Полная алгебра

Обобщение моноидного кольца

В абстрактной алгебре полная алгебра моноида является обобщением моноидного кольца , которое допускает бесконечные суммы элементов кольца. Предположим, что S — моноид со свойством, что для всех существует только конечное число упорядоченных пар , для которых . Пусть R — кольцо. Тогда полная алгебра S над R — это множество всех функций с законом сложения, заданным (поточечной) операцией: ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle (t,u)\in S\times S}$ ${\displaystyle tu=s}$ ${\displaystyle R^{S}}$ ${\displaystyle \alpha :S\to R}$

${\displaystyle (\alpha +\beta )(s)=\alpha (s)+\beta (s)}$

и с законом умножения, заданным как:

${\displaystyle (\alpha \cdot \beta )(s)=\sum _{tu=s}\alpha (t)\beta (u).}$

Сумма в правой части имеет конечный носитель и поэтому хорошо определена в R.

Эти операции превращаются в кольцо. Существует вложение R в , заданное константными функциями, которое превращается в R -алгебру. ${\displaystyle R^{S}}$ ${\displaystyle R^{S}}$ ${\displaystyle R^{S}}$

Примером может служить кольцо формальных степенных рядов , где моноид S — натуральные числа . Тогда произведение — это произведение Коши .

Ссылки

• Николя Бурбаки (1989), Алгебра , Спрингер: §III.2