Ансамбль (математическая физика)

Идеализация большого числа систем атомного размера

В физике , в частности в статистической механике , ансамбль (также статистический ансамбль ) — это идеализация, состоящая из большого числа виртуальных копий (иногда бесконечно многих) системы , рассматриваемых одновременно, каждая из которых представляет возможное состояние, в котором может находиться реальная система. Другими словами, статистический ансамбль — это набор систем частиц, используемых в статистической механике для описания одной системы. ^[1] Понятие ансамбля было введено Дж. Уиллардом Гиббсом в 1902 году. ^[2]

Термодинамический ансамбль — это особая разновидность статистического ансамбля, которая, помимо прочих свойств, находится в статистическом равновесии (определено ниже) и используется для вывода свойств термодинамических систем из законов классической или квантовой механики. ^{[3] [4]}

Физические соображения

Ансамбль формализует представление о том, что экспериментатор, повторяющий эксперимент снова и снова в одних и тех же макроскопических условиях, но не имеющий возможности контролировать микроскопические детали, может ожидать наблюдения ряда различных результатов.

Умозрительный размер ансамблей в термодинамике, статистической механике и квантовой статистической механике может быть очень большим, включая все возможные микроскопические состояния, в которых может находиться система, в соответствии с ее наблюдаемыми макроскопическими свойствами. Для многих важных физических случаев можно вычислить средние значения непосредственно по всему термодинамическому ансамблю, чтобы получить явные формулы для многих интересующих термодинамических величин, часто в терминах соответствующей функции распределения .

Концепция равновесного или стационарного ансамбля имеет решающее значение для многих приложений статистических ансамблей. Хотя механическая система, безусловно, развивается со временем, ансамбль не обязательно должен развиваться. Фактически, ансамбль не будет развиваться, если он содержит все прошлые и будущие фазы системы. Такой статистический ансамбль, который не меняется со временем, называется стационарным и может быть назван находящимся в статистическом равновесии . ^[2]

Терминология

• Слово «ансамбль» также используется для меньшего набора возможностей, выбранных из полного набора возможных состояний. Например, набор пешеходов в итерации Монте-Карло цепи Маркова в некоторой литературе называется ансамблем.
• Термин «ансамбль» часто используется в физике и литературе, связанной с физикой. В теории вероятностей более распространен термин «вероятностное пространство» .

Основные типы

Визуальное представление пяти статистических ансамблей (слева направо): микроканонический ансамбль , канонический ансамбль , большой канонический ансамбль , изобарно-изотермический ансамбль , изоэнтальпийно-изобарический ансамбль

Изучение термодинамики касается систем, которые кажутся человеческому восприятию «статичными» (несмотря на движение их внутренних частей), и которые могут быть описаны просто набором макроскопически наблюдаемых переменных. Эти системы могут быть описаны статистическими ансамблями, которые зависят от нескольких наблюдаемых параметров и находятся в статистическом равновесии. Гиббс отметил, что различные макроскопические ограничения приводят к различным типам ансамблей с определенными статистическими характеристиками.

«Мы можем представить себе большое количество систем одной и той же природы, но различающихся по конфигурациям и скоростям, которые они имеют в данный момент, и различающихся не просто бесконечно мало, но и может быть так, что они охватывают все мыслимые комбинации конфигураций и скоростей...» Дж. У. Гиббс (1903) ^[5]

Гиббс определил три важных термодинамических ансамбля: ^[2]

• Микроканонический ансамбль (или ансамбль NVE ) — статистический ансамбль, в котором полная энергия системы и число частиц в системе фиксированы на определенных значениях; каждый из членов ансамбля должен иметь одинаковую полную энергию и число частиц. Система должна оставаться полностью изолированной (неспособной обмениваться энергией или частицами с окружающей средой), чтобы оставаться в статистическом равновесии. ^[2]
• Канонический ансамбль (или ансамбль NVT ) — статистический ансамбль, в котором энергия точно неизвестна, но число частиц фиксировано. Вместо энергии указывается температура . Канонический ансамбль подходит для описания замкнутой системы, которая находится или находилась в слабом тепловом контакте с термостатом. Чтобы находиться в статистическом равновесии, система должна оставаться полностью замкнутой (неспособной обмениваться частицами с окружающей средой) и может вступать в слабый тепловой контакт с другими системами, которые описываются ансамблями с той же температурой. ^[2]
• Большой канонический ансамбль (или ансамбль μVT ) — статистический ансамбль, в котором ни энергия, ни число частиц не фиксированы. Вместо них указываются температура и химический потенциал . Большой канонический ансамбль подходит для описания открытой системы: системы, которая находится или находилась в слабом контакте с резервуаром (тепловой контакт, химический контакт, радиационный контакт, электрический контакт и т. д.). Ансамбль остается в статистическом равновесии, если система вступает в слабый контакт с другими системами, которые описываются ансамблями с той же температурой и химическим потенциалом. ^[2]

