Формула Койде

Необъяснимое эмпирическое уравнение в физике элементарных частиц

Формула Койде — это необъяснимое эмпирическое уравнение, открытое Ёсио Койде в 1981 году. В своей первоначальной форме оно не является полностью эмпирическим, а представляет собой набор предположений для модели масс кварков и лептонов, а также углов CKM. Из этой модели сохранились наблюдения о массах трех заряженных лептонов ; более поздние авторы распространили это отношение на нейтрино , кварки и другие семейства частиц . ^{[1] : 64–66}

Формула

Формула Койде

${\displaystyle Q={\frac {~m_{e}+m_{\mu }+m_{\tau }~}{\left(\ {\sqrt {\ m_{e}\ }}+{\sqrt {\ m_{\mu }\ }}+{\sqrt {\ m_{\tau }\ }}\ \right)^{2}}}=0.666661(7)\approx {\frac {\ 2\ }{3}}\ ,}$

где массы электрона , мюона и тау измеряются соответственно как m _e = 0,510 998 946 ( 3)  МэВ/ c ² , м _μ = 105,658 3745 (24) МэВ/ c ² , и m _τ = 1 776,86 (12) МэВ/ c ²  ; цифры в скобках представляют собой неопределенности в последних цифрах. ^[2] Это дает Q = 0,666 661 (7) . ^[а]

Независимо от того, какие массы будут выбраны вместо электрона, мюона и тау,  1 /3≤ Q < 1 . Верхняя оценка следует из того, что квадратные корни обязательно положительны, а нижняя оценка следует из неравенства Коши–Буняковского–Шварца . Экспериментально определенное значение,  2 /3, лежит в центре математически разрешенного диапазона. Но обратите внимание, что, убрав требование положительных корней, можно поместить дополнительный кортеж в сектор кварков (тот, который имеет странность, очарование и дно).

Тайна в физической ценности. Результат необычен не только тем, что три якобы произвольных числа дают простую дробь, но и тем, что в случае электрона, мюона и тау Q находится ровно посередине между двумя крайностями всех возможных комбинаций: 1 /3 (если три массы равны) и 1 (если доминирует одна масса). Важно отметить, что это соотношение сохраняется независимо от того, какая единица используется для выражения массы.

Роберт Фут также интерпретировал формулу Койде как геометрическое соотношение, в котором значением является квадрат косинуса угла между вектором и вектором (см. скалярное произведение ). ^[3] Этот угол составляет почти ровно 45 градусов: ^[3] ${\displaystyle \ {\frac {1}{\ 3\ Q\ }}\ }$ ${\displaystyle \ [\ {\sqrt {\ m_{e}\ }},{\sqrt {\ m_{\mu }\ }},{\sqrt {\ m_{\tau }\ }}\ ]\ }$ ${\displaystyle \ [\ 1,1,1\ ]\ }$ ${\displaystyle \ \theta =45.000^{\circ }\pm 0.001^{\circ }~.}$

Если предполагается, что формула выполняется точно ( Q = 2 /3 ), его можно использовать для предсказания массы тау на основе (более точно известных) масс электрона и мюона; этот прогноз m _τ = 1 776 ,969 МэВ/ c ² . ^[4]

Хотя исходная формула возникла в контексте преонных моделей, были найдены и другие способы ее вывода (как Сумино, так и Койде - см. ссылки ниже). Однако в целом понимание остается неполным. Подобные совпадения были найдены для тройек кварков в зависимости от бегущих масс. ^{[5] [6] [7]} При чередовании кварков и объединении уравнений Койде для последовательных троек можно получить результат 173,263947(6) ГэВ для массы топ- кварка . ^[8]

Спекулятивное расширение

Карл Браннен предположил ^[4], что массы лептонов задаются квадратами собственных значений циркулянтной матрицы с действительными собственными значениями, что соответствует соотношению

${\displaystyle {\sqrt {\,m_{n}\;}}=\mu \left[\,1+2\eta \cos \left(\delta +{\frac {\,2\pi \,}{3}}\cdot n\right)\,\right]~,~}$для n = 0, 1, 2, ...

