Юктибхаша

Трактат по математике и астрономии

Юктибхаша ( малаялам : യുക്തിഭാഷ , букв.  «Обоснование»), также известная как Ганита-юкти-бхаша ^{[1] : XXI} и Ганитаньяясаграха ( английский: Сборник астрономических обоснований ), является крупным трактатом по математике и астрономии . , написанный индийцем астроном Джьештхадева из математической школы Кералы около 1530 года. ^[2] Трактат, написанный на малаяламе, представляет собой обобщение открытий Мадхавы Сангамаграмы , Нилакантхи Сомаяджи , Парамешвары , Джьештадевы , Ачьюты Пишарати и других астрономов-математиков Кералы. школа. ^[2] Существует также версия на санскрите с неясным автором и датой, составленная как грубый перевод оригинала на языке малаялам. ^[1]

Работа содержит доказательства и выводы теорем , которые она представляет. Современные историки утверждали, основываясь на работах индийской математики, которые впервые стали доступны, что ранние индийские ученые в области астрономии и вычислений испытывали недостаток в доказательствах, ^[3] но Юктибхаша демонстрирует обратное. ^[4]

Некоторые из его важных тем включают в себя разложения функций в бесконечные ряды ; степенные ряды , включая π и π/4; тригонометрические ряды синуса , косинуса и арктангенса ; ряды Тейлора , включая приближения второго и третьего порядка синуса и косинуса ; радиусы, диаметры и окружности.

Yuktibhāṣā в основном дает обоснование результатов в Tantra Samgraha Нилаканты . ^[5] Он считается ранним текстом, дающим некоторые идеи исчисления, такие как ряды Тейлора и бесконечности, предшествовавшим Ньютону и Лейбницу на два столетия. ^{[6] [7] [8] [9]} Трактат был в значительной степени незамеченным за пределами Индии, так как был написан на местном языке малаялам. В наше время, благодаря более широкому международному сотрудничеству в области математики, более широкий мир обратил внимание на эту работу. Например, и Оксфордский университет, и Королевское общество Великобритании дали авторство пионерским математическим теоремам индийского происхождения, которые предшествовали своим западным аналогам. ^{[7] [8] [9]}

Содержание

Yuktibhāṣā содержит большую часть разработок ранней школы Кералы, в частности Мадхавы и Нилакантхи . Текст разделен на две части: первая посвящена математическому анализу , а вторая — астрономии. ^[2] Помимо этого, непрерывный текст не имеет дальнейшего разделения на предметы или темы, поэтому опубликованные издания делят работу на главы на основе редакционного суждения. ^{[1] : xxxvii}

Страницы из Юктибхасы

Математика

Объяснение правила синуса в Юктибхаше

Эти темы, рассматриваемые в математической части Юктибхаши , можно разделить на семь глав: ^{[1] : xxxvii}

1. парикарма : логистика (восемь математических операций)
2. дашапрасна : десять проблем, связанных с логистикой
3. бхиннаганита : арифметика дробей
4. траирашика : правило трех
5. kuṭṭakāra : измельчение (линейные неопределенные уравнения)
6. paridhi-vyāsa : соотношение между окружностью и диаметром: бесконечные ряды и приближения для соотношения окружности и диаметра круга
7. джьянаана : вывод синусов: бесконечные ряды и приближения для синусов. ^[10]

Первые четыре главы содержат элементарную математику, такую ​​как деление, теорема Пифагора , квадратные корни и т. д. [ ^11] Новые идеи не обсуждаются до шестой главы о длине окружности . Юктибхаша содержит вывод и доказательство степенного ряда арктангенса , открытого Мадхавой. [ ^5] В тексте Джьештхадева описывает ряд Мадхавы следующим образом:

Первый член — это произведение заданного синуса и радиуса желаемой дуги, деленное на косинус дуги. Последующие члены получаются в процессе итерации, когда первый член многократно умножается на квадрат синуса и делится на квадрат косинуса. Затем все члены делятся на нечетные числа 1, 3, 5, .... Дуга получается путем сложения и вычитания соответственно членов нечетного ранга и членов четного ранга. Установлено, что синус дуги или его дополнения, какой бы он ни был меньше, следует здесь брать в качестве заданного синуса. В противном случае члены, полученные в результате этой итерации выше, не будут стремиться к исчезающей величине.

В современной математической нотации

${\displaystyle r\theta ={r{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}-{\frac {r}{3}}{\frac {\sin ^{3}\theta }{\cos ^{3}\theta }}+{\frac {r}{5}}{\frac {\sin ^{5}\theta }{\cos ^{5}\theta }}-{\frac {r}{7}}{\frac {\sin ^{7}\theta }{\cos ^{7}\theta }}+\cdots }$

или, выраженное через касательные,

${\displaystyle \theta =\tan \theta -{\frac {1}{3}}\tan ^{3}\theta +{\frac {1}{5}}\tan ^{5}\theta -\cdots \ ,}$

которую в Европе традиционно называли серией Грегори в честь Джеймса Грегори , который заново открыл ее в 1671 году.

