В математике автоморфизм Колмогорова , K -автоморфизм , K -сдвиг или K -система — это обратимый, сохраняющий меру автоморфизм, определенный на стандартном вероятностном пространстве , который подчиняется закону нуля-единицы Колмогорова . [1] Все автоморфизмы Бернулли являются K -автоморфизмами (говорят, что они обладают K -свойством ), но не наоборот. Было показано, что многие эргодические динамические системы обладают K -свойством, хотя более поздние исследования показали, что многие из них на самом деле являются автоморфизмами Бернулли.
Хотя определение K -свойства кажется достаточно общим, оно резко отличается от автоморфизма Бернулли. В частности, теорема Орнштейна об изоморфизме не применима к K -системам, и поэтому энтропии недостаточно для классификации таких систем – существует несчетное множество неизоморфных K -систем с одинаковой энтропией. По сути, набор K -систем большой, запутанный и некатегоризированный; тогда как B -автоморфизмы «полностью» описываются теорией Орнштейна .
Пусть будет стандартным вероятностным пространством , и пусть будет обратимым, сохраняющим меру преобразованием . Тогда называется K -автоморфизмом, K -преобразованием или K -сдвигом, если существует под- сигма-алгебра, такая, что выполняются следующие три свойства:
Здесь символ — это соединение сигма-алгебр , а — множество пересечений . Равенство следует понимать как выполняющееся почти всюду , то есть отличающееся максимум на множестве меры ноль .
Предполагая, что сигма-алгебра нетривиальна, то есть, если , то Отсюда следует, что K -автоморфизмы являются сильными перемешивающими .
Все автоморфизмы Бернулли являются K -автоморфизмами, но не наоборот .
Автоморфизмы Колмогорова являются как раз естественными расширениями точных эндоморфизмов, [2] т.е. отображений , для которых состоит из множеств нулевой меры или их дополнений, где — сигма-алгебра измеримых множеств.