что можно аппроксимировать экспериментальными данными с η ² = 0,500003(23) (что соответствует соотношению Койде) и фазой δ = 0,2222220(19), что почти точно2/9 . Однако экспериментальные данные противоречат одновременному равенству η ² =1/2и δ =2/9 . ^[4]

Соотношение такого рода было также предложено для семейств кварков с фазами, равными значениям низкой энергии.2/27"="2/9×1/3и4/27"="2/9×2/3, намекая на связь с зарядом семейства частиц (1/3и2/3для кварков против.3/3= 1 для лептонов, где  1/3×2/3×3/3≈ δ  ) . ^[9]

Происхождение

Оригинальный вывод ^[10] постулирует с условиями ${\displaystyle \ m_{e_{i}}\propto \ (z_{0}+z_{i})^{2}\ }$

${\displaystyle \ z_{1}+z_{2}+z_{3}=0\ }$

${\displaystyle \ {\tfrac {\ 1\ }{3}}\ (z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2})=z_{0}^{2}\ }$

откуда следует формула. Кроме того, массы нейтрино и нижних кварков постулировались пропорциональными, а массы верхних кварков постулировались как ${\displaystyle \ z_{i}^{2}\ }$ ${\displaystyle \ \propto \ (z_{0}+2z_{i})^{2}~.}$

Опубликованная модель ^[11] обосновывает первое условие как часть схемы нарушения симметрии, а второе как «ароматический заряд» для преонов во взаимодействии, вызывающем это нарушение симметрии.

Обратите внимание, что в матричной форме с и уравнения имеют простой вид : ${\displaystyle ~~M=A\ A^{\dagger }~~}$ ${\displaystyle ~~A=Z_{0}+Z~~}$ ${\displaystyle ~~\operatorname {tr} Z=0~~}$ ${\displaystyle ~~\operatorname {tr} Z_{0}^{2}=\operatorname {tr} Z^{2}~.}$

Подобные формулы

Существуют аналогичные формулы, связывающие другие массы. Массы кварков зависят от энергетической шкалы , используемой для их измерения, что усложняет анализ. ^[12]

Взяв три самых тяжелых кварка, очарование (1,275 ± 0,03 ГэВ) , нижний (4,180 ± 0,04 ГэВ) и верхний (173,0 ± 0,40 ГэВ) , независимо от их неопределенностей, можно прийти к значению, приведенному Ф. Г. Цао (2012): ^{[13] ]}

${\displaystyle Q_{\text{heavy}}={\frac {m_{c}+m_{b}+m_{t}}{{\big (}{\sqrt {m_{c}}}+{\sqrt {m_{b}}}+{\sqrt {m_{t}}}{\big )}^{2}}}\approx 0.669\approx {\frac {2}{3}}.}$

Это было замечено Родеджоханом и Чжаном в первой версии их статьи 2011 года ^[14] , но в опубликованной версии это наблюдение было удалено ^[5] , поэтому первое опубликованное упоминание появилось в 2012 году от Цао. ^[13]

Аналогично, массы легчайших кварков, вверх (2,2 ± 0,4 МэВ) , вниз (4,7 ± 0,3 МэВ) и странных (95,0 ± 4,0 МэВ) , без использования их экспериментальных неопределенностей, дают

${\displaystyle Q_{\text{light}}={\frac {m_{u}+m_{d}+m_{s}}{{\big (}{\sqrt {m_{u}}}+{\sqrt {m_{d}}}+{\sqrt {m_{s}}}{\big )}^{2}}}\approx 0.57\approx {\frac {5}{9}},}$

значение, также упомянутое Цао в той же статье. ^[13]

Обратите внимание, что в более старой статье Х. Харари и др. ^[15] вычислены теоретические значения для верхних, нижних и странных кварков, что по совпадению соответствует более поздней формуле Койде, хотя и с безмассовым верхним кварком.

${\displaystyle Q_{\text{light}}={\frac {0+m_{d}+m_{s}}{{\big (}{\sqrt {0}}+{\sqrt {m_{d}}}+{\sqrt {m_{s}}}{\big )}^{2}}}}$

Бегство масс частиц

В квантовой теории поля такие величины, как константа связи и масса, «движутся» по шкале энергии. ^[16] То есть их значение зависит от энергетического масштаба, в котором происходит наблюдение, способом, описываемым уравнением ренормализационной группы (RGE). ^[17] Обычно ожидается, что соотношения между такими величинами будут простыми при высоких энергиях (где некоторая симметрия не нарушена ), но не при низких энергиях, где поток РГ будет вызывать сложные отклонения от соотношения высоких энергий. Соотношение Койде является точным (в пределах экспериментальной ошибки) для полюсных масс , которые представляют собой низкоэнергетические величины, определенные в разных энергетических масштабах. По этой причине многие физики рассматривают это отношение как «нумерологию» . ^[18]

