Профиль Фойгта

Распределение вероятностей

Профиль Фойгта (названный в честь Вольдемара Фойгта ) — это распределение вероятностей , заданное сверткой распределения Коши -Лоренца и распределения Гаусса . Его часто используют при анализе данных спектроскопии или дифракции .

Определение

Без ограничения общности можно рассматривать только центрированные профили с нулевым максимумом. Тогда профиль Фойгта

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(x-x';\gamma )\,dx',}$

где x — смещение от центра линии, — центрированный гауссов профиль: ${\displaystyle G(x;\sigma )}$

${\displaystyle G(x;\sigma )\equiv {\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}$

и представляет собой центрированный лоренцев профиль: ${\displaystyle L(x;\gamma )}$

${\displaystyle L(x;\gamma )\equiv {\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+x^{2})}}.}$

Определяющий интеграл можно оценить как:

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}$

где Re[ w ( z )] — действительная часть функции Фаддеевой , рассчитанная для

${\displaystyle z={\frac {x+i\gamma }{{\sqrt {2}}\,\sigma }}.}$

В предельных случаях и затем упрощается до и соответственно. ${\displaystyle \sigma =0}$ ${\displaystyle \gamma =0}$ ${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )}$ ${\displaystyle L(x;\gamma )}$ ${\displaystyle G(x;\sigma )}$

История и приложения

В спектроскопии профиль Фойгта является результатом свертки двух механизмов уширения, один из которых сам по себе создает гауссов профиль (обычно в результате доплеровского уширения ), а другой - лоренцев. Профили Фойгта распространены во многих разделах спектроскопии и дифракции . Из-за затрат на вычисление функции Фаддеевой профиль Фойгта иногда аппроксимируют с помощью профиля псевдо-Фойгта.

Характеристики

Профиль Фойгта нормализуется:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }V(x;\sigma ,\gamma )\,dx=1,}$

поскольку это свертка нормализованных профилей. Лоренцев профиль не имеет моментов (кроме нулевого), поэтому производящая функция для распределения Коши не определена. Отсюда следует, что профиль Фойгта также не будет иметь производящей момент функции, но характеристическая функция для распределения Коши четко определена, как и характеристическая функция для нормального распределения . Тогда характеристическая функция для (центрированного) профиля Фойгта будет произведением двух:

${\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=E(e^{ixt})=e^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}$

Поскольку нормальное распределение и распределение Коши являются стабильными распределениями , каждое из них замкнуто при свертке (с точностью до изменения масштаба), а из этого следует, что распределения Фойгта также замкнуты при свертке.

Кумулятивная функция распределения

Используя приведенное выше определение z , кумулятивную функцию распределения (CDF) можно найти следующим образом:

${\displaystyle F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0}}{\frac {\operatorname {Re} (w(z))}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,dx=\operatorname {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )}^{z(x_{0})}w(z)\,dz\right).}$

Подстановка определения функции Фаддеевой (масштабированная комплексная функция ошибок ) дает неопределенный интеграл:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-z^{2}}\left[1-\operatorname {erf} (-iz)\right]\,dz,}$

которое можно решить, чтобы получить

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right),}$

где – гипергеометрическая функция . Чтобы функция приближалась к нулю по мере того, как x приближается к отрицательной бесконечности (как это должно делать CDF), необходимо добавить константу интегрирования 1/2. Это дает для CDF Фойгта: ${\displaystyle {}_{2}F_{2}}$

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\operatorname {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right)\right].}$

Нецентрированный профиль Фойгта

Если гауссов профиль центрирован в, а лоренцев профиль центрирован в , свертка центрируется в и характеристическая функция: ${\displaystyle \mu _{G}}$ ${\displaystyle \mu _{L}}$ ${\displaystyle \mu _{V}=\mu _{G}+\mu _{L}}$

${\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=e^{i(\mu _{\mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}$

Функция плотности вероятности просто смещается от центрированного профиля на : ${\displaystyle \mu _{V}}$

${\displaystyle V(x;\mu _{V},\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},}$

где:

${\displaystyle z={\frac {x-\mu _{V}+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}}$

И мода, и медиана расположены в точке . ${\displaystyle \mu _{V}}$

Производные

Профиль Фойгта (здесь при условии , и ) и его первые две частные производные по (первому столбцу) и трем параметрам , , и (второй, третий и четвертый столбцы соответственно), полученные аналитически и численно. ${\displaystyle \mu _{V}=10}$ ${\displaystyle \sigma =1.3}$ ${\displaystyle \gamma =2.5}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu _{V}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Используя приведенное выше определение для и , первая и вторая производные могут быть выражены через функцию Фаддеевой как ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{c}=x-\mu _{V}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&=-{\frac {\operatorname {Re} \left[z~w(z)\right]}{\sigma ^{2}{\sqrt {\pi }}}}=-{\frac {x_{c}}{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Im} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\\&={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \operatorname {Im} \left[w(z)\right]-x_{c}\cdot \operatorname {Re} \left[w(z)\right]\right)\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\left(\partial x\right)^{2}}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&={\frac {x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {2x_{c}\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Im} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {1}{\pi }}\\&=-{\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \operatorname {Im} \left[w(z)\right]-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \operatorname {Re} \left[w(z)\right]\right),\end{aligned}}}$

соответственно.