Расчеты, которые можно выполнить с использованием каждого из этих ансамблей, более подробно рассматриваются в соответствующих статьях. Также могут быть определены другие термодинамические ансамбли, соответствующие различным физическим требованиям, для которых часто можно вывести аналогичные формулы. Например, в ансамбле реакций флуктуации числа частиц могут происходить только в соответствии со стехиометрией химических реакций , которые присутствуют в системе. ^[6]

Эквивалентность

В термодинамическом пределе все ансамбли должны производить идентичные наблюдаемые величины из-за преобразований Лежандра ; отклонения от этого правила возникают в условиях, когда переменные состояния невыпуклые, например, при малых молекулярных измерениях. ^[7]

Представления

Точное математическое выражение для статистического ансамбля имеет различную форму в зависимости от типа рассматриваемой механики (квантовая или классическая). В классическом случае ансамбль представляет собой распределение вероятностей по микросостояниям. В квантовой механике это понятие, введенное фон Нейманом , является способом назначения распределения вероятностей по результатам каждого полного набора коммутирующих наблюдаемых . В классической механике ансамбль вместо этого записывается как распределение вероятностей в фазовом пространстве ; микросостояния являются результатом разбиения фазового пространства на равные по размеру единицы, хотя размер этих единиц может быть выбран несколько произвольно.

Требования к представлениям

Оставив на время вопрос о том, как статистические ансамбли генерируются операционально , мы должны иметь возможность выполнять следующие две операции над ансамблями A , B одной и той же системы:

• Проверьте, являются ли A и B статистически эквивалентными.
• Если p — действительное число, такое что 0 < p < 1 , то создаем новый ансамбль путем вероятностной выборки из A с вероятностью p и из B с вероятностью 1 − p .

Таким образом, при определенных условиях классы эквивалентности статистических ансамблей имеют структуру выпуклого множества.

Квантово-механический

Статистический ансамбль в квантовой механике (также известный как смешанное состояние) чаще всего представляется матрицей плотности , обозначаемой . Матрица плотности предоставляет полностью общий инструмент, который может включать как квантовые неопределенности (присутствующие, даже если состояние системы было полностью известно), так и классические неопределенности (из-за отсутствия знаний) единым образом. Любая физическая наблюдаемая X в квантовой механике может быть записана как оператор . Ожидаемое значение этого оператора в статистическом ансамбле задается следующим следом : ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \langle X\rangle =\operatorname {Tr} ({\hat {X}}\rho ).}$

Это можно использовать для оценки средних значений (оператор ), дисперсий (с использованием оператора ), ковариаций (с использованием оператора ) и т. д. Матрица плотности всегда должна иметь след 1: (по сути, это условие, при котором вероятности должны в сумме давать единицу). ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {X}}^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {X}}{\hat {Y}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} {\hat {\rho }}=1}$

В общем случае ансамбль развивается со временем в соответствии с уравнением фон Неймана .

Равновесные ансамбли (те, которые не развиваются с течением времени, ) могут быть записаны исключительно как функции сохраняющихся переменных. Например, микроканонический ансамбль и канонический ансамбль являются строго функциями полной энергии, которая измеряется оператором полной энергии (гамильтонианом). Большой канонический ансамбль является дополнительно функцией числа частиц, измеряемого оператором полного числа частиц . Такие равновесные ансамбли являются диагональной матрицей в ортогональном базисе состояний, которые одновременно диагонализируют каждую сохраняющуюся переменную. В обозначении скобок матрица плотности имеет вид ${\displaystyle d{\hat {\rho }}/dt=0}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {N}}}$

${\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum _{i}P_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,}$

где | ψ _i ⟩ , индексированные i , являются элементами полного и ортогонального базиса. (Обратите внимание, что в других базисах матрица плотности не обязательно диагональна.)

Классическая механическая

Эволюция ансамбля классических систем в фазовом пространстве (вверху). Каждая система состоит из одной массивной частицы в одномерной потенциальной яме (красная кривая, нижний рисунок). Первоначально компактный ансамбль со временем закручивается.