Однако японский физик Юкинари Сумино предложил механизмы, объясняющие происхождение спектра заряженных лептонов, а также формулу Койде, например, путем построения эффективной теории поля с новой калибровочной симметрией , которая заставляет полюсные массы точно удовлетворять этому соотношению. ^[19] Койде опубликовал свое мнение относительно модели Сумино. ^{[20] [21]} В докторской диссертации Франсуа Гоффине обсуждаются полюсные массы и то, как можно переформулировать формулу Койде, чтобы избежать использования квадратных корней для масс. ^[22]

Как решения кубического уравнения

Кубическое уравнение обычно возникает при нарушении симметрии при решении задачи вакуума Хиггса и является естественным объектом при рассмотрении трех поколений частиц. Это включает в себя поиск собственных значений матрицы масс 3 × 3.

В этом примере рассмотрим характеристический многочлен

${\displaystyle \ 4\ m^{3}-24\ n^{2}\ m^{2}+9\ n\ (n^{3}-4)\ m-9\ }$^{[ нужна цитата ]}

корни которого должны быть реальными и позитивными. ${\displaystyle \ m_{j}\ :\ j=1,2,3\ ,}$

Чтобы вывести соотношение Коиде, пусть и полученный полином можно разложить на ${\displaystyle \ m\equiv x^{2}\ }$

${\displaystyle \ (\ 2\ x^{3}-6\ n\ x^{2}+3\ n^{2}x-3\ )(\ 2\ x^{3}+6\ n\ x^{2}+3\ n^{2}\ x+3\ )\ }$

или

${\displaystyle \ 4\ (\ x^{3}-3\ n\ x^{2}+{\tfrac {3}{\ 2\ }}\ n^{2}x-{\tfrac {3}{\ 2\ }}\ )(\ x^{3}+3\ n\ x^{2}+{\tfrac {3}{\ 2\ }}\ n^{2}\ x+{\tfrac {3}{\ 2\ }}\ )\ }$

Элементарные симметричные многочлены корней должны воспроизводить соответствующие коэффициенты полинома, который они решают, поэтому и Взяв отношение этих симметричных многочленов, но возведя первый в квадрат, чтобы разделить неизвестный параметр, мы получаем формулу типа Койде: Независимо от значение решения кубического уравнения для должно удовлетворять ${\displaystyle ~~x_{1}+x_{2}+x_{3}=\pm 3\ n~~}$ ${\displaystyle ~~x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=+{\tfrac {3}{\ 2\ }}\ n^{2}~.}$ ${\displaystyle \ n\ ,}$ ${\displaystyle \ n\ ,}$ ${\displaystyle \ x\ }$

${\displaystyle \ {\frac {\ 2\ (x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1})\ }{~(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}\ }}={\frac {\ (3\ n^{2})\ }{~(\pm 3\ n)^{2}\ }}={\frac {\ 1\ }{3}}\ }$

так

${\displaystyle \ 1-{\frac {\ 2\ x_{1}x_{2}+2\ x_{2}x_{3}+2\ x_{3}x_{1}\ }{~(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}\ }}=1-{\frac {\ 1\ }{3}}={\frac {\ 2\ }{3}}\ ~.}$

и

${\displaystyle \ 1-{\frac {\ 2\ x_{1}x_{2}+2\ x_{2}x_{3}+2\ x_{3}x_{1}\ }{~(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}\ }}={\frac {\ (x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}-2\ x_{1}x_{2}-2\ x_{2}x_{3}-2\ x_{3}x_{1}\ }{~(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}\ }}={\frac {\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\ }{~(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}\ }}~.}$

Преобразование обратно в ${\displaystyle \ {\sqrt {\ m\ }}=x\ }$

${\displaystyle {\frac {\ m_{1}+m_{2}+m_{3}\ }{\ \left(\ {\sqrt {\ m_{1}\ }}+{\sqrt {\ m_{2}\ }}+{\sqrt {\ m_{3}\ }}\ \right)^{2}\ }}={\frac {\ 2\ }{3}}\ ~.}$

