Шульба Сутры

Тексты, относящиеся к ритуалу Шраута

Сутры Шулва или Шульбасутры ( санскр . शुल्बसूत्र; śulba : «верёвка, шнур, верёвка») — тексты сутр, относящиеся к ритуалу Шраута и содержащие геометрию, связанную со строительством алтаря огня .

Цель и происхождение

Веди в форме сокола , найденные при раскопках Пуролы, Уттаркаши; вероятно, относятся к периоду Кунинда (150 г. до н.э. - 250 г. н.э.).

Сутры Шульба являются частью более крупного корпуса текстов, называемых Сутрами Шраута , которые считаются приложениями к Ведам . Они являются единственными источниками знаний индийской математики ведического периода . Уникальные формы Веди (огненного алтаря) были связаны с уникальными дарами от Богов. Например, «тот, кто желает небес, должен построить огненный алтарь в форме сокола»; «огненный алтарь в форме черепахи должен быть построен тем, кто желает завоевать мир Брахмана» и «те, кто желает уничтожить существующих и будущих врагов, должны построить огненный алтарь в форме ромба». ^[1]

Четыре основные сутры Шульба, которые являются математически наиболее значимыми, приписываются Баудхаяне , Манаве , Апастамбе и Катьяяне . ^[2] Их язык — поздний ведический санскрит , что указывает на составление примерно в течение 1-го тысячелетия до н. э . [2] Самой старой является сутра, приписываемая Баудхаяне, возможно, составленная около 800 г. до н. э. — 500 г. до н. э. ^{[2 ]} Пингри говорит, что Апастамба, вероятно, является следующей по древности; он помещает Катьяяну и Манаву на третье и четвертое места в хронологическом порядке на основе очевидных заимствований. ^[3] По словам Плофкера, Катьяяна была составлена ​​после «великой грамматической кодификации санскрита Панини , вероятно, в середине четвертого века до н. э.», но она помещает Манаву в тот же период, что и Баудхаяну. ^[4]

Относительно состава ведийских текстов Плофкер пишет:

Ведическое почитание санскрита как священной речи, чьи божественно явленные тексты предназначались для чтения, прослушивания и запоминания, а не для передачи в письменном виде, помогло сформировать санскритскую литературу в целом. ... Таким образом, тексты составлялись в форматах, которые можно было легко запомнить: либо сжатые прозаические афоризмы ( сутры, слово, позже примененное для обозначения правила или алгоритма в целом), либо стихи, особенно в классический период. Естественно, легкость запоминания иногда мешала легкости понимания. В результате большинство трактатов были дополнены одним или несколькими прозаическими комментариями ..." ^[5]

Существует множество комментариев к каждой из Шульба-сутр, но они были написаны намного позже оригинальных работ. Например, комментарий Сундарараджи к Апастамбе датируется концом XV века н. э. ^[6], а комментарий Двараканаты к Баудхаяне, по-видимому, заимствован из Сундарараджи. ^[7] По словам Стаала, некоторые аспекты традиции, описанные в Шульба-сутрах, могли быть «переданы устно», и он указывает на места в южной Индии, где ритуал огненного алтаря все еще практикуется и устная традиция сохраняется. ^[8] Однако традиция огненного алтаря в значительной степени вымерла в Индии, и Плофкер предупреждает, что те районы, где эта практика сохранилась, могут отражать более позднее ведическое возрождение, а не непрерывную традицию. ^[4] Археологические свидетельства алтарных конструкций, описанных в Шульба-сутрах, скудны. Большой огненный алтарь в форме сокола ( śyenaciti ), датируемый вторым веком до н. э., был найден в ходе раскопок 1957-59 гг. Г. Р. Шармой в Каушамби , ^[9] но этот алтарь не соответствует размерам, предписанным Шульба-сутрами. ^{[3] [10]}

Титульный лист трактата «Шулбасутра» индийского математика Катьяяны, написанного около II в. до н. э.

