Функция Ханна

Математическая функция, используемая при обработке сигналов.

Функция Ханна (слева) и ее частотная характеристика (справа)

Функция Ханна названа в честь австрийского метеоролога Юлиуса фон Ханна . Это оконная функция, используемая для сглаживания Ханна . ^[1] Функция с длиной и амплитудой задается как : ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 1/L,}$

${\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\cos \left({\frac {2\pi x}{L}}\right)\right)={\tfrac {1}{L}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi x}{L}}\right),\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}.}$   ^[а]

Для цифровой обработки сигнала функция дискретизируется симметрично (с интервалом и амплитудой ) : ${\displaystyle L/N}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(n-N/2)\right)&={\tfrac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right)\right]\\&=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi n}{N}}\right)\end{aligned}}\right\},\quad 0\leq n\leq N,}$

которое представляет собой последовательность выборок и может быть четным или нечетным. (см. § Окна Ханна и Хэмминга ). Оно также известно как окно приподнятого косинуса , фильтр Ханна , окно фон Ханна и т. д. ^{[2] [3]} ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle N}$

преобразование Фурье

Вверху: 16-выборочное ДПФ-четное окно Ханна. Внизу: его дискретное по времени преобразование Фурье (ДПФ) и 3 ненулевых значения его дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

Преобразование Фурье определяется по формуле : ${\displaystyle w_{0}(x)}$

${\displaystyle W_{0}(f)={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi Lf(1-L^{2}f^{2})}}}$   ^[б]

Вывод

Используя формулу Эйлера для раскрытия косинусного члена, мы можем записать : ${\displaystyle w_{0}(x),}$

${\displaystyle w_{0}(x)={\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}\operatorname {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{i2\pi x/L}\operatorname {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{-i2\pi x/L}\operatorname {rect} (x/L)\right),}$

который представляет собой линейную комбинацию модулированных прямоугольных окон :

${\displaystyle {\tfrac {1}{L}}\operatorname {rect} (x/L)\quad {\stackrel {\text{Fourier transform}}{\longleftrightarrow }}\quad \operatorname {sinc} (Lf)\triangleq {\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi Lf}}.}$

Преобразуем каждый термин :

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(f)&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {sinc} (Lf)+{\tfrac {1}{4}}\operatorname {sinc} (L(f-1/L))+{\tfrac {1}{4}}\operatorname {sinc} (L(f+1/L))\\&={\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi Lf}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (Lf-1))}{\pi (Lf-1)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (Lf+1))}{\pi (Lf+1)}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf-1}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf+1}}\right)\\&={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi }}\left({\frac {1}{Lf}}+{\tfrac {1}{2}}{\frac {1}{1-Lf}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {1}{1+Lf}}\right)\\&={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi }}\cdot {\frac {1}{Lf(1-Lf)(1+Lf)}}={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}.\end{aligned}}}$

Дискретные преобразования

Дискретное преобразование Фурье (ДВПФ) длины сдвинутой во времени последовательности определяется рядом Фурье, который также имеет 3-членный эквивалент, который выводится аналогично выводу преобразования Фурье : ${\displaystyle N+1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{w[n]\}&\triangleq \sum _{n=0}^{N}w[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\\&=e^{-i\pi fN}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi (N+1)f)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].\end{aligned}}}$

Усеченная последовательность представляет собой DFT-четное (или периодическое ) окно Ханна. Поскольку усеченная выборка имеет нулевое значение, из определения ряда Фурье ясно, что DTFT эквивалентны. Однако подход, примененный выше, приводит к существенно отличающемуся на вид, но эквивалентному 3-членному выражению : ${\displaystyle \{w[n],\ 0\leq n\leq N-1\}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{w[n]\}=e^{-i\pi f(N-1)}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Nf)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}e^{i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].}$

ДПФ длиной N оконной функции производит выборку ДПФ на частотах для целых значений Из выражения, приведенного выше, легко увидеть, что только 3 из N коэффициентов ДПФ не равны нулю. А из другого выражения очевидно, что все они имеют вещественные значения. Эти свойства привлекательны для приложений реального времени, которым требуются как оконные, так и не оконные (прямоугольно оконные) преобразования, поскольку оконные преобразования могут быть эффективно получены из не оконных преобразований путем свертки . ^{[4] [c] [d]} ${\displaystyle f=k/N,}$ ${\displaystyle k.}$