Для релятивистского случая в диссертации Гоффине представлен аналогичный метод построения полинома только с четными степенями. ${\displaystyle \ m~.}$

Механизм Хиггса

Коиде предположил, что объяснением формулы может быть частица Хиггса с ароматическим зарядом , определяемым следующим образом: ${\displaystyle U(3)}$ ${\displaystyle \Phi ^{a{\overline {b}}}}$

${\displaystyle \ V(\Phi )=\left[\ 2\ \left[tr(\Phi )\right]^{2}-3\ tr(\Phi ^{2})\ \right]^{2}\ }$

с массовыми членами заряженных лептонов, заданными формулой ^[23]. Такой потенциал минимизируется, когда массы соответствуют формуле Койде. Минимизация не дает масштаба масс, который должен был бы быть задан дополнительными членами потенциала, поэтому формула Койде может указывать на существование дополнительных скалярных частиц помимо бозона Хиггса Стандартной модели . ${\displaystyle \ {\overline {\psi }}\ \Phi ^{2}\ \psi ~.}$

Сноски

1. Поскольку неопределенности в m _e и m _μ намного меньше, чем в m _τ , неопределенность в Q рассчитывалась как ${\displaystyle \ \Delta Q={\frac {\ \partial \ Q~}{\;\partial \ m_{\tau }\ }}\ \Delta m_{\tau }~.}$

Смотрите также

• Аномальный магнитный дипольный момент
• Матрица СКМ
• Алгебра Клиффорда
• Поколение
• Механизм Хиггса
• Альтернативы стандартной модели Хиггса
• Матрица ПМНС
• Кварк-лептонная дополнительность
• Качающийся механизм
• Техниколор

Рекомендации

1. Зенчиковски, П., Элементарные частицы и возникающее фазовое пространство ( Сингапур : World Scientific , 2014), стр. 64–66.
2. Амслер, К.; и другие. ( Группа данных о частицах ) (2008). «Обзор физики элементарных частиц» (PDF) . Буквы по физике Б. 667 (1–5): 1–6. Бибкод : 2008PhLB..667....1A. doi :10.1016/j.physletb.2008.07.018. hdl : 1854/LU-685594 . PMID  10020536. S2CID  227119789.
3. Фут, Р. (7 февраля 1994 г.). «Заметка о массовом отношении лептона Койде». arXiv : hep-ph/9402242 .
4. Браннен, Карл А. (2 мая 2006 г.). «Лептонные массы» (PDF) . Персональный сайт Браннена . Проверено 18 октября 2020 г.
5. Родеоханн, В.; Чжан, Х. (2011). «Распространение эмпирического отношения массы заряженного лептона на сектор нейтрино». Буквы по физике Б. 698 (2): 152–156. arXiv : 1101.5525 . Бибкод : 2011PhLB..698..152R. doi :10.1016/j.physletb.2011.03.007. S2CID  59445811.
6. Розен, Г. (2007). «Эвристическое развитие модели Дирака-Гольдхабера для структуры лептона и кварка». Буквы по современной физике А. 22 (4): 283–288. Бибкод : 2007МПЛА...22..283Р. дои : 10.1142/S0217732307022621.
7. Картавцев, А. (2011). «Замечание о соотношении Койде для кварков». arXiv : 1111.0480 [геп-ф].
8. Риверо, А. (2011). «Новый кортеж Койде: Странное-очарование-дно». arXiv : 1111.7232 [геп-ф].
9. Зенчиковский, Петр (26 декабря 2012 г.). «Замечание о Z3-симметричной параметризации масс кварков Койде». Физический обзор D . 86 (11): 117303. arXiv : 1210.4125 . Бибкод : 2012PhRvD..86k7303Z. doi : 10.1103/PhysRevD.86.117303. ISSN  1550-7998. S2CID  119189170.
10. Койде, Ю. (1981), Массы кварков и лептонов, вычисленные на основе субкварковой модели.
11. Койде, Ю. (1983). «Композитная модель кварков и лептонов фермион-бозонов». Буквы по физике Б. 120 (1–3): 161–165. Бибкод : 1983PhLB..120..161K. дои : 10.1016/0370-2693(83)90644-5.
12. Квадт, А., Физика топ-кварков на адронных коллайдерах ( Берлин / Гейдельберг : Springer , 2006), стр. 147.
13. Цао, ФГ (2012). «Массы нейтрино из соотношений масс лептонов и кварков и нейтринных осцилляций». Физический обзор D . 85 (11): 113003. arXiv : 1205.4068 . Бибкод : 2012PhRvD..85k3003C. doi : 10.1103/PhysRevD.85.113003. S2CID  118565032.
14. Родеджоханн, В.; Чжан, Х. (2011). «Распространение эмпирического отношения массы заряженного лептона на сектор нейтрино». arXiv : 1101.5525 [геп-ф].
15. Харари, Хаим; О, Эрве; Вейерс, Жак (1978). «Массы кварков и углы Кабиббо]» (PDF) . Буквы по физике Б. 78 (4): 459–461. Бибкод : 1978PhLB...78..459H. дои : 10.1016/0370-2693(78)90485-9.
16. Альварес-Гоме, Л .; Васкес-Мозо, Массачусетс (2012). Приглашение к квантовой теории поля . Берлин, Германия / Гейдельберг, Германия: Springer. стр. 151–152.
17. Грин, Д. (2016). Космология с MATLAB . Сингапур : World Scientific . п. 197.
18. Мотл, Л. (16 января 2012 г.). «Может ли формула Койде быть реальной?». blogspot.com (блог). Эталонный кадр . Архивировано из оригинала 2 августа 2021 года . Проверено 21 декабря 2023 г.
19. Сумино, Ю. (2009). «Семейная калибровочная симметрия как происхождение массовой формулы Койде и спектра заряженных лептонов». Журнал физики высоких энергий . 2009 (5): 75. arXiv : 0812.2103 . Бибкод : 2009JHEP...05..075S. дои : 10.1088/1126-6708/2009/05/075. S2CID  14238049.
20. Койде, Ёсио (2017). «Модель Сумино и мой личный взгляд». arXiv : 1701.01921 [геп-ф].
21. Койде, Ёсио (2018). «Какую физику говорит нам соотношение масс заряженных лептонов?». arXiv : 1809.00425 [геп-ф].
22. Гоффине, Ф. (2008). Восходящий подход к массам фермионов (PDF) (кандидатская диссертация). Лувен, Франция: Католический университет Лувена .
23. Койде, Ёсио (1990). «Правило суммы масс заряженных лептонов из потенциальной модели Хиггса семейства U (3)». Буквы по современной физике А. 5 : 2319–2324. дои : 10.1142/S0217732390002663.