Содержание Шульба-сутр, вероятно, старше самих произведений. В Сатапатха-брахмане и Тайттирия-самхите , содержание которых датируется концом второго тысячелетия или началом первого тысячелетия до н. э., описываются алтари, размеры которых, по-видимому, основаны на прямоугольном треугольнике со сторонами 15 пад и 36 пад , одном из треугольников, перечисленных в Баудхаяна-шулба-сутре. ^{[11] [12]}

Происхождение математики в сутрах Шульба неизвестно. Возможно, как предполагает Гупта, геометрия была разработана для удовлетворения потребностей ритуала. ^[13] Некоторые ученые идут дальше: Стааль выдвигает гипотезу об общем ритуальном происхождении индийской и греческой геометрии, ссылаясь на схожий интерес и подход к удвоению и другим проблемам геометрического преобразования. ^[14] Зайденберг, за которым следует ван дер Варден, видит ритуальное происхождение математики в более широком смысле, постулируя, что основные достижения, такие как открытие теоремы Пифагора, произошли только в одном месте и распространились оттуда по всему миру. ^{[15] [16]} Ван дер Варден упоминает, что автор сутр Шульбха существовал до 600 г. до н. э. и не мог находиться под влиянием греческой геометрии. ^{[17] [18]} В то время как Бойер упоминает древневавилонскую математику (ок. 2000 г. до н. э.–1600 г. до н. э.) как возможное происхождение, ок. 1800 г. до н. э. Табличка Плимптона 322, содержащая таблицу триплетов, однако, также утверждает, что сутры Шульбы содержат формулу, не встречающуюся в вавилонских источниках. ^{[19] [1]} К. С. Кришнан утверждает, что сутры Шульбы предшествуют месопотамским триплетам Пифагора. [ ^20] Зайденберг утверждает, что либо «Старая Вавилония получила теорему Пифагора из Индии, либо Старая Вавилония и Индия получили ее из третьего источника». Зайденберг предполагает, что этот источник может быть шумерским и может предшествовать 1700 г. до н. э. ^[21] Напротив, Пингри предупреждает, что «было бы ошибкой видеть в работах [строителей алтарей] уникальное происхождение геометрии; другие в Индии и других местах, будь то в ответ на практические или теоретические проблемы, вполне могли продвинуться так далеко, не запечатлевая свои решения в памяти или в конечном итоге не переписав их в рукописи». ^[22] Плофкер также предполагает возможность того, что «существующие геометрические знания [были] сознательно включены в ритуальную практику». ^[23]

Список Шульба-сутр

1. Апастамба
2. Баудхаяна
3. Манава
4. Катьяяна
5. Майтраяния (чем-то похож на текст Манавы)
6. Вараха (в рукописи)
7. Вадхула (в рукописи)
8. Хираньякешин (похож на Апастамба Шулба Сутры)

Математика

Теорема Пифагора и пифагоровы тройки

Сутры содержат утверждения теоремы Пифагора , как в случае равнобедренного прямоугольного треугольника , так и в общем случае, а также списки пифагорейских троек . ^[24] В Баудхаяне, например, правила даны следующим образом:

1.9. Диагональ квадрата производит двойную площадь [квадрата].
[...]
1.12. Площади [квадратов], произведенные по отдельности длинами ширины прямоугольника, вместе равны площади [квадрата], произведенной диагональю.
1.13. Это наблюдается в прямоугольниках со сторонами 3 и 4, 12 и 5, 15 и 8, 7 и 24, 12 и 35, 15 и 36. ^[25]

Аналогично, правила Апастамбы для построения прямых углов в алтарях огня используют следующие пифагорейские тройки: ^{[26] [27]}

• ${\displaystyle (3,4,5)}$
• ${\displaystyle (5,12,13)}$
• ${\displaystyle (8,15,17)}$
• ${\displaystyle (12,35,37)}$

