Алгебраическая группа

Алгебраическое многообразие с групповой структурой

В математике алгебраическая группа — это алгебраическое многообразие , наделенное групповой структурой, совместимой с его структурой как алгебраического многообразия. Таким образом, изучение алгебраических групп относится как к алгебраической геометрии , так и к теории групп .

Многие группы геометрических преобразований являются алгебраическими группами; например, ортогональные группы , общие линейные группы , проективные группы , евклидовы группы и т. д. Многие матричные группы также являются алгебраическими. Другие алгебраические группы естественным образом встречаются в алгебраической геометрии, такие как эллиптические кривые и якобиевы многообразия .

Важный класс алгебраических групп задается аффинными алгебраическими группами , теми, чье базовое алгебраическое многообразие является аффинным многообразием ; они являются в точности алгебраическими подгруппами полной линейной группы и поэтому также называются линейными алгебраическими группами . ^[1] Другой класс образован абелевыми многообразиями , которые являются алгебраическими группами, чье базовое многообразие является проективным многообразием . Структурная теорема Шевалле утверждает, что каждая алгебраическая группа может быть построена из групп из этих двух семейств.

Определения

Формально алгебраическая группа над полем — это алгебраическое многообразие над вместе с выделенным элементом ( нейтральным элементом ) и регулярными отображениями (операция умножения) и (операция инверсии), которые удовлетворяют аксиомам группы. ^[2] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e\in \mathrm {G} (k)}$ ${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \to \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {G} }$

Примеры

• Аддитивная группа : аффинная линия, снабженная операциями сложения и противопоставления, является алгебраической группой. Она называется аддитивной группой (потому что ее -точки изоморфны как группа аддитивной группе ), и обычно обозначается как . ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {G} _{a}}$
• Мультипликативная группа : Пусть — аффинное многообразие, определяемое уравнением в аффинной плоскости . Функции и регулярны на , и они удовлетворяют аксиомам группы (с нейтральным элементом ). Алгебраическая группа называется мультипликативной группой, потому что ее -точки изоморфны мультипликативной группе поля (изоморфизм задается формулой  ; обратите внимание, что подмножество обратимых элементов не определяет алгебраическое подмногообразие в ). ${\displaystyle \mathrm {G} _{m}}$ ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle ((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x^{-1},y^{-1})}$ ${\displaystyle \mathrm {G} _{m}}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle \mathrm {G} _{m}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,x^{-1})}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$
• Специальная линейная группа является алгебраической группой: она задается алгебраическим уравнением в аффинном пространстве (отождествляемом с пространством матриц типа -на- ), умножение матриц является регулярным, а формула для обратной матрицы в терминах присоединенной матрицы показывает, что инверсия также является регулярной на матрицах с определителем 1. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}}$ ${\displaystyle \det(g)=1}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• Общая линейная группа обратимых матриц над полем является алгебраической группой. Она может быть реализована как подмногообразие в во многом таким же образом, как мультипликативная группа в предыдущем примере. ^[3] ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n^{2}+1}}$
• Неособая кубическая кривая в проективной плоскости с указанной точкой может быть наделена геометрически определенным групповым законом, который превращает ее в алгебраическую группу (см. эллиптическая кривая ). ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

Связанные определения

Алгебраическая подгруппа алгебраической группы — это подмногообразие , которое также является подгруппой (то есть отображения и , определяющие структуру группы, отображают и , соответственно, в ). ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {H} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \to \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {H} \times \mathrm {H} }$ ${\displaystyle \mathrm {H} }$ ${\displaystyle \mathrm {H} }$

Морфизм между двумя алгебраическими группами — это регулярное отображение , которое также является гомоморфизмом групп. Его ядро ​​— алгебраическая подгруппа , его образ — алгебраическая подгруппа . ^[4] ${\displaystyle \mathrm {G} ,\mathrm {G} '}$ ${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {G} '}$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} '}$

Факторы в категории алгебраических групп более деликатны в работе. Алгебраическая подгруппа называется нормальной, если она устойчива при каждом внутреннем автоморфизме (которые являются регулярными отображениями). Если — нормальная алгебраическая подгруппа , то существует алгебраическая группа и сюръективный морфизм , такие что — ядро ​​. ^[5] Обратите внимание, что если поле не является алгебраически замкнутым, морфизм групп может не быть сюръективным (значение сюръективности по умолчанию измеряется когомологиями Галуа ). ${\displaystyle \mathrm {H} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} /\mathrm {H} }$ ${\displaystyle \pi :\mathrm {G} \to \mathrm {G} /\mathrm {H} }$ ${\displaystyle \mathrm {H} }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (k)\to \mathrm {G} (k)/\mathrm {H} (k)}$

