Номер Салема

Тип алгебраического целого числа

График корней полинома Лемера с соответствующим числом Сейлема рядом, выделенным золотым цветом. ${\displaystyle x=1.17628}$

В математике число Салема — это действительное алгебраическое целое число , все сопряженные корни которого имеют абсолютное значение не больше 1, и по крайней мере один из которых имеет абсолютное значение точно 1. Числа Салема представляют интерес в диофантовых приближениях и гармоническом анализе . Они названы в честь Рафаэля Салема . ${\displaystyle \alpha >1}$

Характеристики

Поскольку он имеет корень с абсолютным значением 1, минимальный многочлен для числа Салема должен быть обратным многочленом . Это подразумевает, что также является корнем, и что все остальные корни имеют абсолютную величину ровно один. Как следствие, α должен быть единицей в кольце целых алгебраических чисел, имея норму 1. ${\displaystyle 1/\alpha }$

Каждое число Салема является числом Перрона (действительное алгебраическое число, большее единицы, все сопряженные числа которого имеют меньшее абсолютное значение).

Связь с числами Писо – Виджаярагавана

Наименьшее известное число Сейлема — это наибольший действительный корень многочлена Лемера (названного в честь Деррика Генри Лемера ).

${\displaystyle P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1,}$

что составляет около : предполагается , что это действительно наименьшее число Салема и наименьшая возможная мера Малера неприводимого нециклотомического многочлена. ^[1] ${\displaystyle x=1.17628}$

Многочлен Лемера является множителем более короткого многочлена степени -12,

${\displaystyle Q(x)=x^{12}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+1,}$

все двенадцать корней которого удовлетворяют соотношению ^[2]

${\displaystyle x^{630}-1={\frac {(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^{2}(x^{90}-1)(x^{3}-1)^{3}(x^{2}-1)^{5}(x-1)^{3}}{(x^{35}-1)(x^{15}-1)^{2}(x^{14}-1)^{2}(x^{5}-1)^{6}\,x^{68}}}}$

Числа Салема могут быть построены из чисел Пизо–Виджаярагхавана . Напомним, что наименьшее из последних — это единственный действительный корень кубического многочлена ,

${\displaystyle x^{3}-x-1,}$

известное как пластическое отношение и приблизительно равное 1,324718. Это может быть использовано для генерации семейства чисел Салема, включая наименьшее из найденных на данный момент. Общий подход заключается в том, чтобы взять минимальный многочлен числа Писота–Виджаярагхавана и его обратный многочлен , и решить уравнение, ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P^{*}(x)}$

${\displaystyle x^{n}P(x)=\pm P^{*}(x)}$

для целого числа выше границы. Вычитание одной стороны из другой, факторизация и игнорирование тривиальных множителей дадут минимальный многочлен некоторых чисел Салема. Например, используя отрицательный случай выше, ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x^{n}(x^{3}-x-1)=-(x^{3}+x^{2}-1)}$

тогда для , это факторы как, ${\displaystyle n=8}$

${\displaystyle (x-1)(x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1)=0}$

где децик — это полином Лемера. Использование выше даст семейство с корнем, приближающимся к пластическому отношению. Это можно лучше понять, взяв корни обеих сторон, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x(x^{3}-x-1)^{1/n}=\pm (x^{3}+x^{2}-1)^{1/n}}$

так как идет выше, будет приближаться к решению . Если используется положительный случай, то приближается к пластическому отношению с противоположного направления. Использование минимального полинома следующего наименьшего числа Пизо–Виджаярагхавана дает ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{n}(x^{4}-x^{3}-1)=-(x^{4}+x-1),}$

который для факторов как ${\displaystyle n=7}$

${\displaystyle (x-1)(x^{10}-x^{6}-x^{5}-x^{4}+1)=0,}$

децик, не сгенерированный в предыдущем и имеющий корень , который является 5-м наименьшим известным числом Салема. Как , это семейство в свою очередь стремится к большему действительному корню . ${\displaystyle x=1.216391\ldots }$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle x^{4}-x^{3}-1=0}$

Ссылки

1. Борвейн (2002) стр.16
2. Д. Бейли и Д. Бродхерст, Лестница полилогарифмов семнадцатого порядка

• Борвейн, Питер (2002). Вычислительные экскурсии в анализ и теорию чисел . Книги CMS по математике. Springer-Verlag . ISBN 0-387-95444-9. Збл  1020.12001.Глава 3.
• Бойд, Дэвид (2001) [1994], «Число Салема», Энциклопедия математики , EMS Press
• MJ Mossinghoff. "Малые числа Салема" . Получено 2016-01-07 .
• Салем, Р. (1963). Алгебраические числа и анализ Фурье . Математические монографии Хита. Бостон, Массачусетс: DC Heath and Company . Zbl  0126.07802.