Кроме того, сутры описывают процедуры построения квадрата с площадью, равной либо сумме, либо разности двух данных квадратов. Оба построения выполняются, позволяя самому большому из квадратов быть квадратом на диагонали прямоугольника, и позволяя двум меньшим квадратам быть квадратами на сторонах этого прямоугольника. Утверждение, что каждая процедура производит квадрат желаемой площади, эквивалентно утверждению теоремы Пифагора. Другое построение производит квадрат с площадью, равной площади данного прямоугольника. Процедура заключается в том, чтобы отрезать прямоугольный кусок от конца прямоугольника и вставить его сбоку так, чтобы образовать гномон с площадью, равной исходному прямоугольнику. Поскольку гномон является разностью двух квадратов, задачу можно решить, используя одно из предыдущих построений. ^[28]

Геометрия

Сутра Баудхаяны Шульба дает построение геометрических фигур, таких как квадраты и прямоугольники. ^[29] Она также дает, иногда приблизительные, геометрические преобразования, сохраняющие площадь, из одной геометрической фигуры в другую. К ним относятся преобразование квадрата в прямоугольник , равнобедренную трапецию , равнобедренный треугольник , ромб и круг , а также преобразование круга в квадрат. ^[29] В этих текстах приближения, такие как преобразование круга в квадрат, появляются бок о бок с более точными утверждениями. В качестве примера, утверждение об обходе квадрата дано в Баудхаяне как:

2.9. Если требуется превратить квадрат в круг, [шнур длиной] в половину диагонали [квадрата] протягивается из центра на восток [часть его, лежащую за пределами восточной стороны квадрата]; с одной третью [частью, лежащей за пределами] прибавляя к остатку [половины диагонали], [рисуется] [нужный] круг. ^[30]

а утверждение о квадратуре круга задается как:

2.10. Чтобы превратить круг в квадрат, диаметр делится на восемь частей; одна [такая] часть после деления на двадцать девять частей уменьшается на двадцать восемь из них и далее на шестую [часть слева] минус восьмая [шестой части].
2.11. Или же разделите [диаметр] на пятнадцать частей и уменьшите его на две из них; это дает приблизительную сторону квадрата [искомого]. ^[30]

Построения в 2.9 и 2.10 дают значение π как 3,088, тогда как построение в 2.11 дает π как 3,004. ^[31]

Квадратные корни

Строительство алтаря также привело к оценке квадратного корня из 2 , как это было обнаружено в трех сутрах. В сутре Баудхаяна это выглядит так:

2.12. Мера должна быть увеличена на ее треть, а эта [третья] снова на ее собственную четвертую часть за вычетом тридцать четвертой части [этой четвертой части]; это [величина] диагонали квадрата [сторона которого является мерой]. ^[30]

что приводит к значению квадратного корня из двух:

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}=1.4142...}$^{[32] [33]}

Действительно, ранний метод вычисления квадратных корней можно найти в некоторых сутрах ^{[ необходима ссылка ]} , этот метод включает в себя рекурсивную формулу: для больших значений x, которая основана на нерекурсивном тождестве для значений r, чрезвычайно малых по сравнению с a . ${\displaystyle {\sqrt {x}}\approx {\sqrt {x-1}}+{\frac {1}{2\cdot {\sqrt {x-1}}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+r}}\approx a+{\frac {r}{2\cdot a}}}$

Также было высказано предположение, например, Бюрком ^[34] , что это приближение √2 подразумевает знание того, что √2 иррационально . В своем переводе «Начал » Евклида Хит выделяет ряд важных этапов, необходимых для того, чтобы иррациональность считалась обнаруженной, и указывает на отсутствие доказательств того, что индийская математика достигла этих этапов в эпоху Шульба-сутр. ^[35]

Смотрите также

• Кальпа (Веданга)