В классической механике ансамбль представлен функцией плотности вероятности, определенной на фазовом пространстве системы . ^[2] В то время как отдельная система развивается согласно уравнениям Гамильтона , функция плотности (ансамбль) развивается со временем согласно уравнению Лиувилля .

В механической системе с определенным числом частей фазовое пространство имеет n обобщенных координат, называемых q ₁ , ... q _n , и n связанных канонических импульсов, называемых p ₁ , ... p _n . Ансамбль тогда представляется совместной функцией плотности вероятности ρ ( p ₁ , ... p _n , q ₁ , ... q _n ) .

Если число частей в системе может варьироваться среди систем в ансамбле (как в большом ансамбле, где число частиц является случайной величиной), то это распределение вероятностей в расширенном фазовом пространстве, которое включает дополнительные переменные, такие как числа частиц N ₁ (первый вид частиц), N ₂ (второй вид частиц) и так далее до N _s (последний вид частиц; s — это количество различных видов частиц). Затем ансамбль представляется совместной функцией плотности вероятности ρ ( N ₁ , ... N _s , p ₁ , ... p _n , q ₁ , ... q _n ) . Число координат n меняется в зависимости от числа частиц.

Любая механическая величина X может быть записана как функция фазы системы. Ожидаемое значение любой такой величины задается интегралом по всему фазовому пространству этой величины, взвешенной по ρ :

${\displaystyle \langle X\rangle =\sum _{N_{1}=0}^{\infty }\ldots \sum _{N_{s}=0}^{\infty }\int \ldots \int \rho X\,dp_{1}\ldots dq_{n}.}$

Применяется условие нормализации вероятности, требующее

${\displaystyle \sum _{N_{1}=0}^{\infty }\ldots \sum _{N_{s}=0}^{\infty }\int \ldots \int \rho \,dp_{1}\ldots dq_{n}=1.}$

Фазовое пространство — это непрерывное пространство, содержащее бесконечное число различных физических состояний в любой малой области. Чтобы связать плотность вероятности в фазовом пространстве с распределением вероятности по микросостояниям, необходимо каким-то образом разбить фазовое пространство на блоки, которые распределены, представляя различные состояния системы справедливым образом. Оказывается, что правильный способ сделать это просто приводит к блокам одинакового размера канонического фазового пространства, и поэтому микросостояние в классической механике — это расширенная область в фазовом пространстве канонических координат, имеющая определенный объем. ^{[примечание 1]} В частности, функция плотности вероятности в фазовом пространстве, ρ , связана с распределением вероятности по микросостояниям, P, с помощью фактора

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{h^{n}C}}P,}$

где

• h — произвольная, но предопределенная константа с единицами измерения энергия×время , устанавливающая степень микросостояния и обеспечивающая правильные размеры для ρ . ^{[примечание 2]}
• C — поправочный коэффициент пересчета (см. ниже), обычно зависящий от числа частиц и подобных факторов.

Поскольку h может быть выбран произвольно, то и условный размер микросостояния также произволен. Тем не менее, значение h влияет на смещения таких величин, как энтропия и химический потенциал, поэтому важно быть последовательным со значением h при сравнении различных систем.

Исправление пересчета в фазовом пространстве

Обычно фазовое пространство содержит дубликаты одного и того же физического состояния в нескольких различных местах. Это является следствием способа, которым физическое состояние кодируется в математических координатах; простейший выбор системы координат часто позволяет кодировать состояние несколькими способами. Примером этого является газ идентичных частиц, состояние которых записывается в терминах индивидуальных положений и импульсов частиц: когда две частицы обмениваются, результирующая точка в фазовом пространстве отличается, и все же она соответствует идентичному физическому состоянию системы. В статистической механике (теории о физических состояниях) важно осознавать, что фазовое пространство — это всего лишь математическая конструкция, и не наивно пересчитывать фактические физические состояния при интегрировании по фазовому пространству. Пересчет может вызвать серьезные проблемы:

• Зависимость производных величин (таких как энтропия и химический потенциал) от выбора системы координат, поскольку одна система координат может показывать больший или меньший пересчет, чем другая. ^{[примечание 3]}
• Ошибочные выводы, которые не согласуются с физическим опытом, как в парадоксе смешивания . ^[2]
• Фундаментальные вопросы определения химического потенциала и большого канонического ансамбля . ^[2]

В общем случае трудно найти систему координат, которая однозначно кодирует каждое физическое состояние. В результате обычно приходится использовать систему координат с несколькими копиями каждого состояния, а затем распознавать и удалять пересчет.