Часто один или несколько профилей Фойгта и/или их соответствующие производные необходимо согласовать с измеряемым сигналом с помощью нелинейного метода наименьших квадратов , например, в спектроскопии . Затем для ускорения вычислений можно использовать дополнительные частные производные. Вместо аппроксимации матрицы Якоби по параметрам , , и с помощью конечных разностей можно применить соответствующие аналитические выражения. С и они определяются как: ${\displaystyle \mu _{V}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \left[w(z)\right]=\Re _{w}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left[w(z)\right]=\Im _{w}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(x_{c}\cdot \Re _{w}-\gamma \cdot \Im _{w}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \sigma }}={\frac {1}{\sigma ^{4}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}\right)\cdot \Re _{w}-2x_{c}\gamma \cdot \Im _{w}+\gamma \sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \gamma }}=-{\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-x_{c}\cdot \Im _{w}-\gamma \cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}$

для исходного профиля Фойгта ; ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V'}{\partial x}}=-{\frac {\partial ^{2}V}{\left(\partial x\right)^{2}}}={\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \Im _{w}-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \sigma }}={\frac {3}{\sigma ^{6}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(-\gamma \sigma x_{c}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}+\left(x_{c}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{3}}-\sigma ^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Im _{w}+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \gamma }}={\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(x_{c}\cdot \left(\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-2\gamma \cdot \Re _{w}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \Im _{w}\right)\end{aligned}}}$

для частной производной первого порядка ; и ${\displaystyle V'={\frac {\partial V}{\partial x}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V''}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V''}{\partial x}}=-{\frac {\partial ^{3}V}{\left(\partial x\right)^{3}}}=-{\frac {3}{\sigma ^{7}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(x_{c}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{3}}-\sigma ^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Im _{w}+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Re _{w}-\gamma \sigma x_{c}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial V''}{\partial \sigma }}=-{\frac {1}{\sigma ^{8}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \\&\left(\left(-3\gamma x_{c}\sigma ^{2}+\gamma x_{c}^{3}-\gamma ^{3}x_{c}\right)\cdot 4\cdot \Im _{w}+\left(\left(2x_{c}^{2}-2\gamma ^{2}-\sigma ^{2}\right)\cdot 3\sigma ^{2}+6\gamma ^{2}x_{c}^{2}-x_{c}^{4}-\gamma ^{4}\right)\cdot \Re _{w}+\left(\gamma ^{2}+5\sigma ^{2}-3x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma \sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V''}{\partial \gamma }}=-{\frac {3}{\sigma ^{7}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Im _{w}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{3}}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Re _{w}+\left(x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-2\sigma ^{2}\right)\cdot \sigma \cdot {\frac {\sqrt {2}}{3{\sqrt {\pi }}}}\right)\end{aligned}}}$

для частной производной второго порядка . Поскольку и играют относительно схожую роль в вычислении , их соответствующие частные производные также выглядят весьма схожими с точки зрения их структуры, хотя они приводят к совершенно разным профилям производных. Действительно, частные производные по и демонстрируют большее сходство, поскольку оба являются параметрами ширины. Все эти производные включают в себя только простые операции (умножения и сложения), поскольку они требуют больших вычислительных затрат и их легко получить при вычислении . Такое повторное использование предыдущих расчетов позволяет получить вывод с минимальными затратами. Это не относится к аппроксимации градиента конечной разностью, поскольку оно требует оценки для каждого градиента соответственно. ${\displaystyle V''={\frac {\partial ^{2}V}{\left(\partial x\right)^{2}}}}$ ${\displaystyle \mu _{V}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Re _{w}}$ ${\displaystyle \Im _{w}}$ ${\displaystyle w\left(z\right)}$ ${\displaystyle w\left(z\right)}$

Функции Фойгта

Функции Фойгта ^[1] U , V и H (иногда называемые функцией уширения линии ) определяются формулами

${\displaystyle U(x,t)+iV(x,t)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}e^{z^{2}}\operatorname {erfc} (z)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}w(iz),}$

${\displaystyle H(a,u)={\frac {U({\frac {u}{a}},{\frac {1}{4a^{2}}})}{{\sqrt {\pi }}\,a}},}$

где

${\displaystyle z={\frac {1-ix}{2{\sqrt {t}}}},}$

erfc — дополнительная функция ошибок , а w ( z ) — функция Фаддеевой .

