В математике групповая схема — это тип объекта из алгебраической геометрии , снабженный законом композиции. Групповые схемы возникают естественным образом как симметрии схем и обобщают алгебраические группы в том смысле, что все алгебраические группы имеют структуру групповой схемы, но групповые схемы не обязательно связаны, гладки или определены над полем. Эта дополнительная общность позволяет изучать более богатые бесконечно малые структуры, и это может помочь понять и ответить на вопросы арифметической значимости. Категория групповых схем несколько лучше себя ведет, чем категория групповых многообразий , поскольку все гомоморфизмы имеют ядра , и существует хорошо себя ведущая теория деформации . Групповые схемы, которые не являются алгебраическими группами, играют значительную роль в арифметической геометрии и алгебраической топологии , поскольку они возникают в контекстах представлений Галуа и проблем модулей . Первоначально теория групповых схем была разработана Александром Гротендиком , Мишелем Рейно и Мишелем Демазюром в начале 1960-х годов.
Групповая схема — это групповой объект в категории схем , имеющий волоконные продукты и некоторый конечный объект S. То есть, это S -схема G, оснащенная одним из эквивалентных наборов данных
Гомоморфизм групповых схем — это отображение схем, которое уважает умножение. Это можно точно сформулировать, либо сказав, что отображение f удовлетворяет уравнению f μ = μ( f × f ), либо сказав, что f — это естественное преобразование функторов из схем в группы (а не просто множества).
Левое действие групповой схемы G на схеме X — это морфизм G × S X → X , который индуцирует левое действие группы G ( T ) на множестве X ( T ) для любой S -схемы T . Правые действия определяются аналогично. Любая групповая схема допускает естественные левые и правые действия на своей базовой схеме посредством умножения и сопряжения . Сопряжение — это действие автоморфизмами, т. е. оно коммутирует со структурой группы, и это индуцирует линейные действия на естественно производных объектах, таких как ее алгебра Ли и алгебра левоинвариантных дифференциальных операторов.
S -групповая схема G коммутативна, если группа G ( T ) является абелевой группой для всех S -схем T . Существует несколько других эквивалентных условий, таких как сопряжение, индуцирующее тривиальное действие, или отображение инверсии ι, являющееся автоморфизмом групповой схемы.
Предположим, что G — групповая схема конечного типа над полем k . Пусть G 0 — связная компонента единицы, т. е. максимальная связная подгрупповая схема. Тогда G — расширение конечной этальной групповой схемы с помощью G 0 . G имеет единственную максимальную приведенную подсхему G red , и если k совершенно, то G red — гладкое групповое многообразие, являющееся подгрупповой схемой G . Фактор-схема — это спектр локального кольца конечного ранга.
Любая аффинная групповая схема является спектром коммутативной алгебры Хопфа (над базой S это задается относительным спектром O S -алгебры ). Умножение, единица и обратные отображения групповой схемы задаются структурами коумножения, коединицы и антипода в алгебре Хопфа. Единичные и умножительные структуры в алгебре Хопфа являются внутренними для базовой схемы. Для произвольной групповой схемы G кольцо глобальных сечений также имеет коммутативную структуру алгебры Хопфа, и, взяв ее спектр, можно получить максимальную аффинную факторгруппу. Аффинные групповые многообразия известны как линейные алгебраические группы, поскольку они могут быть вложены как подгруппы общих линейных групп.
Полные связные групповые схемы в некотором смысле противоположны аффинным групповым схемам, поскольку полнота подразумевает, что все глобальные сечения являются в точности теми, которые выведены из базы, и, в частности, они не имеют нетривиальных отображений в аффинные схемы. Любое полное групповое многообразие (под многообразием здесь понимается приведенная и геометрически неприводимая разделенная схема конечного типа над полем) автоматически коммутативно, по аргументу, включающему действие сопряжения на пространствах струй единицы. Полные групповые многообразия называются абелевыми многообразиями . Это обобщается до понятия абелевой схемы; групповая схема G над базой S является абелевой, если структурный морфизм из G в S является собственным и гладким с геометрически связанными слоями. Они автоматически проективны и имеют множество приложений, например, в геометрической теории полей классов и во всей алгебраической геометрии. Однако полная групповая схема над полем не обязательно должна быть коммутативной; например, любая конечная групповая схема является полной.