Цитаты и сноски

1. Plofker (2007), стр. 387, «Определенные формы и размеры огненных алтарей были связаны с особыми дарами, которые жертвователь желал получить от богов: «тот, кто желает небес, должен построить огненный алтарь в форме сокола»; «тот, кто желает завоевать мир Брахмана, должен построить огненный алтарь в форме черепахи»; «те, кто желает уничтожить существующих и будущих врагов, должны построить огненный алтарь в форме ромба» [Sen and Bag 1983, 86, 98, 111]».
2. Plofker (2007), стр. 387
3. Pingree (1981), стр. 4
4. Plofker (2009), стр.18
5. Плофкер (2009), стр. 11
6. Пингри (1981), стр. 6
7. Делир (2009), стр. 50
8. Стаал (1999), стр. 111
9. Шарма, GR (1960). Раскопки Каусамби (1957-59).
10. Плофкер (2009), стр. 19.
11. Бюрк (1901), стр. 554
12. Хит (1925), стр. 362.
13. Гупта (1997), стр. 154
14. Стаал (1999), стр. 106, 109–110.
15. Зайденберг (1978)
16. ван дер Варден (1983)
17. Ван дер Варден, Бартен Л. (1983). Геометрия и алгебра в древних цивилизациях . Спрингер Верлаг. п. 12. ISBN 0387121595.
18. Джозеф, Джордж Гевергезе (1997). «Что такое квадратный корень? Изучение геометрического представления в различных математических традициях». Математика в школе . 26 (3): 4–9. ISSN  0305-7259. JSTOR  30215281.
19. Бойер (1991), стр. 207, «Мы находим правила построения прямых углов с помощью троек шнуров, длины которых образуют пифагорейские триады, такие как 3, 4 и 5, или 5, 12 и 13, или 8, 15 и 17, или 12, 35 и 37. Однако все эти триады легко выводятся из старого вавилонского правила; следовательно, месопотамское влияние в Сульвасутре не является маловероятным. Аспастамба знал, что квадрат на диагонали прямоугольника равен сумме квадратов на двух смежных сторонах, но эта форма теоремы Пифагора также могла быть получена из Месопотамии. ... Настолько предположительны происхождение и период Сульбасутры, что мы не можем сказать, связаны ли правила с ранней египетской геодезией или с более поздней греческой проблемой удвоения алтаря. Они по-разному датируются в пределах интервала почти в тысячу лет, простирающегося от восьмого века до нашей эры по второй век нашей эры».
20. Кришнан, KS (2019). Происхождение Вед, Глава 5. Notion Press. ISBN 978-1645879800.
21. Зайденберг (1983), стр. 121
22. Пингри (1981), стр. 5
23. Плофкер (2009), стр. 17
24. Тибо (1875), стр. 232–238.
25. Плофкер (2007), стр. 388–389.
26. Бойер (1991), стр. 207
27. Джозеф, ГГ (2000). Гребень павлина: неевропейские корни математики. Princeton University Press. стр. 229. ISBN 0-691-00659-8.
28. Тибо (1875), стр. 243–246.
29. Plofker (2007), стр. 388-391
30. Plofker (2007), стр. 391
31. Плофкер (2007), стр. 392, «Техники «циркулярности» и квадратуры в 2.9 и 2.10, первая из которых проиллюстрирована на рисунке 4.4, подразумевают то, что мы бы назвали значением π, равным 3,088, [...] Квадратура в 2.11, с другой стороны, предполагает, что π = 3,004 (где ), что уже считается лишь «приблизительным». В 2.12 отношение диагонали квадрата к его стороне (нашей) считается равным 1 + 1/3 + 1/(3·4) - 1/(3·4·34) = 1,4142. ${\displaystyle s=2r\cdot 13/15}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}})}$
32. Плофкер (2007), стр. 392
33. Кук (2005), стр. 200
34. Бюрк (1901), стр. 575
35. Хит (1925), стр. 364: «Как говорит [Генрих] Фогт, необходимо было пройти три стадии, прежде чем иррациональность диагонали квадрата была обнаружена в каком-либо реальном смысле. (1) Все значения, найденные путем прямого измерения расчетов, основанных на них, должны быть признаны неточными. Затем (2) должно последовать убеждение, что невозможно прийти к точному арифметическому выражению значения. И, наконец, (3) невозможность должна быть доказана. Сейчас нет никаких реальных доказательств того, что индейцы в рассматриваемую дату достигли хотя бы первой стадии, не говоря уже о второй или третьей».

