Процесс Леви

Случайный процесс в теории вероятностей

В теории вероятностей процесс Леви , названный в честь французского математика Поля Леви , представляет собой случайный процесс с независимыми, стационарными приращениями: он представляет собой движение точки, последовательные смещения которой случайны , при котором смещения в попарно непересекающиеся промежутки времени независимы, а смещения в разные интервалы времени одинаковой длины имеют одинаковые распределения вероятностей. Таким образом, процесс Леви можно рассматривать как аналог случайного блуждания в непрерывном времени .

Наиболее известными примерами процессов Леви являются процесс Винера , часто называемый процессом броуновского движения , и процесс Пуассона . Другие важные примеры включают процесс Гамма , процесс Паскаля и процесс Мейкснера. Помимо броуновского движения со сносом, все остальные собственные (т. е. не детерминированные) процессы Леви имеют разрывные траектории. Все процессы Леви являются аддитивными процессами . ^[1]

Математическое определение

Процесс Леви — это случайный процесс , который удовлетворяет следующим свойствам: ${\displaystyle X=\{X_{t}:t\geq 0\}}$

1. ${\displaystyle X_{0}=0\,}$ почти наверняка ;
2. Независимость приращений : Длялюбыхвзаимно независимы ; ${\displaystyle 0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n}<\infty }$ ${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}},X_{t_{3}}-X_{t_{2}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}}$
3. Стационарные приращения : для любогоравно распределению ${\displaystyle s<t\,}$ ${\displaystyle X_{t}-X_{s}\,}$ ${\displaystyle X_{t-s};\,}$
4. Непрерывность по вероятности : для любогоиверно, что ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}P(|X_{t+h}-X_{t}|>\varepsilon )=0.}$

Если процесс Леви, то можно построить его версию , которая почти наверняка будет непрерывной справа с левыми пределами . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\mapsto X_{t}}$

Характеристики

Независимые приращения

Случайный процесс с непрерывным временем присваивает случайную величину X _t каждой точке t ≥ 0 во времени. По сути, это случайная функция t . Приращениями такого процесса являются разности X _s − X _t между его значениями в разные моменты времени t < s . Назвать приращения процесса независимыми означает, что приращения X _s - X _t и X _u - X _v являются независимыми случайными величинами всякий раз, когда два временных интервала не перекрываются и, в более общем смысле, любое конечное число приращений, присвоенных попарно непересекающимся временные интервалы взаимно (а не только попарно ) независимы.

Стационарные приращения

Назвать приращения стационарными означает, что распределение вероятностей любого приращения X _t − X _s зависит только от длины t  −  s временного интервала; приращения на одинаково длинных интервалах времени распределяются одинаково.

Если это винеровский процесс , то распределение вероятностей X _t  −  X _s является нормальным с ожидаемым значением 0 и дисперсией t  −  s . ${\displaystyle X}$

Если это процесс Пуассона , распределение вероятностей X _t  -  X _s представляет собой распределение Пуассона с ожидаемым значением λ( t  -  s ), где λ > 0 — «интенсивность» или «скорость» процесса. ${\displaystyle X}$

Если процесс Коши , то распределение вероятностей X _t  −  X _s является распределением Коши с плотностью . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right]}$

Бесконечная делимость

Распределение процесса Леви обладает свойством бесконечной делимости : для любого целого числа n закон процесса Леви в момент времени t можно представить как закон суммы n независимых случайных величин, которые в точности являются приращениями процесса Леви . процесс на интервалах времени длины t / n, которые независимы и одинаково распределены в соответствии с предположениями 2 и 3. И наоборот, для каждого бесконечно делимого распределения вероятностей существует процесс Леви такой, что закон задается выражением . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle F}$

Моменты

В любом процессе Леви с конечными моментами n - й момент является полиномиальной функцией от t ; эти функции удовлетворяют биномиальному тождеству : ${\displaystyle \mu _{n}(t)=E(X_{t}^{n})}$

${\displaystyle \mu _{n}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\mu _{k}(t)\mu _{n-k}(s).}$

Представление Леви – Хинчина

Распределение процесса Леви характеризуется его характеристической функцией , которая задается формулой Леви–Хинчина (общей для всех бесконечно делимых распределений ): ^[2]

Если это процесс Леви, то его характеристическая функция определяется выражением ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle \varphi _{X}(\theta )}$

${\displaystyle \varphi _{X}(\theta )(t):=\mathbb {E} \left[e^{i\theta X(t)}\right]=\exp {\left(t\left(ai\theta -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\theta ^{2}+\int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {1} _{|x|<1}\right)\,\Pi (dx)}\right)\right)}}$

где , , и – σ -конечная мера, называемая мерой Леви , удовлетворяющая свойству ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sigma \geq 0}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\min(1,x^{2})\,\Pi (dx)}<\infty .}$

