1080/15326349708807450. ISSN  0882-0287.
11. Пенсон, Калифорния; Горска, К. (17 ноября 2010 г.). «Точные и явные плотности вероятности для односторонних стабильных распределений Леви». Письма о физических отзывах . 105 (21): 210604. arXiv : 1007.0193 . Бибкод : 2010PhRvL.105u0604P. doi : 10.1103/PhysRevLett.105.210604. PMID  21231282. S2CID  27497684.
12. Лин, Стивен (2017). «Теория доходности активов и волатильности при стабильном законе и стабильном лямбда-распределении». ССРН .
13. Ле Кам, Л. (февраль 1986 г.). «Центральная предельная теорема около 1935 года». Статистическая наука . 1 (1): 78–91. JSTOR  2245503.
14. Леви, Поль (1937). Теория сложения непредсказуемых переменных . Париж: Готье-Виллар.
15. Гнеденко, Борис Владимирович; Кологоров Андрей Николаевич; Дуб, Джозеф Л.; Сюй, Пао-Лу (1968). Предельные распределения сумм независимых случайных величин . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли.
16. Нолан, Джон П. (2020). Одномерные устойчивые распределения, модели для данных с тяжелыми хвостами. Серия Springer по исследованию операций и финансовой инженерии. Швейцария: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-030-52915-4. ISBN 978-3-030-52914-7. S2CID  226648987.
17. Гнеденко, Борис В. (30 июня 2020 г.). «10: Теория бесконечно делимых распределений». Теория вероятностей (6-е изд.). ЦРК Пресс. ISBN 978-0-367-57931-9.
18. Гнеденко, Борис Владимирович; Колмогоров, Андрей Николаевич (1968). Предельные распределения сумм независимых случайных величин. Аддисон-Уэсли.
19. Учайкин, Владимир В.; Золотарев, Владимир М. (8 сентября 2011 г.). Случайность и стабильность: стабильные распределения и их приложения. Вальтер де Грюйтер. ISBN 978-3-11-093597-4.
20. Араужо, Алоизио; Джине, Эварист (1980). "Глава 2". Центральная предельная теорема для вещественных и банаховских случайных величин . Ряды Вили по вероятности и математической статистике. Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-0-471-05304-0.
21. Самородницкий, Г.; Такку, М.С. (1994). Устойчивые негауссовские случайные процессы: стохастические модели с бесконечной дисперсией. ЦРК Пресс. ISBN 9780412051715.
22. Ли, Вай Ха (2010). Непрерывные и дискретные свойства случайных процессов. Докторская диссертация, Ноттингемский университет.
23. Золотарев, В. (1995). «О представлении плотностей устойчивых законов специальными функциями». Теория вероятностей и ее приложения . 39 (2): 354–362. дои : 10.1137/1139025. ISSN  0040-585X.
24. Персик, Г. (1981). «Теория барического уширения и смещения спектральных линий». Достижения физики . 30 (3): 367–474. Бибкод : 1981AdPhy..30..367P. дои : 10.1080/00018738100101467. ISSN  0001-8732.
25. Поллард, Ховард (1946). «Представление e^{-x^{\lambda}} как интеграла Лапласа». Бык. амер. Математика. Соц . 52 : 908. doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08672-3 .
26. Чемберс, Дж. М.; Маллоуз, CL; Застрял, BW (1976). «Метод моделирования стабильных случайных величин». Журнал Американской статистической ассоциации . 71 (354): 340–344. дои : 10.1080/01621459.1976.10480344. ISSN  0162-1459.
27. Золотарев, В.М. (1986). Одномерные устойчивые распределения . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4519-6.
28. Мисиорек, Адам; Верон, Рафал (2012). Нежный, Джеймс Э.; Хердле, Вольфганг Карл; Мори, Юичи (ред.). Распределения с тяжелыми хвостами в расчетах VaR (PDF) . Справочники Springer по вычислительной статистике. Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. 1025–1059. дои : 10.1007/978-3-642-21551-3_34. ISBN 978-3-642-21550-6.
29. Верон, Рафал (1996). «О методе Чемберса-Мэллоуса-Стака для моделирования асимметричных стабильных случайных величин». Статистика и вероятностные буквы . 28 (2): 165–171. CiteSeerX 10.1.1.46.3280 . дои : 10.1016/0167-7152(95)00113-1. S2CID  9500064. 
30. Яницкий, Александр; Верон, Александр (1994). Моделирование и хаотическое поведение альфа-стабильных случайных процессов. ЦРК Пресс. ISBN 9780824788827.
31. Мантенья, Розарио Нунцио (1994). «Быстрый и точный алгоритм численного моделирования устойчивых случайных процессов Леви». Физический обзор E . 49 (5): 4677–4683. Бибкод : 1994PhRvE..49.4677M. doi : 10.1103/PhysRevE.49.4677. ПМИД  9961762.
32. Яницкий, Александр; Кокошка, Петр (1992). «Компьютерное исследование скорости сходимости рядов типа Лепажа к α-стабильным случайным величинам». Статистика . 23 (4): 365–373. дои : 10.1080/02331889208802383. ISSN  0233-1888.
33. Рачев, Светлозар Т.; Миттник, Стефан (2000). Стабильные паретианские модели в финансах. Уайли. ISBN 978-0-471-95314-2.
34. Леддон, Д., Статистическое исследование солнечных вспышек в жестком рентгеновском излучении.
35. Гарони, ТМ; Франкель, штат Нью-Йорк (2002). «Полёты Леви: точные результаты и асимптотика вне всех порядков». Журнал математической физики . 43 (5): 2670–2689. Бибкод : 2002JMP....43.2670G. дои : 10.1063/1.1467095.
36. Хопкрафт, Ки; Джейкман, Э.; Таннер, RMJ (1999). «Случайные блуждания Леви с изменяющимся числом шагов и многомасштабным поведением». Физический обзор E . 60 (5): 5327–5343. Бибкод : 1999PhRvE..60.5327H. doi : 10.1103/physreve.60.5327. ПМИД  11970402.
37. Учайкин, В.В.; Золотарев, В.М. (1999). «Шанс и стабильность - стабильные распределения и их приложения». ВСП .
38. Злотарев, В.М. (1961). «Выражение плотности устойчивого распределения с показателем альфа больше единицы посредством частоты с показателем 1/альфа». Избранные переводы по математической статистике и теории вероятности (Пер. с русской статьи: Докл. АН СССР. 98, 735–738 (1954)) . 1 : 163–167.
39. Заляпин, IV; Каган, ГГ; Шенберг, Ф.П. (2005). «Аппроксимация распределения сумм Парето». Чистая и прикладная геофизика . 162 (6): 1187–1228. Бибкод : 2005PApGe.162.1187Z. дои : 10.1007/s00024-004-2666-3. S2CID  18754585.