Алгебра Ли алгебраической группы

Аналогично соответствию группа Ли–алгебра Ли , алгебраической группе над полем соответствует алгебра Ли над . Как векторное пространство алгебра Ли изоморфна касательному пространству в единичном элементе. Скобка Ли может быть построена из ее интерпретации как пространства выводов. ^[6] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Альтернативные определения

Более сложное определение алгебраической группы над полем состоит в том, что это групповая схема над (групповые схемы в более общем случае могут быть определены над коммутативными кольцами ). ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Еще одно определение концепции состоит в том, что алгебраическая группа над является групповым объектом в категории алгебраических многообразий над . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Аффинные алгебраические группы

Алгебраическая группа называется аффинной, если ее базовое алгебраическое многообразие является аффинным многообразием. Среди приведенных выше примеров аддитивные, мультипликативные группы, а также общие и специальные линейные группы являются аффинными. Используя действие аффинной алгебраической группы на ее координатном кольце , можно показать, что каждая аффинная алгебраическая группа является линейной (или матричной группой), что означает, что она изоморфна алгебраической подгруппе общей линейной группы.

Например, аддитивная группа может быть вложена в посредством морфизма . ${\displaystyle \mathrm {GL} _{2}}$ ${\displaystyle x\mapsto \left({\begin{smallmatrix}1&x\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$

Существует множество примеров таких групп, помимо приведенных ранее:

• Ортогональные и симплектические группы являются аффинными алгебраическими группами.
• унипотентные группы .
• алгебраические торы .
• некоторые полупрямые произведения , ^[7] например, группы струй , или некоторые разрешимые группы, такие как группа обратимых треугольных матриц .

Линейные алгебраические группы можно классифицировать до некоторой степени. Теорема Леви утверждает, что каждая такая группа (по сути) является полупрямым произведением унипотентной группы (ее унипотентного радикала ) с редуктивной группой . В свою очередь, редуктивные группы разлагаются как (опять же по сути) произведение их центра (алгебраического тора) с полупростой группой . Последние классифицируются над алгебраически замкнутыми полями с помощью их алгебры Ли . ^[8] Классификация над произвольными полями более сложна, но все еще хорошо понятна. ^[9] В некоторых случаях ее можно сделать очень явной, например, над действительными или p-адическими полями, и, следовательно, над числовыми полями с помощью локально-глобальных принципов .

Абелевы многообразия

Абелевы многообразия — это связные проективные алгебраические группы, например, эллиптические кривые. Они всегда коммутативны. Они естественным образом возникают в различных ситуациях в алгебраической геометрии и теории чисел, например, как якобианское многообразие кривой.

Структурная теорема для общих алгебраических групп

Не все алгебраические группы являются линейными группами или абелевыми многообразиями, например, некоторые групповые схемы, естественным образом возникающие в арифметической геометрии, не являются ни тем, ни другим. ^[10] Структурная теорема Шевалле утверждает, что каждая связная алгебраическая группа является расширением абелева многообразия с помощью линейной алгебраической группы . Точнее, если K — совершенное поле , а G — связная алгебраическая группа над K , то существует единственная нормальная замкнутая подгруппа H в G , такая, что H — связная линейная алгебраическая группа, а G / H — ​​абелево многообразие.

Связанность

Как алгебраическое многообразие , оно несет топологию Зарисского . Это, вообще говоря, не групповая топология , т.е. групповые операции могут не быть непрерывными для этой топологии (потому что топология Зарисского на произведении не является произведением топологий Зарисского на множителях ^[11] ). ${\displaystyle \mathrm {G} }$

Говорят, что алгебраическая группа связна, если лежащее в ее основе алгебраическое многообразие связно для топологии Зарисского. Для алгебраической группы это означает, что она не является объединением двух собственных алгебраических подмножеств. ^[12]

Примерами групп, которые не связаны, являются алгебраическая подгруппа корней th из единицы в мультипликативной группе (каждая точка является замкнутым по Зарискому подмножеством, поэтому она не связана для ). Эта группа обычно обозначается как . Другая несвязанная группа — это ортогональная группа в четной размерности (определитель задает сюръективный морфизм в ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {G} _{m}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$

