Аналитический сигнал

В математике и обработке сигналов аналитический сигнал представляет собой комплексную функцию , не имеющую отрицательных частотных составляющих. ^[1]   Действительная и мнимая части аналитического сигнала представляют собой вещественнозначные функции, связанные друг с другом преобразованием Гильберта .

Аналитическим представлением вещественнозначной функции является аналитический сигнал , содержащий исходную функцию и ее преобразование Гильберта . Такое представление облегчает многие математические манипуляции. Основная идея состоит в том, что отрицательные частотные компоненты преобразования Фурье (или спектра ) вещественнозначной функции излишни из-за эрмитовой симметрии такого спектра. Эти отрицательные частотные компоненты можно отбросить без потери информации, если вместо этого мы готовы иметь дело с комплексной функцией. Это делает определенные атрибуты функции более доступными и облегчает разработку методов модуляции и демодуляции, таких как однополосный.

Пока управляемая функция не имеет отрицательных частотных составляющих (то есть она по-прежнему аналитична ), преобразование из комплексной обратно в действительную является всего лишь вопросом отбрасывания мнимой части. Аналитическое представление является обобщением концепции вектора : ^[2] хотя вектор ограничен неизменными во времени амплитудой, фазой и частотой, аналитический сигнал допускает переменные во времени параметры.

Определение

Передаточная функция для создания аналитического сигнала

Если — функция с действительным знаком с преобразованием Фурье , то преобразование имеет эрмитовую симметрию относительно оси: ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle f=0}$

${\displaystyle S(-f)=S(f)^{*},}$

где – комплексно-сопряженное число . Функция: ${\displaystyle S(f)^{*}}$ ${\displaystyle S(f)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\mathrm {a} }(f)&\triangleq {\begin{cases}2S(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S(f),&{\text{for}}\ f=0,\\0,&{\text{for}}\ f<0\end{cases}}\\&=\underbrace {2\operatorname {u} (f)} _{1+\operatorname {sgn}(f)}S(f)=S(f)+\operatorname {sgn}(f)S(f),\end{aligned}}}$

где

• ${\displaystyle \operatorname {u} (f)}$– ступенчатая функция Хевисайда ,
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(f)}$это знаковая функция ,

содержит только неотрицательные частотные компоненты . И операция обратима из-за эрмитовой симметрии : ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle S(f)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S(f)&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f=0,\\{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(-f)^{*},&{\text{for}}\ f<0\ {\text{(Hermitian symmetry)}}\end{cases}}\\&={\frac {1}{2}}[S_{\mathrm {a} }(f)+S_{\mathrm {a} }(-f)^{*}].\end{aligned}}}$

Аналитическим сигналом является обратное преобразование Фурье : ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {a} }(f)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&\triangleq {\mathcal {F}}^{-1}[S_{\mathrm {a} }(f)]\\&={\mathcal {F}}^{-1}[S(f)+\operatorname {sgn}(f)\cdot S(f)]\\&=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}+\overbrace {\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{\operatorname {sgn}(f)\}} _{j{\frac {1}{\pi t}}}*\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}} ^{\text{convolution}}\\&=s(t)+j\underbrace {\left[{1 \over \pi t}*s(t)\right]} _{\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}\\&=s(t)+j{\hat {s}}(t),\end{aligned}}}$

где

• ${\displaystyle {\hat {s}}(t)\triangleq \operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}$– преобразование Гильберта ; ${\displaystyle s(t)}$
• ${\displaystyle *}$– оператор бинарной свертки ;
• ${\displaystyle j}$это мнимая единица .

Обратите внимание, что это также можно выразить как операцию фильтрации, которая напрямую удаляет отрицательные частотные компоненты : ${\displaystyle s(t)=s(t)*\delta (t),}$

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s(t)*\underbrace {\left[\delta (t)+j{1 \over \pi t}\right]} _{{\mathcal {F}}^{-1}\{2u(f)\}}.}$

Отрицательные частотные составляющие

Поскольку восстановление отрицательных частотных составляющих представляет собой простой вопрос отбрасывания, что может показаться нелогичным. Также можно отметить, что комплексное сопряжение содержит только отрицательные частотные компоненты. И, следовательно, восстанавливает подавленные положительные частотные составляющие. Другая точка зрения состоит в том, что мнимая компонента в любом случае представляет собой член, который вычитает частотные компоненты из. Оператор удаляет вычитание, создавая видимость добавления новых компонентов. ${\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }(t)]}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} [s_{\mathrm {a} }(t)]}$ ${\displaystyle s_{\mathrm {a} }^{*}(t)}$ ${\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }^{*}(t)]}$ ${\displaystyle s(t).}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} }$

Примеры

Пример 1

${\displaystyle s(t)=\cos(\omega t),}$   где   ${\displaystyle \omega >0.}$

Затем:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(t)&=\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sin(\omega t),\\s_{\mathrm {a} }(t)&=s(t)+j{\hat {s}}(t)=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)=e^{j\omega t}.\end{aligned}}}$

Последнее равенство - это формула Эйлера , следствием которой является В общем, аналитическое представление простой синусоиды получается путем выражения ее в терминах комплексной экспоненты, отбрасывания отрицательной частотной составляющей и удвоения положительной частотной составляющей. А аналитическое представление суммы синусоид — это сумма аналитических представлений отдельных синусоид. ${\textstyle \cos(\omega t)={\frac {1}{2}}\left(e^{j\omega t}+e^{j(-\omega )t}\right).}$

Пример 2

Здесь мы используем формулу Эйлера для выявления и отбрасывания отрицательной частоты.