В тексте также содержится разложение Мадхавой бесконечного ряда числа π , которое он получил из разложения функции арктангенса.

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}+\cdots \ ,}$

который в Европе традиционно назывался рядом Лейбница , в честь Готфрида Лейбница, который заново открыл его в 1673 году.

Используя рациональную аппроксимацию этого ряда, он дал значения числа π как 3,14159265359, с точностью до 11 знаков после запятой, и как 3,1415926535898, с точностью до 13 знаков после запятой.

В тексте описываются два метода вычисления значения π. Во-первых, получить быстро сходящийся ряд, преобразуя исходный бесконечный ряд π. Сделав это, первые 21 член бесконечного ряда

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

был использован для вычисления приближения до 11 знаков после запятой. Другой метод заключался в добавлении остаточного члена к исходному ряду π. Остаточный член использовался в расширении бесконечного ряда для улучшения приближения π до 13 знаков после запятой точности при n =76. ${\textstyle {\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$

Помимо этого, «Юктибхаша» содержит множество элементарных и сложных математических тем, в том числе, ^{[ необходима ссылка ]}

• Доказательства разложения функций синуса и косинуса
• Формулы суммы и разности для синуса и косинуса
• Целочисленные решения систем линейных уравнений (решенные с помощью системы, известной как куттакарам )
• Геометрические выводы рядов
• Ранние утверждения рядов Тейлора для некоторых функций

Астрономия

Главы с восьмой по семнадцатую посвящены предметам астрономии: планетарным орбитам , небесным сферам , восхождению , склонению , направлениям и теням, сферическим треугольникам , эллипсам и коррекции параллакса . Планетарная теория, описанная в книге, похожа на ту, которую позже принял датский астроном Тихо Браге . ^[12] Темы, затронутые в восьми главах, включают вычисление средних и истинных долгот планет, Земли и небесных сфер, пятнадцать задач, связанных с восхождением, склонением, долготой и т. д., определение времени, места, направления и т. д. по гномонической тени, затмения, Вьятипата (когда солнце и луна имеют одинаковое склонение), коррекция видимости для планет и фаз луны. ^[10]

В частности, ^{[1] : xxxviii}

8. grahagati : движение планет, bhagola : сфера зодиака, madhyagraha : средние планеты, sūryasphuta : истинное солнце, grahasphuṭa : истинные планеты
9. бху-вайю-бхагола : сферы земли, атмосфера и астеризмы, аянакалана : прецессия равноденствий
10. pañcadaśa-praśna : пятнадцать задач, связанных со сферическими треугольниками
11. dig-jñāna : ориентация, chāyā-gaṇita : вычисления теней, lagna : точка восхождения эклиптики , nati -lambana : параллаксы широты и долготы
12. grahaṇa : затмение
13. вьятипата
14. коррекция видимости планет
15. куспиды луны и фазы луны

Современные издания

Первый стих из Юкти бхаши на языке малаялам.

Важность Юктибхаши была доведена до сведения современной науки Ч. М. Уишем в 1832 году в статье, опубликованной в « Трудах Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии» . ^[4] Математическая часть текста вместе с примечаниями на языке малаялам была впервые опубликована в 1948 году Рамой Вармой Тампураном и Акхилесварой Айяром. ^{[2] [13]}

Первое критическое издание всего текста на малаялам, вместе с английским переводом и подробными пояснительными примечаниями, было опубликовано в двух томах издательством Springer ^[14] в 2008 году. ^[1] Третий том, содержащий критическое издание санскритского текста Ганитаюктибхасы, был опубликован Индийским институтом перспективных исследований в Шимле в 2009 году. ^{[15] [16] [17] [18]}

Это издание Yuktibhasa было разделено на два тома: Том I посвящен математике, а Том II посвящен астрономии. Каждый том разделен на три части: Первая часть представляет собой английский перевод соответствующей части Yuktibhasa на малаялам , вторая часть содержит подробные пояснительные примечания к переводу, а в третьей части воспроизводится текст оригинала на малаялам . Английский перевод выполнен К. В. Сармой , а пояснительные примечания предоставлены К. Рамасубраманьяном, М. Д. Шринивасом и М. С. Шрирамом. ^[1]

Издание « Юктибхаса» в открытом доступе опубликовано Sayahna Foundation в 2020 году. ^[19]