В более общем смысле каждая конечная группа является алгебраической группой (ее можно реализовать как конечную, следовательно, замкнутую по Зарискому, подгруппу некоторой группы по теореме Кэли ). Кроме того, она является как аффинной, так и проективной. Таким образом, в частности, для целей классификации, естественно ограничить утверждения связной алгебраической группой. ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$

Алгебраические группы над локальными полями и группы Ли

Если поле является локальным полем (например, полем действительных или комплексных чисел или p-адическим полем) и является -группой, то группа наделяется аналитической топологией, вытекающей из любого вложения в проективное пространство как квазипроективное многообразие. Это топология группы, и она превращается в топологическую группу. Такие группы являются важными примерами в общей теории топологических групп. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (k)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(k)}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (k)}$

Если или , то это приводит к группе Ли . Не все группы Ли могут быть получены с помощью этой процедуры, например, универсальное покрытие SL 2 ( R ) или факторгруппа Гейзенберга по бесконечной нормальной дискретной подгруппе. ^[13] Алгебраическая группа над действительными или комплексными числами может иметь замкнутые подгруппы (в аналитической топологии), которые не имеют той же связной компоненты тождества, что и любая алгебраическая подгруппа. ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} (k)}$

Группы Кокстера и алгебраические группы

Существует ряд аналогичных результатов между алгебраическими группами и группами Коксетера – например, число элементов симметрической группы равно , а число элементов полной линейной группы над конечным полем равно (с точностью до некоторого множителя) q -факториалу ; таким образом, симметрическая группа ведет себя так, как если бы она была линейной группой над «полем с одним элементом». Это формализуется полем с одним элементом , которое рассматривает группы Коксетера как простые алгебраические группы над полем с одним элементом. ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle [n]_{q}!}$

Смотрите также

• Разнообразие персонажей
• подгруппа Бореля
• Группа ручных
• Рейтинг Морли
• Гипотеза Черлина–Зильбера
• Адельная алгебраическая группа
• Псевдоредуктивная группа

Ссылки

1. Борель 1991, стр.54.
2. Борель 1991, стр. 46.
3. Борель 1991, 1.6(2), стр. 49.
4. Борель 1991, Следствие 1.4, стр. 47.
5. Борель 1991, Теорема 6.8, стр. 98.
6. Борель 1991, 3.5, стр. 65.
7. Борель 1991, стр. 55-56.
8. Борель 1991, 24.1.
9. Борель 1991, 24.2.
10. Конрад, Брайан (2002). «Современное доказательство теоремы Шевалле об алгебраических группах». J. Ramanujan Math. Soc . 17 (1): 1–18. Zbl  1007.14005.
11. Борель 1991, стр. 16.
12. Борель 1991, стр. 47.
13. "Нелинейная группа Ли". MathOverflow . Получено 13 мая 2022 г. .

• Шевалле, Клод, изд. (1958), Семинар К. Шевалле, 1956–1958. Классификация групп алгебраической лжи, 2 тома, Париж: Secrétariat Mathématique, MR  0106966, перепечатано как том 3 собрания сочинений Шевалле., заархивировано из оригинала 04 ноября 2014 г. , получено 25 июня 2012 г.
• Борель, Арманд (1991). Линейные алгебраические группы. 2-е дополненное изд . Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. С. x+288. Zbl  0726.20030.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Линейные алгебраические группы , Graduate Texts in Mathematics , т. 21, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90108-4, МР  0396773
• Ланг, Серж (1983), Абелевы многообразия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90875-5
• Милн, Дж. С. (2017), Алгебраические группы: теория групповых схем конечного типа над полем , Cambridge University Press , doi : 10.1017/9781316711736, ISBN 978-1107167483, г-н  3729270
• Милн, Дж. С., Аффинные групповые схемы; Алгебры Ли; Группы Ли; Редуктивные группы; Арифметические подгруппы
• Мамфорд, Дэвид (1970), Абелевы многообразия , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC  138290
• Springer, Tonny A. (1998), Линейные алгебраические группы , Progress in Mathematics, т. 9 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4021-7, г-н  1642713
• Уотерхаус, Уильям К. (1979), Введение в схемы аффинных групп, Graduate Texts in Mathematics, т. 66, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90421-4
• Вейль, Андре (1971), Courbes algébriques et variétés abéliennes , Париж: Hermann, OCLC  322901

Дальнейшее чтение

• Алгебраические группы и их алгебры Ли Дэниела Миллера