Алгебраический цикл

В математике алгебраический цикл на алгебраическом многообразии V — это формальная линейная комбинация подмногообразий V . Это часть алгебраической топологии V , которая напрямую доступна алгебраическим методам. Понимание алгебраических циклов на многообразии может дать глубокое понимание структуры многообразия.

Самый тривиальный случай — циклы коразмерности ноль, которые являются линейными комбинациями неприводимых компонентов многообразия. Первый нетривиальный случай — подмногообразия коразмерности один, называемые дивизорами . Самые ранние работы по алгебраическим циклам были сосредоточены на случае дивизоров, в частности дивизоров на алгебраических кривых. Дивизоры на алгебраических кривых являются формальными линейными комбинациями точек на кривой. Классические работы по алгебраическим кривым связывали их с внутренними данными, такими как регулярные дифференциалы на компактной римановой поверхности , и с внешними свойствами, такими как вложения кривой в проективное пространство .

В то время как дивизоры на многообразиях большей размерности продолжают играть важную роль в определении структуры многообразия, на многообразиях размерности два или более необходимо рассмотреть также циклы большей коразмерности. Поведение этих циклов разительно отличается от поведения дивизоров. Например, каждая кривая имеет константу N такую, что каждый делитель степени ноль линейно эквивалентен разности двух эффективных делителей степени не более N . Дэвид Мамфорд доказал, что на гладкой полной комплексной алгебраической поверхности S с положительным геометрическим родом аналогичное утверждение для группы классов рациональной эквивалентности циклов коразмерности два в S ложно. ^[1] Гипотеза о том, что геометрический род положителен, по сути означает (по теореме Лефшеца о (1,1)-классах ), что группа когомологий содержит трансцендентную информацию, и в действительности теорема Мамфорда подразумевает, что, несмотря на чисто алгебраическое определение, она разделяет трансцендентную информацию с . Теорема Мамфорда с тех пор была значительно обобщена. ^[2] ${\displaystyle \operatorname {CH} ^{2}(S)}$ ${\displaystyle H^{2}(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {CH} ^{2}(S)}$ ${\displaystyle H^{2}(S)}$

Поведение алгебраических циклов входит в число наиболее важных открытых вопросов современной математики. Гипотеза Ходжа , одна из проблем премии тысячелетия Института математики Клэя , предсказывает, что топология комплексного алгебраического многообразия вынуждает существование определенных алгебраических циклов. Гипотеза Тейта делает похожее предсказание для этальных когомологий . Стандартные гипотезы Александра Гротендика об алгебраических циклах дают достаточно циклов для построения его категории мотивов и подразумевают, что алгебраические циклы играют жизненно важную роль в любой теории когомологий алгебраических многообразий. Наоборот, Александр Бейлинсон доказал, что существование категории мотивов влечет стандартные гипотезы. Кроме того, циклы связаны с алгебраической K -теорией формулой Блоха, которая выражает группы циклов по модулю рациональной эквивалентности как когомологии пучков K -теории.

Определение

Пусть X — схема конечного типа над полем k . Алгебраический r -цикл на X — это формальная линейная комбинация

${\displaystyle \sum n_{i}[V_{i}]}$

r -мерных замкнутых целочисленных k -подсхем X . Коэффициент n _i есть кратность V i _. Множество всех r -циклов есть свободная абелева группа

${\displaystyle Z_{r}X=\bigoplus _{V\subseteq X}\mathbf {Z} \cdot [V],}$

где сумма берется по замкнутым целочисленным подсхемам V схемы X. Группы циклов для переменного r вместе образуют группу

${\displaystyle Z_{*}X=\bigoplus _{r}Z_{r}X.}$

Это называется группой алгебраических циклов , а любой элемент называется алгебраическим циклом . Цикл эффективен или положителен, если все его коэффициенты неотрицательны.

Замкнутые целочисленные подсхемы X находятся во взаимно однозначном соответствии с теоретико-схемными точками X при отображении, которое в одном направлении переводит каждую подсхему в ее общую точку, а в другом направлении переводит каждую точку в единственную приведенную подсхему, поддерживаемую замыканием точки. Следовательно, может быть также описана как свободная абелева группа в точках X. ${\displaystyle Z_{*}X}$