${\displaystyle s(t)=\cos(\omega t+\theta )={\frac {1}{2}}\left(e^{j(\omega t+\theta )}+e^{-j(\omega t+\theta )}\right)}$

Затем:

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)={\begin{cases}e^{j(\omega t+\theta )}\ \ =\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{j\theta },&{\text{if}}\ \omega >0,\\e^{-j(\omega t+\theta )}=\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{-j\theta },&{\text{if}}\ \omega <0.\end{cases}}}$

Пример 3

Это еще один пример использования метода преобразования Гильберта для удаления отрицательных частотных составляющих. Заметим, что ничто не мешает нам выполнять вычисления для комплексного значения . Но это может быть необратимое представление, поскольку исходный спектр вообще не симметричен. Таким образом, за исключением этого примера, общее обсуждение предполагает действительное значение . ${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle s(t)=e^{-j\omega t}}$, где . ${\displaystyle \omega >0}$

Затем:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(t)&=je^{-j\omega t},\\s_{\mathrm {a} }(t)&=e^{-j\omega t}+j^{2}e^{-j\omega t}=e^{-j\omega t}-e^{-j\omega t}=0.\end{aligned}}}$

Характеристики

Мгновенная амплитуда и фаза

Функция выделена синим цветом, а величина ее аналитического представления красным, что показывает эффект огибающей.

Аналитический сигнал также может быть выражен в полярных координатах :

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j\phi (t)},}$

где введены следующие изменяющиеся во времени величины:

• ${\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)\triangleq |s_{\mathrm {a} }(t)|}$называется мгновенной амплитудой или огибающей ;
• ${\displaystyle \phi (t)\triangleq \arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]}$называется мгновенной фазой или фазовым углом .

На прилагаемой диаграмме синяя кривая изображает, а красная кривая — соответствующий . ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)}$

Производная по времени развернутой мгновенной фазы имеет единицы радиан/секунду и называется мгновенной угловой частотой :

${\displaystyle \omega (t)\triangleq {\frac {d\phi }{dt}}(t).}$

Таким образом, мгновенная частота (в герцах ) равна:

${\displaystyle f(t)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\omega (t).}$  ^[3]

Мгновенная амплитуда, мгновенная фаза и частота в некоторых приложениях используются для измерения и обнаружения локальных особенностей сигнала. Другое применение аналитического представления сигнала связано с демодуляцией модулированных сигналов . Полярные координаты удобно разделяют эффекты амплитудной модуляции и фазовой (или частотной) модуляции и эффективно демодулируют определенные виды сигналов.

Комплексная огибающая/модулирующая полоса

Аналитические сигналы часто смещаются по частоте (преобразуются с понижением частоты) в сторону 0 Гц, что может создавать [несимметричные] отрицательные частотные компоненты:

$${\displaystyle {s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)\triangleq s_{\mathrm {a} }(t)e^{-j\omega _{0}t}=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j(\phi (t)-\omega _{0}t)},}$$

^[2] ${\displaystyle \omega _{0}}$

Эта функция имеет разные названия, например, комплексная огибающая и комплексная полоса частот . Сложная оболочка не уникальна; это определяется выбором . Эта концепция часто используется при работе с сигналами полосы пропускания . Если это модулированный сигнал, его можно приравнять к его несущей частоте . ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

В других случаях выбирается где-то посередине желаемой полосы пропускания. Затем простой фильтр нижних частот с реальными коэффициентами может исключить интересующую часть. Другой мотив — уменьшить самую высокую частоту, что снижает минимальную частоту выборки без псевдонимов. Сдвиг частоты не подрывает математическую управляемость представления сложного сигнала. Таким образом, в этом смысле преобразованный с понижением частоты сигнал по-прежнему является аналитическим . Однако восстановление вещественного представления уже не является простым вопросом простого извлечения вещественного компонента. Может потребоваться повышающее преобразование, а если сигнал был дискретизирован (дискретное время), может также потребоваться интерполяция ( повышающая дискретизация ), чтобы избежать наложения спектров . ${\displaystyle \omega _{0}}$

Если выбрано значение больше, чем самая высокая частота, то положительных частот не будет. В этом случае извлечение реального компонента восстанавливает их, но в обратном порядке; низкочастотные составляющие теперь становятся высокими, и наоборот. Это можно использовать для демодуляции типа однополосного сигнала, называемого нижней боковой полосой или инвертированной боковой полосой . ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t),}$ ${\displaystyle {s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)}$

Иногда рассматриваются другие варианты опорной частоты:

• Иногда выбирают для минимизации ${\displaystyle \omega _{0}}$
  $${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}|S_{\mathrm {a} }(\omega )|^{2}\,d\omega .}$$
• В качестве альтернативы можно выбрать ^[4] для минимизации среднеквадратической ошибки при линейной аппроксимации развернутой мгновенной фазы : ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \phi (t)}$
  $${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt}$$
• или другая альтернатива (для некоторого оптимума ): ${\displaystyle \theta }$
  $${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.}$$

В области частотно-временной обработки сигналов было показано, что аналитический сигнал необходим для определения распределения Вигнера – Вилля, чтобы метод мог иметь желаемые свойства, необходимые для практического применения. ^[5]

Иногда фразе «комплексная огибающая» придают более простое значение комплексной амплитуды вектора (постоянной частоты); ^{[a] [b]} в других случаях комплексная огибающая , определенная выше, интерпретируется как зависящее от времени обобщение комплексной амплитуды. ^[c] Их соотношение мало чем отличается от действительного случая: изменяющаяся огибающая обобщает постоянную амплитуду . ${\displaystyle s_{m}(t)}$

Расширение аналитического сигнала на сигналы нескольких переменных

Концепция аналитического сигнала четко определена для сигналов одной переменной, которой обычно является время. Для сигналов двух и более переменных аналитический сигнал может быть определен по-разному, и ниже представлены два подхода.

Многомерный аналитический сигнал, основанный на специальном направлении

Прямое обобщение аналитического сигнала можно сделать для многомерного сигнала, как только будет установлено, что в этом случае подразумевается под отрицательными частотами . Это можно сделать, введя единичный вектор в область Фурье и пометив любой вектор частоты как отрицательный, если . Затем аналитический сигнал создается путем удаления всех отрицательных частот и умножения результата на 2 в соответствии с процедурой, описанной для случая сигналов с одной переменной. Однако не существует конкретного направления, по которому следует выбирать, если только нет каких-либо дополнительных ограничений. Таким образом, выбор зависит от конкретного случая или конкретного приложения. ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\cdot {\boldsymbol {\hat {u}}}<0}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$

Моногенный сигнал

Действительная и мнимая части аналитического сигнала соответствуют двум элементам векторнозначного моногенного сигнала, как это определено для сигналов с одной переменной. Однако моногенный сигнал можно напрямую расширить до произвольного числа переменных, создав ( n + 1) -мерную векторную функцию для случая сигналов с n -переменными.

Смотрите также

• Практические соображения по вычислению преобразований Гильберта
• I/Q-данные
• Отрицательная частота

Приложения

• Однополосная модуляция
• Квадратурный фильтр
• Причинный фильтр

Примечания

1. «комплексная огибающая (или комплексная амплитуда)» ^[6]
2. «Комплексная огибающая (или комплексная амплитуда)», с. 586 ^[7]
3. «Комплексная огибающая — это расширенная интерпретация комплексной амплитуды как функции времени». п. 85 ^[8]

Рекомендации

1. Смит, Дж. О. «Аналитические сигналы и фильтры преобразования Гильберта», в книге «Математика дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с аудиоприложениями, второе издание», https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html, или https://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html, онлайн-книга, издание 2007 г., по состоянию на 29 апреля 2021 г.
2. Брейсуэлл, Рон. Преобразование Фурье и его приложения . МакГроу-Хилл, 2000. стр. 361–362.
3. Б. Боашаш, «Оценка и интерпретация мгновенной частоты сигнала. Часть I: Основы», Труды IEEE, Vol. 80, № 4, стр. 519–538, апрель 1992 г.
4. Джастис, Дж. (1 декабря 1979 г.). «Аналитическая обработка сигналов в музыкальных вычислениях». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 27 (6): 670–684. дои :10.1109/ТАССП.1979.1163321. ISSN  0096-3518.
5. Б. Боашаш, «Заметки об использовании распределения Вигнера для частотно-временного анализа сигналов», IEEE Trans. по акустике, речи и обработке сигналов, том. 26, нет. 9, 1987 г.
6. Главач, Франц; Оже, Франсуа (01 марта 2013 г.). Частотно-временной анализ. Джон Уайли и сыновья. ISBN 9781118623831.
7. Дриггерс, Рональд Г. (1 января 2003 г.). Энциклопедия оптической техники: Абе-Лас, страницы 1–1024. ЦРК Пресс. ISBN 9780824742508.
8. Окамото, Кеничи (1 января 2001 г.). Дистанционное зондирование глобальной окружающей среды. ИОС Пресс. ISBN 9781586031015.

дальнейшее чтение

• Леон Коэн, Частотно-временной анализ , Прентис-Холл, Аппер-Седл-Ривер, 1995.
• Фредерик В. Кинг, Преобразования Гильберта , том. II, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2009.
• Б. Боашаш, Частотно-временной анализ и обработка сигналов: полный справочник , Elsevier Science, Оксфорд, 2003.

Внешние ссылки

• Аналитические сигналы и фильтры преобразования Гильберта