Закон затухания звука Стокса

Формула потери интенсивности звука в ньютоновской жидкости

В акустике закон затухания звука Стокса представляет собой формулу затухания звука в ньютоновской жидкости , такой как вода или воздух, из-за вязкости жидкости . Он утверждает, что амплитуда плоской волны уменьшается экспоненциально с пройденным расстоянием со скоростью α , определяемой выражением

$${\displaystyle \alpha ={\frac {2\eta \omega ^{2}}{3\rho V^{3}}}}$$

ηкоэффициент динамической вязкостиω — угловая частотаρ — плотностьVскорость звука^[1]

Закон и его вывод были опубликованы в 1845 году англо-ирландским физиком Г. Г. Стоксом , который также разработал закон Стокса для силы трения в движении жидкости . Обобщение стоксова затухания с учетом эффекта теплопроводности было предложено немецким физиком Густавом Кирхгофом в 1868 году. ^{[2] [3]}

Затухание звука в жидкостях также сопровождается акустической дисперсией , а это означает, что разные частоты распространяются с разными скоростями звука. ^[1]

Интерпретация

Закон затухания звука Стокса применим к распространению звука в изотропной и однородной ньютоновской среде. Рассмотрим плоскую синусоидальную волну давления , имеющую в некоторой точке амплитуду A ₀ . После прохождения расстояния d от этой точки его амплитуда A ( d ) будет равна

$${\displaystyle A(d)=A_{0}e^{-\alpha d}}$$

Параметр α — это своего рода константа затухания , размерно обратная длине . В Международной системе единиц (СИ) он выражается в неперах на метр или просто в величинах, обратных метру (м ^–1 ). То есть, если α  = 1 м ^–1 , амплитуда волны уменьшается в 1/ e раз на каждый пройденный метр.

Важность объемной вязкости

В закон внесены поправки, включающие вклад объемной вязкости ζ :

$${\displaystyle \alpha ={\frac {\left(2\eta +{\frac {3}{2}}\zeta \right)\omega ^{2}}{3\rho V^{3}}}={\frac {\left({\frac {4}{3}}\eta +\zeta \right)\omega ^{2}}{2\rho V^{3}}}}$$

Коэффициент объемной вязкости важен, когда нельзя игнорировать сжимаемость^{[4] [5] [6] [7]}Cсантипуаз^[8]

Модификация для очень высоких частот.

График приведенного волнового вектора и коэффициента затухания как функции приведенной частоты ωτ . (В метках ω _c = 1/ τ )

  Приведенный волновой вектор kcτ .

  Асимптотический режим на низких и высоких частотах.

  Коэффициент затухания, αcτ .

  Асимптотический режим на низких и высоких частотах (закон Стокса — крайняя левая линия).

Закон Стокса на самом деле является асимптотическим приближением для низких частот более общей формулы, включающей время релаксации τ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}2\left({\frac {\alpha V}{\omega }}\right)^{2}&={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega \tau \right)^{2}}}}-{\frac {1}{1+\left(\omega \tau \right)^{2}}}\\\alpha &={\frac {\omega }{V}}{\sqrt {\frac {{\sqrt {1+\left(\omega \tau \right)^{2}}}-1}{2\left(1+\left(\omega \tau \right)^{2}\right)}}}\\\tau &={\frac {{\frac {4\eta }{3}}+\zeta }{\rho V^{2}}}={\frac {4\eta +3\zeta }{3\rho V^{2}}}\\\alpha &=\omega {\sqrt {\frac {3}{2}}}\left({\frac {\rho \left({\sqrt {\left(\omega \left(4\eta +3\zeta \right)\right)^{2}+\left(3\rho V^{2}\right)^{2}}}-3\rho V^{2}\right)}{\left(\omega \left(4\eta +3\zeta \right)\right)^{2}+\left(3\rho V^{2}\right)^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}}$$

×секунд^{пикосекунды}радиан ^{[ нужна ссылка} ] ^,угловой частоте ω5 × 10 ¹¹ радиансекундучастота×¹² герцтерагерца

Смотрите также

• Акустическое затухание

Рекомендации

1. Стоукс, Г. Г. «О теориях внутреннего трения в движущихся жидкостях, а также о равновесии и движении упругих твердых тел», Труды Кембриджского философского общества , том 8, 22, стр. 287-342 (1845).
2. Г. Кирхгоф, "Ueber den Einfluss der Wärmeleitung in einem Gase auf die Schallbewegung", Ann. Физ. , 210: 177–193 (1868). Ссылка на бумагу
3. С. Бенджеллун и Дж. М. Гидаглиа, «О дисперсионном уравнении для сжимаемых уравнений Навье-Стокса», Ссылка на электронную распечатку архива. Ссылка на электронную распечатку Хэла.
4. Хаппель, Дж. и Бреннер, Х. «Гидродинамика с низким числом Рейнольдса», Прентис-Холл , (1965)
5. Ландау, Л.Д. и Лифшиц, Э.М. «Механика жидкости», Pergamon Press , (1959)
6. Морс, П.М. и Ингард, КУ «Теоретическая акустика», Princeton University Press (1986)
7. Духин А.С. и Гетц П.Дж. «Характеристика жидкостей, нано- и микрочастиц и пористых тел с помощью ультразвука», издание 3, Elsevier , (2017).
8. Литовиц, Т.А. и Дэвис, К.М. В «Физической акустике», под ред. В.П.Масон, том. 2, глава 5, Academic Press , Нью-Йорк (1964).