Цикл рационально эквивалентен нулю , записывается , если существует конечное число -мерных подмногообразий и ненулевых рациональных функций таких , что , где обозначает делитель рациональной функции на W _i . Циклы рационально эквивалентны нулю и являются подгруппой , а группа r -циклов по модулю рациональной эквивалентности является отношением ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha \sim 0}$ ${\displaystyle (r+1)}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{i}\in k(W_{i})^{\times }}$ ${\displaystyle \alpha =\sum [\operatorname {div} _{W_{i}}(r_{i})]}$ ${\displaystyle \operatorname {div} _{W_{i}}}$ ${\displaystyle Z_{r}(X)_{\text{rat}}\subseteq Z_{r}(X)}$

${\displaystyle A_{r}(X)=Z_{r}(X)/Z_{r}(X)_{\text{rat}}.}$

Эта группа также обозначается . Элементы группы ${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X)}$

${\displaystyle A_{*}(X)=\bigoplus _{r}A_{r}(X)}$

называются классами циклов на X. Классы циклов называются эффективными или положительными , если они могут быть представлены эффективным циклом.

Если X является гладким, проективным и имеет чистую размерность N , то указанные выше группы иногда переиндексируются когомологически как

${\displaystyle Z^{N-r}X=Z_{r}X}$

и

${\displaystyle A^{N-r}X=A_{r}X.}$

В этом случае называется кольцом Чжоу X , поскольку имеет операцию умножения, заданную произведением пересечений . ${\displaystyle A^{*}X}$

Существует несколько вариантов приведенного выше определения. Мы можем заменить другое кольцо для целых чисел в качестве нашего кольца коэффициентов. Случай рациональных коэффициентов широко используется. Работа с семействами циклов над базой или использование циклов в арифметических ситуациях требует относительной настройки. Пусть , где S — регулярная нётерова схема. r -цикл — это формальная сумма замкнутых целочисленных подсхем X, относительная размерность которых равна r ; здесь относительная размерность — это степень трансцендентности над минус коразмерность в S . ${\displaystyle \phi \colon X\to S}$ ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle k(Y)}$ ${\displaystyle k({\overline {\phi (Y)}})}$ ${\displaystyle {\overline {\phi (Y)}}}$

Рациональная эквивалентность также может быть заменена несколькими другими более грубыми отношениями эквивалентности на алгебраических циклах . Другие отношения эквивалентности, представляющие интерес, включают алгебраическую эквивалентность , гомологическую эквивалентность для фиксированной теории когомологий (например, сингулярных когомологий или этальных когомологий), численную эквивалентность , а также все вышеперечисленное по модулю кручения. Эти отношения эквивалентности имеют (частично предположительные) приложения к теории мотивов .

Плоский откат и правильный выдвижной вперед

Существует ковариантная и контравариантная функториальность группы алгебраических циклов. Пусть f  : X → X' — отображение многообразий.

Если f является плоским и имеет некоторую постоянную относительную размерность (т.е. все слои имеют одинаковую размерность), то для любого подмногообразия Y'  ⊂  X' можно определить :

${\displaystyle f^{*}([Y'])=[f^{-1}(Y')]\,\!}$

который по предположению имеет ту же коразмерность, что и Y′ .

Наоборот, если f является собственным , то для Y, подмногообразия X, прямой проталкивание определяется как

${\displaystyle f_{*}([Y])=n[f(Y)]\,\!}$

где n — степень расширения полей функций [ k ( Y ) : k ( f ( Y ))], если ограничение f на Y конечно , и 0 в противном случае.

По линейности эти определения распространяются на гомоморфизмы абелевых групп

${\displaystyle f^{*}\colon Z^{k}(X')\to Z^{k}(X)\quad {\text{and}}\quad f_{*}\colon Z_{k}(X)\to Z_{k}(X')\,\!}$

(последние в силу соглашения) являются гомоморфизмами абелевых групп. См. кольцо Чжоу для обсуждения функториальности, связанной со структурой кольца.

Смотрите также

• делитель (алгебраическая геометрия)
• Относительный цикл

Ссылки

1. Мамфорд, Дэвид, Рациональная эквивалентность 0-циклов на поверхностях , J. Math. Kyoto Univ. 9 -2 (1969) 195–204.
2. Вуазен, Клэр, Кольца Чжоу, разложение диагонали и топология семейств , Annals of Mathematics Studies 187, февраль 2014 г., ISBN  9780691160504 .

• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . Третья серия. Серия современных обзоров по математике, том. 2, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98549-7, г-н  1644323
• Гордон, Б. Брент; Льюис, Джеймс Д.; Мюллер-Штах, Стефан; Сайто, Шуджи; Юи, Норико, ред. (2000), Арифметика и геометрия алгебраических циклов: труды летней школы CRM, 7–19 июня 1998 г., Банф, Альберта, Канада ; Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1954-8