Смотрите также

• Ганита-юкти-бхаса
• Исправление термина Мадхавы
• индийская математика
• Школа Кералы

Ссылки

1. Сарма, К. В .; Рамасубраманиан, К.; Шринивас, М. Д.; Шрирам, М. С. (2008). Ганита-Юкти-Бхаса (Обоснования математической астрономии) Джьештадевы. Источники и исследования по истории математики и физических наук. Т. I–II (1-е изд.). Springer (совместно с Hindustan Book Agency, Нью-Дели). стр. LXVIII, 1084. Bibcode :2008rma..book.....S. ISBN 978-1-84882-072-2. Получено 17 декабря 2009 г.
2. KV Sarma ; S Hariharan (1991). "Yuktibhāṣā of Jyeṣṭhadeva: A book on rationales in Indian Mathematics and Astronomy: An analytic appraisal" (PDF) . Indian Journal of History of Science . 26 (2). Архивировано из оригинала (PDF) 28 сентября 2006 г. . Получено 9 июля 2006 г. .
3. "Джьештхардева". Биография Джьештхадевы . Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия . Получено 7 июля 2006 г.
4. Divakaran, PP (2007). "Первый учебник по исчислению: "Yuktibhāṣā"". Журнал индийской философии . 35 (5/6): 417–443. doi :10.1007/s10781-007-9029-1. ISSN  0022-1791. JSTOR  23497280. S2CID  170254981.
5. "Школа Кералы, европейская математика и навигация". Индийская математика . DP Agrawal – Infinity Foundation . Получено 9 июля 2006 г.
6. CK Raju (2001). «Компьютеры, математическое образование и альтернативная эпистемология исчисления в Yuktibhāṣā» (PDF) . Philosophy East & West . 51 (3): 325–362. doi :10.1353/pew.2001.0045. S2CID  170341845 . Получено 11 февраля 2020 г. .
7. "Обзор индийской математики". Индийская математика . Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия . Получено 7 июля 2006 г.
8. Чарльз Уиш (1834), «Об индуистской квадратуре круга и бесконечном ряде пропорций окружности к диаметру, представленных в четырех шастрах, Тантре Сахграхам, Юкти Бхаше, Чарана Падхати и Садратнамале», Труды Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии , 3 (3): 509–523, doi :10.1017/S0950473700001221, JSTOR  25581775
9. George Gheverghese Joseph (2000). Гребень павлина. Архив Интернета. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00659-8.
10. Для получения более подробной информации о содержании см. Kinokuniya DataBase: "Ganita-yukti-bhasa (Rationales in Mathematical Astronomy) of Jyesthadeva" . Получено 1 мая 2010 г.
11. "Текст исчисления Юктибхасы" (PDF) . Предыстория исчисления и небесной механики в средневековой Керале . Доктор Сарада Раджив . Получено 9 июля 2006 г.
12. "Наука и математика в Индии". История Южной Азии . Ресурсы Индии. Архивировано из оригинала 17 октября 2012 года . Получено 6 мая 2020 года .
13. Юктибхаса, Часть I (редактор) с примечаниями Рамавармы (Мару) Тампурана и А. Р. Ахилешвары Айера, Magalodayam Ltd., Тричур , Керала , 1123 год малаяламской эры , 1948 год нашей эры .
14. веб-страницу издателя ( Springer's ) книги: Ганита-Юкти-Бхаса (Обоснование математической астрономии) Джьестхадевы. ISBN 9781848820722. Получено 29 апреля 2010 г.
15. Сарма, КВ (2009). Ганита Юктибхаса (на малаялам и английском языке). Том. III. Индийский институт перспективных исследований , Шимла, Индия. ISBN 978-81-7986-052-6. Архивировано из оригинала 17 марта 2010 . Получено 16 декабря 2009 .
16. КВ Сарма (2004). Ганита Юктибхаса (Том III) . Шимла : Индийский институт перспективных исследований . ISBN 81-7986-052-3.
17. Веб-страница издательства ( Индийский институт перспективных исследований ) о книге: "Ganita Yuktibhasa by KV Sarma". Архивировано из оригинала 17 марта 2010 года . Получено 1 мая 2010 года .
18. Обзор Ganita-yukti-bhasa (Обоснования математической астрономии) Джьештадевы Математической ассоциацией Америки см.: Homer S. White (17 июля 2009 г.). "Ganita-Yukti-Bhāsā (Обоснования математической астрономии) Джьештадевы". Математическая ассоциация Америки . Получено 28 мая 2022 г.
19. Фонд Саяхна (20 ноября 2020 г.). «Цифровое издание Юктибхаша» (PDF) .

Внешние ссылки

• Биография Джьештадевы – Факультет математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия