Эрозия (морфология)

Основная операция в математической морфологии

Размывание темно-синего квадрата диском, в результате чего получается светло-голубой квадрат.

Эрозия (обычно обозначается ⊖ ) — ​​одна из двух фундаментальных операций (вторая — дилатация ) в морфологической обработке изображений , на которой основаны все остальные морфологические операции. Первоначально она была определена для бинарных изображений , позже была расширена до изображений в оттенках серого и впоследствии до полных решеток . Операция эрозии обычно использует структурирующий элемент для зондирования и уменьшения форм, содержащихся во входном изображении.

Двоичная эрозия

В бинарной морфологии изображение рассматривается как подмножество евклидова пространства или целочисленной сетки для некоторой размерности d . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$

Основная идея бинарной морфологии заключается в том, чтобы исследовать изображение с помощью простой, предопределенной формы, делая выводы о том, как эта форма соответствует или не соответствует формам на изображении. Этот простой «зонд» называется структурирующим элементом и сам по себе является бинарным изображением (т. е. подмножеством пространства или сетки).

Пусть E — евклидово пространство или целочисленная сетка, а A — двоичное изображение в E. Размывание двоичного изображения A структурирующим элементом B определяется как:

${\displaystyle A\ominus B=\{z\in E\mid B_{z}\subseteq A\}}$,

где B _z — перенос B на вектор z, т. е. , . ${\displaystyle B_{z}=\{b+z\mid b\in B\}}$ ${\displaystyle \forall z\in E}$

Когда структурный элемент B имеет центр (например, диск или квадрат), и этот центр расположен в начале координат E , то эрозию A элементом B можно понимать как геометрическое место точек, достигаемых центром B , когда B движется внутри A. Например, эрозия квадрата со стороной 10, с центром в начале координат, диском радиусом 2, также с центром в начале координат, представляет собой квадрат со стороной 6, с центром в начале координат.

Эрозия A посредством B также задается выражением: , где A _−b обозначает перенос A посредством -b . ${\displaystyle A\ominus B=\bigcap _{b\in B}A_{-b}}$

Это более известно как разность Минковского .

Пример

Предположим, что A — это матрица размером 13 x 13, а B — это матрица размером 3 x 3:

 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Предполагая, что начало координат B находится в его центре, для каждого пикселя в A накладываем начало координат B; если B полностью содержится в A, то пиксель сохраняется, в противном случае удаляется.

Следовательно, эрозия A посредством B задается этой матрицей 13 x 13.

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Это означает, что значения пикселей сохраняются только тогда, когда B полностью содержится внутри A, в противном случае они удаляются или размываются.

Характеристики

• Эрозия инвариантна к трансляции .
• Она возрастает , то есть если , то . ${\displaystyle A\subseteq C}$ ${\displaystyle A\ominus B\subseteq C\ominus B}$
• Если начало E принадлежит структурному элементу B , то эрозия является антиэкстенсивной , т.е. . ${\displaystyle A\ominus B\subseteq A}$
• Эрозия удовлетворяет , где обозначает морфологическое расширение . ${\displaystyle (A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)}$ ${\displaystyle \oplus }$
• Эрозия распространяется по заданному пересечению

Эрозия в оттенках серого

Пример эрозии на изображении в оттенках серого с использованием плоского структурирующего элемента 5x5. Верхний рисунок демонстрирует применение окна структурирующего элемента к отдельным пикселям исходного изображения. Нижний рисунок показывает полученное эродированное изображение.

В морфологии оттенков серого изображения представляют собой функции, отображающие евклидово пространство или сетку E в , где — множество действительных чисел , — элемент, больший любого действительного числа, и — элемент, меньший любого действительного числа. ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Обозначая изображение как f(x), а структурный элемент в оттенках серого как b(x) , где B — это пространство, в котором определено b(x), эрозия в оттенках серого f посредством b задается как

${\displaystyle (f\ominus b)(x)=\inf _{y\in B}[f(x+y)-b(y)]}$,

где «inf» обозначает нижнюю границу .

Другими словами, эрозия точки — это минимум точек в ее окрестности, причем эта окрестность определяется структурирующим элементом. В этом смысле она похожа на многие другие виды фильтров изображений, такие как медианный фильтр и гауссовский фильтр .

Эрозии на полных решетках

Полные решетки — это частично упорядоченные множества , где каждое подмножество имеет инфимум и супремум . В частности, оно содержит наименьший элемент и наибольший элемент (также обозначаемый как «вселенная»).

Пусть будет полной решеткой, с инфимумом и супремумом, обозначенными и , соответственно. Ее универсум и наименьший элемент обозначены U и , соответственно. Более того, пусть будет набором элементов из L . ${\displaystyle (L,\leq )}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \{X_{i}\}}$

Эрозия в — это любой оператор , который распределяется по инфимуму и сохраняет вселенную. То есть: ${\displaystyle (L,\leq )}$ ${\displaystyle \varepsilon :L\rightarrow L}$

• ${\displaystyle \bigwedge _{i}\varepsilon (X_{i})=\varepsilon \left(\bigwedge _{i}X_{i}\right)}$,
• ${\displaystyle \varepsilon (U)=U}$.

Смотрите также

• Математическая морфология
• Расширение
• Открытие
• Закрытие

Ссылки

• Анализ изображений и математическая морфология Жана Серры, ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• Анализ изображений и математическая морфология, том 2: Теоретические достижения Жана Серры, ISBN 0-12-637241-1 (1988) 
• Введение в морфологическую обработку изображений Эдварда Р. Догерти, ISBN 0-8194-0845-X (1992) 
• Морфологический анализ изображений. Принципы и применение Пьера Сойля, ISBN 3-540-65671-5 (1999) 
• RC Gonzalez и RE Woods, Цифровая обработка изображений , 2-е изд. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2002.