дальнейшее чтение

• Койде, Ю. (1983). «Новый взгляд на иерархию масс кварков и лептонов». Физический обзор D . 28 (1): 252–254. Бибкод : 1983PhRvD..28..252K. doi : 10.1103/PhysRevD.28.252.

• Койде, Ю. (1984). «Ошибка: новый взгляд на иерархию масс кварков и лептонов». Физический обзор D . 29 (7): 1544. Бибкод : 1984PhRvD..29Q1544K. дои : 10.1103/PhysRevD.29.1544 .

• Онеда, С.; Койде, Ю. (1991). Асимптотическая симметрия и ее последствия в физике элементарных частиц. Всемирная научная . ISBN 978-981-02-0498-3.
• Койде, Ю. (2000). «Массовые матрицы кварков и лептонов с формой, инвариантной к циклическим перестановкам» (PDF) . Физика . arXiv : hep-ph/0005137 . Бибкод : 2000hep.ph....5137K.
• Койде, Ю. (2005). «Вызов тайне заряженной лептонной массы». arXiv : hep-ph/0506247 .
• Ли, Н.; Ма, Б.-К. (2006). «Независимость от энергетического масштаба для масс кварков и лептонов». Физический обзор D . 73 (1): 013009. arXiv : hep-ph/0601031 . Бибкод : 2006PhRvD..73a3009L. doi : 10.1103/PhysRevD.73.013009. S2CID  2624370.
• Браннен, К. (2010). «Интегралы и поколения спинового пути» (PDF) . Основы физики . 40 (11): 1681–1699. arXiv : 1006.3114 . Бибкод : 2010FoPh...40.1681B. CiteSeerX  10.1.1.749.3756 . doi : 10.1007/s10701-010-9465-8. S2CID  11007648.(См. ссылки в статье на разделы «Лептонные массы» и «Последние результаты эксперимента MINOS».)

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с формулой Койде, на Викискладе?
• Вольфрам Альфа, ссылка позволяет найти предсказанную массу тау по формуле Койде.