Ссылки

• Бойер, Карл Б. (1991). История математики (Второе издание). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-54397-7.
• Бюрк, Альберт (1901). «Das Āpastamba-Śulba-Sūtra, herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen». Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft (на немецком языке). 55 : 543–591.
• Делир, Жан Мишель (2009). «Хронологические выводы из сравнения комментариев к разным Śulbasūtras ». В Wujastyk, Dominik (ред.). Математика и медицина на санскрите . С. 37–62.
• Брайант, Эдвин (2001). Поиски истоков ведической культуры: дебаты об индоарийской миграции . Oxford University Press. ISBN 9780195137774.
• Кук, Роджер (2005) [Впервые опубликовано в 1997]. История математики: краткий курс . Wiley-Interscience . ISBN 0-471-44459-6.
• Датта, Бибхутибхушан (1932). Наука о сульбе. Исследование ранней индуистской геометрии. Университет Калькутты .
• Gupta, RC (1997). "Baudhāyana". В Selin, Helaine (ред.). Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в не-западных культурах . Springer. ISBN 978-0-7923-4066-9.
• Хит, сэр Томас Л. (1925) [1908]. Тринадцать книг «Начал» Евклида, переведенные с текста Гейберга, с введением и комментариями. Том I (2-е изд.). Нью-Йорк: Довер.
• Pingree, David (1981), Gonda, Jan (ред.), Jyotiḥśāstra: астральная и математическая литература , История индийской литературы, т. VI, Научная и техническая литература
• Plofker, Kim (2007). "Математика в Индии". В Katz, Victor J (ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-11485-9.
• Плофкер, Ким (2009). Математика в Индии . Princeton University Press. ISBN 9780691120676.
• Сарма, К. В. (1997). "Sulbasutras". В Селин, Хелайн (ред.). Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в не-западных культурах . Springer. ISBN 978-0-7923-4066-9.
• Seidenberg, A. (1978). «Происхождение математики». Архив истории точных наук . 18 (4): 301–342. doi :10.1007/BF00348435. S2CID  118671661.
• Seidenberg, A. (1983). «Геометрия ведических ритуалов». В Staal, Frits (ред.). Agni: The Vedic Ritual of the Fire Altar . Berkeley: Asian Humanities Press.
• Стаал, Фриц (1999). «Греческая и ведическая геометрия». Журнал индийской философии . 27 : 105–127. doi :10.1023/A:1004364417713. S2CID  16466375.
• Тибо, Джордж (1875). «О сульвасутрах». Журнал Азиатского общества Бенгалии . 44 : 227–275.
• ван дер Варден, Бартель Леендерт (1983). Геометрия и алгебра в древних цивилизациях . Спрингер-Верлаг. ISBN 9783642617812.

Переводы

• «Сульвасутра Баудхаяны с комментариями Двараканатайаджвана» Жоржа Тибо была опубликована в серии выпусков « Пандит». Ежемесячный журнал колледжа Бенареса, посвященный санскритской литературе . Обратите внимание, что комментарий оставлен без перевода.
  • (1875) 9 (108): 292–298
  • (1875–1876) 10 (109): 17–22, (110): 44–50, (111): 72–74, (114): 139–146, (115): 166–170, (116): 186–194, (117): 209–218.
  • (новая серия) (1876–1877) 1 (5): 316–322, (9): 556–578, (10): 626–642, (11): 692–706, (12): 761–770
• "Шулбапаришта Катьяяны с комментарием Рамы, сына Сурьядаса", Жоржа Тибо, была опубликована в серии выпусков The Pandit. Ежемесячный журнал колледжа Бенареса, посвященный санскритской литературе . Обратите внимание, что комментарий остался непереведенным.
  • (новая серия) (1882) 4 (1–4): 94–103, (5–8): 328–339, (9–10): 382–389, (9–10): 487–491
• Бюрк, Альберт (1902). «Das Āpastamba-Śulba-Sūtra, herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen». Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft (на немецком языке). 56 : 327–391. Транскрипция и анализ у Бюрка (1901).
• Сен, СН; Баг, АК (1983). Сутры Шульба Баудхаяны, Апастамбы, Катьяяны и Манавы с текстом, английским переводом и комментариями . Нью-Дели: Индийская национальная научная академия.