Имя

Функция названа в честь фон Ганна, который использовал метод сглаживания метеорологических данных с использованием трехчленного взвешенного среднего. ^{[5] [2]} Однако также традиционно используется термин «функция Ганнинга» , ^[6] полученный из статьи, в которой термин «ханнинг» использовался для обозначения применения к сигналу окна Ганна. ^{[7] [8]} Путаница возникла из-за похожей функции Хэмминга , названной в честь Ричарда Хэмминга .

Смотрите также

• Функция окна
• Аподизация
• Распределение приподнятого косинуса
• Фильтр с косинусоидальным сглаживанием

Ссылки на страницы

1. Наттолл 1981, стр. 84 (3)
2. Наттолл 1981, стр. 86 (17)
3. Наттолл 1981, стр. 85
4. Харрис 1978, стр. 62

Ссылки

1. Эссенвангер, ОМ (Оскар М.) (1986). Элементы статистического анализа . Elsevier. ISBN 0444424261. OCLC  152410575.
2. Kahlig, Peter (1993), «Некоторые аспекты вклада Юлиуса фон Ганна в современную климатологию», в McBean, GA; Hantel, M. (ред.), Interactions Between Global Climate Subsystems: The Legacy of Hann , Geophysical Monograph Series, т. 75, Американский геофизический союз, стр. 1–7, doi : 10.1029/gm075p0001, ISBN 9780875904665, получено 01.07.2019 , Ханн, по-видимому, является изобретателем определенной процедуры сглаживания данных, которая теперь называется «ханнинг»… или «сглаживание Ханна»... По сути, это трехчленная скользящая средняя (скользящее среднее) с неравными весами (1/4, 1/2, 1/4).
3. Смит, Джулиус О. (Джулиус Орион) (2011). Спектральная обработка аудиосигнала. Стэнфордский университет. Центр компьютерных исследований в области музыки и акустики., Стэнфордский университет. Кафедра музыки. [Стэнфорд, Калифорния?]: W3K. ISBN 9780974560731. OCLC  776892709.
4. Патент США 6898235, Карлин, Джо; Коллинз, Терри и Хейс, Питер и др., «Устройство перехвата и пеленгации широкополосной связи с использованием гиперканализации», опубликовано 10 декабря 1999 г., выдано 24 мая 2005 г. , также доступно по адресу https://patentimages.storage.googleapis.com/4d/39/2a/cec2ae6f33c1e7/US6898235.pdf 
5. von Hann, Julius (1903). Handbook of Climatology. Macmillan. стр. 199. Цифры под b определяются с учетом параллелей, отстоящих на 5° с каждой стороны. Так, например, для широты 60° мы имеем ½[60 + (65 + 55)÷2].
6. Harris, Fredric J. (январь 1978). "On the use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform" (PDF) . Proceedings of the IEEE . 66 (1): 51–83. CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . doi :10.1109/PROC.1978.10837. Правильное название этого окна — «Hann». Термин «Hanning» используется в этом отчете для отражения общепринятого использования. Производный термин «Hann'd» также широко используется. 
7. Блэкман, Р. Б .; Тьюки, Дж. В. (1958). «Измерение спектров мощности с точки зрения техники связи — Часть I». The Bell System Technical Journal . 37 (1): 273. doi :10.1002/j.1538-7305.1958.tb03874.x. ISSN  0005-8580.
8. Блэкман, Р. Б. (Ральф Биби) ; Тьюки, Джон У. (Джон Уайлдер) (1959). Измерение спектров мощности с точки зрения техники связи. Нью-Йорк: Dover Publications. С. 98. LCCN  59-10185.

9. Наттолл, Альберт Х. (февраль 1981 г.). «Некоторые окна с очень хорошим поведением боковых лепестков». Труды IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 29 (1): 84–91. doi :10.1109/TASSP.1981.1163506.

Внешние ссылки

• Функция Ханна в MathWorld