Групповая схема G над нётеровой схемой S конечна и плоская тогда и только тогда, когда O G является локально свободным O S -модулем конечного ранга. Ранг является локально постоянной функцией на S и называется порядком G. Порядок постоянной групповой схемы равен порядку соответствующей группы, и в общем случае порядок хорошо ведёт себя относительно изменения базы и конечного плоского ограничения скаляров .
Среди конечных плоских групповых схем константы (ср. пример выше) образуют специальный класс, и над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль категория конечных групп эквивалентна категории константных конечных групповых схем. Над базисами с положительной характеристикой или более арифметической структурой существуют дополнительные типы изоморфизма. Например, если 2 обратимо над базисом, все групповые схемы порядка 2 являются константами, но над 2-адическими целыми числами μ 2 непостоянно, поскольку специальный слой не является гладким. Существуют последовательности сильно разветвленных 2-адических колец, над которыми число типов изоморфизма групповых схем порядка 2 растет произвольно большим. Более подробный анализ коммутативных конечных плоских групповых схем над p -адическими кольцами можно найти в работе Рейно о продолжениях.
Коммутативные конечные плоские групповые схемы часто встречаются в природе как схемы подгрупп абелевых и полуабелевых многообразий, и в положительной или смешанной характеристике они могут захватывать много информации об окружающем многообразии. Например, p -кручение эллиптической кривой в характеристике нуль локально изоморфно постоянной элементарной абелевой групповой схеме порядка p 2 , но над F p , это конечная плоская групповая схема порядка p 2 , которая имеет либо p связных компонент (если кривая обычная), либо одну связную компоненту (если кривая суперсингулярная ) . Если мы рассмотрим семейство эллиптических кривых, p -кручение образует конечную плоскую групповую схему над параметризующим пространством, а суперсингулярное локус находится там, где соединены волокна. Это слияние связных компонент можно изучить в мельчайших подробностях, перейдя от модулярной схемы к жесткому аналитическому пространству , где суперсингулярные точки заменяются дисками положительного радиуса.
Двойственность Картье — это схемно-теоретический аналог двойственности Понтрягина, переводящий конечные коммутативные групповые схемы в конечные коммутативные групповые схемы.
Конечные плоские коммутативные групповые схемы над совершенным полем k положительной характеристики p можно изучать, перенося их геометрическую структуру в (полу)линейно-алгебраическую постановку. Базовым объектом является кольцо Дьедонне D = W ( k ){ F , V }/( FV − p ), которое является фактором кольца некоммутативных многочленов с коэффициентами в векторах Витта k . F и V являются операторами Фробениуса и Вершибунга , и они могут действовать нетривиально на векторы Витта. Дьедонне и Картье построили антиэквивалентность категорий между конечными коммутативными групповыми схемами над k порядка степени "p" и модулями над D с конечной W ( k )-длиной. Функтор модуля Дьедонне в одном направлении задается гомоморфизмами в абелев пучок CW ковекторов Витта. Этот пучок более или менее двойственен пучку векторов Витта (который на самом деле может быть представлен групповой схемой), поскольку он строится путем взятия прямого предела векторов Витта конечной длины при последовательных отображениях Verschiebung V : W n → W n+1 , а затем завершения. Многие свойства коммутативных групповых схем можно увидеть, исследуя соответствующие модули Дьедонне, например, связные p -групповые схемы соответствуют D -модулям, для которых F нильпотентна, а этальные групповые схемы соответствуют модулям, для которых F является изоморфизмом.
Теория Дьедонне существует в несколько более общей ситуации, чем конечные плоские группы над полем. Диссертация Оды 1967 года дала связь между модулями Дьедонне и первыми когомологиями де Рама абелевых многообразий, и примерно в то же время Гротендик предположил, что должна быть кристаллическая версия теории, которая могла бы использоваться для анализа p -делимых групп. Действия Галуа на групповых схемах переносятся через эквивалентности категорий, и связанная с ними теория деформации представлений Галуа использовалась в работе Уайлса над гипотезой Шимуры–Таниямы .