Уравнения Янга–Миллса–Хиггса

Янг-Миллс в сочетании с полем Хиггса

В математике уравнения Янга–Миллса–Хиггса представляют собой набор нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для поля Янга–Миллса , заданного связностью, и поля Хиггса , заданного сечением векторного расслоения (в частности, присоединенного расслоения ). Эти уравнения имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{A}*F_{A}+*[\Phi ,D_{A}\Phi ]&=0,\\D_{A}*D_{A}\Phi &=0\end{aligned}}}$

с граничным условием

${\displaystyle \lim _{|x|\rightarrow \infty }|\Phi |(x)=1}$

где

A — связность на векторном расслоении,

D _A — внешняя ковариантная производная,

F _A — кривизна этого соединения,

Φ — сечение этого векторного расслоения,

∗ — звезда Ходжа, а

[·,·] — это естественная градуированная скобка.

Эти уравнения названы в честь Чэнь Нин Яна , Роберта Миллса и Питера Хиггса . Они очень тесно связаны с уравнениями Гинзбурга–Ландау , когда они выражены в общей геометрической постановке.

М. В. Гоганов и Л. В. Капитанский показали, что задача Коши для гиперболических уравнений Янга–Миллса–Хиггса в гамильтоновой калибровке на 4-мерном пространстве Минковского имеет единственное глобальное решение без ограничений на пространственной бесконечности. Кроме того, решение обладает свойством конечной скорости распространения.

Лагранжиан

Уравнения возникают как уравнения движения плотности Лагранжа

Лагранжева плотность Янга – Миллса – Хиггса

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left\langle F_{\mu \nu },F^{\mu \nu }\right\rangle +{\frac {1}{2}}\left\langle D_{\mu }\phi ,D^{\mu }\phi \right\rangle -V(\phi )}$

где — инвариантная симметричная билинейная форма на присоединенном расслоении. Иногда это записывается как из-за того, что такая форма может возникнуть из следа на при некотором представлении; в частности, здесь мы имеем дело с присоединенным представлением , а след на этом представлении — это форма Киллинга . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\text{tr}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Для конкретной формы уравнений Янга–Миллса–Хиггса, приведенной выше, потенциал равен нулю. Другой распространенный выбор — , соответствующий массивному полю Хиггса. ${\displaystyle V(\phi )}$ ${\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\langle \phi ,\phi \rangle }$

Эта теория является частным случаем скалярной хромодинамики , где поле Хиггса оценивается в присоединенном представлении, а не в общем представлении. ${\displaystyle \phi }$

Смотрите также

• Уравнения Янга–Миллса
• Скалярная хромодинамика

Ссылки

• М. В. Гоганов и Л. В. Капитанский, «Глобальная разрешимость начальной задачи для уравнений Янга-Миллса-Хиггса», Записки ЛОМИ 147, 18–48, (1985); Журнал сов. матем., 37, 802–822 (1987).