Связь с профилем Фойгта

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {H(a,u)}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}$

с относительными переменными гауссовой сигмы и ${\displaystyle u={\frac {x}{{\sqrt {2}}\,\sigma }}}$ ${\displaystyle a={\frac {\gamma }{{\sqrt {2}}\,\sigma }}.}$

Числовые аппроксимации

Функция Теппера-Гарсиа

Функция Теппера-Гарсиа , названная в честь немецко-мексиканского астрофизика Тора Теппера-Гарсии, представляет собой комбинацию экспоненциальной функции и рациональных функций, которая аппроксимирует функцию уширения линии в широком диапазоне ее параметров. ^[2] Он получается путем разложения в усеченный степенной ряд точной функции уширения линии. ${\displaystyle H(a,u)}$

В наиболее эффективной в вычислительном отношении форме функция Теппера-Гарсиа может быть выражена как

${\displaystyle T(a,u)=R-\left(a/{\sqrt {\pi }}P\right)~\left[R^{2}~(4P^{2}+7P+4+Q)-Q-1\right]\,,}$

где , , и . ${\displaystyle P\equiv u^{2}}$ ${\displaystyle Q\equiv 3/(2P)}$ ${\displaystyle R\equiv e^{-P}}$

Таким образом, функцию уширения линии можно рассматривать в первом порядке как чистую функцию Гаусса плюс поправочный коэффициент, который линейно зависит от микроскопических свойств поглощающей среды (закодирован в ); однако из-за раннего усечения разложения в ряд ошибка аппроксимации все еще имеет порядок , т.е. Это приближение имеет относительную точность ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle H(a,u)\approx T(a,u)+{\mathcal {O}}(a)}$

${\displaystyle \epsilon \equiv {\frac {\vert H(a,u)-T(a,u)\vert }{H(a,u)}}\lesssim 10^{-4}}$

во всем диапазоне длин волн при условии, что . Помимо высокой точности, эта функция проста в реализации и требует быстрых вычислений. Он широко используется в области анализа линий поглощения квазаров. ^[3] ${\displaystyle H(a,u)}$ ${\displaystyle a\lesssim 10^{-4}}$ ${\displaystyle T(a,u)}$

Псевдо-фойгтовское приближение

Профиль псевдо-Фойгта (или функция псевдо-Фойгта ) — это аппроксимация профиля Фойгта V ( x ) с использованием линейной комбинации гауссовой кривой G ( x ) и лоренцевой кривой L ( x ) вместо их свертки .

Функция псевдо-Фойгта часто используется для расчета экспериментальных форм спектральных линий .

Математическое определение нормализованного профиля псевдо-Фойгта дается формулой

${\displaystyle V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)}$с . ${\displaystyle 0<\eta <1}$

${\displaystyle \eta }$является функцией параметра полной ширины на половине максимума (FWHM).

Существует несколько возможных вариантов выбора параметра. ^{[4] [5] [6] [7]} Простая формула с точностью до 1%: ^{[8] [9]} ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta =1.36603(f_{L}/f)-0.47719(f_{L}/f)^{2}+0.11116(f_{L}/f)^{3},}$

где теперь является функцией параметров Лоренца ( ), Гаусса ( ) и полной ( ) Полная ширина на половине высоты (FWHM). Общий параметр FWHM ( ) описывается следующим образом: ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle f_{L}}$ ${\displaystyle f_{G}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=[f_{G}^{5}+2.69269f_{G}^{4}f_{L}+2.42843f_{G}^{3}f_{L}^{2}+4.47163f_{G}^{2}f_{L}^{3}+0.07842f_{G}f_{L}^{4}+f_{L}^{5}]^{1/5}.}$

Ширина профиля Фойгта

Полную ширину на половине высоты (FWHM) профиля Фойгта можно найти по ширине соответствующих гауссовских и лоренцевых ширин. Полуширина гауссова профиля равна

${\displaystyle f_{\mathrm {G} }=2\sigma {\sqrt {2\ln(2)}}.}$

Полуширина лоренцева профиля равна

${\displaystyle f_{\mathrm {L} }=2\gamma .}$

Примерное соотношение (с точностью до 1,2%) между шириной профилей Фойгта, Гаусса и Лоренца: ^[10]

${\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx f_{\mathrm {L} }/2+{\sqrt {f_{\mathrm {L} }^{2}/4+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.}$

По построению это выражение является точным для чистого гауссиана или лоренциана.