Выше приведена индикаторная функция . Поскольку характеристические функции однозначно определяют лежащие в их основе распределения вероятностей, каждый процесс Леви однозначно определяется «тройкой Леви – Хинчина» . Члены этого триплета предполагают, что процесс Леви можно рассматривать как имеющий три независимых компонента: линейный дрейф, броуновское движение и процесс скачка Леви, как описано ниже. Это немедленно дает понять, что единственный (недетерминированный) непрерывный процесс Леви представляет собой броуновское движение со сносом; аналогично, каждый процесс Леви является семимартингалом . ^[3] ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle (a,\sigma ^{2},\Pi )}$

Разложение Леви – Ито

Поскольку характеристические функции независимых случайных величин умножаются, теорема Леви – Хинчина предполагает, что каждый процесс Леви представляет собой сумму броуновского движения со сносом и другой независимой случайной величины, процесса скачка Леви. Разложение Леви – Ито описывает последнее как (стохастическую) сумму независимых пуассоновских случайных величин.

Пусть — то есть ограничение на , перенормированное в вероятностную меру; аналогично пусть (но не масштабируя). Затем ${\displaystyle \nu ={\frac {\Pi |_{\mathbb {R} \setminus (-1,1)}}{\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))}}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}$ ${\displaystyle \mu =\Pi |_{(-1,1)\setminus \{0\}}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {1} _{|x|<1}\right)\,\Pi (dx)}=\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1)\,\nu (dx)}+\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1-i\theta x)\,\mu (dx)}.}$

Первое является характерной функцией сложного процесса Пуассона с интенсивностью и дочерним распределением . Последний представляет собой компенсированный обобщенный процесс Пуассона (CGPP): процесс со счетным количеством скачкообразных разрывов на каждом интервале , но такой, что эти разрывы имеют величину меньше . Если , то CGPP представляет собой чистый переходный процесс . ^{[4] [5]} Поэтому с точки зрения процессов можно разложить следующим образом ${\displaystyle \Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{|x|\,\mu (dx)}<\infty }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X_{t}=\sigma B_{t}+at+Y_{t}+Z_{t},t\geq 0,}$

где – составной пуассоновский процесс со скачками большими, чем по абсолютной величине, – упомянутый выше компенсированный обобщенный пуассоновский процесс, который также является мартингалом с нулевым средним. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle Z_{t}}$

Обобщение

Случайное поле Леви — это многомерное обобщение процесса Леви. ^{[6] [7]} Еще более общими являются разложимые процессы. ^[8]

Смотрите также

• Независимые и одинаково распределенные случайные величины
• Винеровский процесс
• Пуассоновский процесс
• Гамма-процесс
• Марковский процесс
• полет Леви

Рекомендации

1. Сато, Кен-Ити (1999). Процессы Леви и бесконечно делимые распределения . Издательство Кембриджского университета. стр. 31–68. ISBN 9780521553025.
2. Золотарев, Владимир М. Одномерные устойчивые распределения. Том. 65. Американская математическая общество, 1986.
3. Проттер П.Е. Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения. Спрингер, 2005.
4. Киприану, Андреас Э. (2014), «Разложение Леви – Ито и структура путей», Флуктуации процессов Леви с приложениями , Universitext, Springer Berlin Heidelberg, стр. 35–69, doi : 10.1007/978-3-642- 37632-0_2, ISBN 9783642376313
5. Лоулер, Грегори (2014). «Стохастическое исчисление: введение с приложениями» (PDF) . Кафедра математики (Чикагский университет) . Архивировано из оригинала (PDF) 29 марта 2018 года . Проверено 3 октября 2018 г.
6. Вулперт, Роберт Л.; Икштадт, Катя (1998), «Моделирование случайных полей Леви», Практическая непараметрическая и полупараметрическая байесовская статистика , Конспекты лекций по статистике, Спрингер, Нью-Йорк, doi : 10.1007/978-1-4612-1732-9_12, ISBN 978-1-4612-1732-9
7. Вулперт, Роберт Л. (2016). «Случайные поля Леви» (PDF) . Департамент статистических наук (Университет Дьюка) .
8. Фельдман, Джейкоб (1971). «Разложимые процессы и непрерывные произведения вероятностных пространств». Журнал функционального анализа . 8 (1): 1–51. дои : 10.1016/0022-1236(71)90017-6. ISSN  0022-1236.

• Эпплбаум, Дэвид (декабрь 2004 г.). «Процессы Леви — от вероятности к финансам и квантовым группам» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 51 (11): 1336–1347. ISSN  1088-9477.
• Продолжение, Рама; Танков, Петр (2003). Финансовое моделирование со скачкообразными процессами . ЦРК Пресс. ISBN 978-1584884132..
• Сато, Кен-Ити (2011). Процессы Леви и бесконечно делимые распределения . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521553025..
• Киприану, Андреас Э. (2014). Флуктуации процессов Леви с приложениями. Вводные лекции. Второе издание . Спрингер. ISBN 978-3642376313..