Лучшее приближение с точностью 0,02% дает ^[11] (первоначально найдено Килкопфом ^[12] ).

${\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx 0.5346f_{\mathrm {L} }+{\sqrt {0.2166f_{\mathrm {L} }^{2}+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.}$

Опять же, это выражение точно для чистого гауссова или лоренциана. В той же публикации ^[11] можно найти несколько более точное (в пределах 0,012%), но значительно более сложное выражение.

Рекомендации

1. Темме, Нью-Мексико (2010), «Функция Фойгта», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
2. Теппер-Гарсия, Торстен (2006). «Подбор профиля Фойгта к линиям поглощения квазаров: аналитическое приближение к функции Фойгта-Хьертинга». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 369 (4): 2025–2035. arXiv : astro-ph/0602124 . Бибкод : 2006MNRAS.369.2025T. дои : 10.1111/j.1365-2966.2006.10450.x. S2CID  16981310.
3. Список цитат, найденных в Системе астрофизических данных SAO/NASA (ADS): https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2006MNRAS.369.2025T/citations.
4. Вертхайм Г.К., Батлер М.А., Вест К.В., Бьюкенен Д.Н. (1974). «Определение гауссовского и лоренцевого содержания экспериментальных форм линий». Обзор научных инструментов . 45 (11): 1369–1371. Бибкод : 1974RScI...45.1369W. дои : 10.1063/1.1686503.
5. Санчес-Бахо, Ф.; Флорида Камбрера (август 1997 г.). «Использование функции псевдо-Фойгта в дисперсионном методе анализа уширения рентгеновских линий». Журнал прикладной кристаллографии . 30 (4): 427–430. дои : 10.1107/S0021889896015464.
6. Лю Ю, Линь Дж, Хуан Г, Го Ю, Дуань С (2001). «Простое эмпирически-аналитическое приближение профиля Фойгта». ЖОСА Б. 18 (5): 666–672. Бибкод : 2001JOSAB..18..666L. дои : 10.1364/josab.18.000666.
7. Ди Рокко Х.О., Крузадо А (2012). «Профиль Фойгта как сумма функций Гаусса и Лоренца, когда весовой коэффициент зависит только от соотношения ширин». Acta Physica Polonica А. 122 (4): 666–669. Бибкод : 2012AcPPA.122..666D. дои : 10.12693/APhysPolA.122.666 . ISSN  0587-4246.
8. Ида Т, Андо М, Торая Х (2000). «Расширенная функция псевдо-Фойгта для аппроксимации профиля Фойгта». Журнал прикладной кристаллографии . 33 (6): 1311–1316. дои : 10.1107/s0021889800010219. S2CID  55372305.
9. П. Томпсон, Д.Э. Кокс и Дж.Б. Гастингс (1987). «Уточнение Ритвельдом данных синхротронного рентгеновского излучения Дебая-Шеррера от Al ₂ O ₃ ». Журнал прикладной кристаллографии . 20 (2): 79–83. дои : 10.1107/S0021889887087090.
10. Уайтинг, Э.Э. (июнь 1968 г.). «Эмпирическое приближение к профилю Фойгта». Журнал количественной спектроскопии и переноса излучения . 8 (6): 1379–1384. Бибкод : 1968JQSRT...8.1379W. дои : 10.1016/0022-4073(68)90081-2. ISSN  0022-4073.
11. Оливеро, Джей Джей; Р. Л. Лонгботум (февраль 1977 г.). «Эмпирическое соответствие ширине линии Фойгта: краткий обзор». Журнал количественной спектроскопии и переноса излучения . 17 (2): 233–236. Бибкод : 1977JQSRT..17..233O. дои : 10.1016/0022-4073(77)90161-3. ISSN  0022-4073.
12. Джон Ф. Килкопф (1973), «Новое приближение функции Фойгта с применением к анализу профиля спектральных линий», Журнал Оптического общества Америки , 63 (8): 987, Бибкод : 1973JOSA...63.. 987К, номер документа :10.1364/JOSA.63.000987

Внешние ссылки

• http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf, числовая библиотека C для сложных функций ошибок, предоставляет функцию voigt(x, sigma, gamma) с точностью примерно 13–14 цифр.
• Оригинальная статья: Voigt, Woldemar, 1912, «Das Gesetz der Intensitätsverteilung Internalhalb der Linien eines Gasspektrums», Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (см. также: http://publikationen.badw.de/de). /003395768)