Грубым способом устранения пересчета было бы вручную определить подобласть фазового пространства, которая включает каждое физическое состояние только один раз, а затем исключить все остальные части фазового пространства. Например, в газе можно было бы включить только те фазы, где x- координаты частиц отсортированы в порядке возрастания. Хотя это решило бы проблему, результирующий интеграл по фазовому пространству было бы утомительно выполнять из-за его необычной формы границы. (В этом случае фактор C, введенный выше, был бы установлен на C = 1 , и интеграл был бы ограничен выбранной подобластью фазового пространства.)

Более простой способ исправить пересчет — это проинтегрировать по всему фазовому пространству, но уменьшить вес каждой фазы, чтобы точно компенсировать пересчет. Это достигается с помощью фактора C, введенного выше, который является целым числом, представляющим, сколько способов физическое состояние может быть представлено в фазовом пространстве. Его значение не меняется с непрерывными каноническими координатами, ^{[примечание 4],} поэтому пересчет можно исправить просто путем интегрирования по всему диапазону канонических координат, а затем деления результата на фактор пересчета. Однако C сильно меняется с дискретными переменными, такими как число частиц, и поэтому его необходимо применять перед суммированием по числу частиц.

Как упоминалось выше, классический пример этого пересчета — это жидкая система, содержащая различные виды частиц, где любые две частицы одного вида неразличимы и взаимозаменяемы. Когда состояние записано в терминах индивидуальных положений и импульсов частиц, то пересчет, связанный с обменом идентичных частиц, корректируется с помощью ^[2]

${\displaystyle C=N_{1}!N_{2}!\ldots N_{s}!.}$

Это известно как «правильный подсчет Больцмана».

Ансамбли в статистике

Формулировка статистических ансамблей, используемая в физике, теперь широко принята в других областях, отчасти потому, что было признано, что канонический ансамбль или мера Гиббса служит для максимизации энтропии системы, подчиняющейся набору ограничений: это принцип максимальной энтропии . Этот принцип теперь широко применяется к проблемам в лингвистике , робототехнике и тому подобном.

Кроме того, статистические ансамбли в физике часто строятся на принципе локальности : все взаимодействия происходят только между соседними атомами или близлежащими молекулами. Так, например, решеточные модели , такие как модель Изинга , моделируют ферромагнитные материалы посредством взаимодействий ближайших соседей между спинами. Статистическая формулировка принципа локальности теперь рассматривается как форма свойства Маркова в широком смысле; ближайшие соседи теперь являются марковскими одеялами . Таким образом, общее понятие статистического ансамбля с взаимодействиями ближайших соседей приводит к марковским случайным полям , которые снова находят широкое применение; например, в сетях Хопфилда .

Средний ансамбль

В статистической механике среднее по ансамблю определяется как среднее значение величины, которая является функцией микросостояния системы , в соответствии с распределением системы по ее микросостояниям в этом ансамбле .

Поскольку среднее значение ансамбля зависит от выбранного ансамбля , его математическое выражение меняется от ансамбля к ансамблю. Однако среднее значение , полученное для заданной физической величины, не зависит от выбранного ансамбля в термодинамическом пределе . Большой канонический ансамбль является примером открытой системы . ^[8]

Классическая статистическая механика

Для классической системы, находящейся в тепловом равновесии с окружающей средой, среднее по ансамблю принимает форму интеграла по фазовому пространству системы:

${\displaystyle {\bar {A}}={\frac {\int {Ae^{-\beta H(q_{1},q_{2},\dots ,q_{M},p_{1},p_{2},\dots ,p_{N})}\,d\tau }}{\int {e^{-\beta H(q_{1},q_{2},\dots ,q_{M},p_{1},p_{2},\dots ,p_{N})}\,d\tau }}},}$

где

${\displaystyle {\bar {A}}}$- среднее по ансамблю свойство системы A ,

${\displaystyle \beta }$, известный как термодинамическая бета , ${\displaystyle {\frac {1}{kT}}}$

H — гамильтониан классической системы в терминах набора координат и их сопряженных обобщенных импульсов , ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle d\tau }$— элемент объема классического фазового пространства, представляющий интерес.

Знаменатель в этом выражении называется статистической суммой и обозначается буквой Z.

Квантовая статистическая механика

В квантовой статистической механике для квантовой системы, находящейся в тепловом равновесии с окружающей средой, средневзвешенное значение принимает форму суммы по квантовым энергетическим состояниям , а не непрерывного интеграла: ^{[ необходимо разъяснение ]}

${\displaystyle {\bar {A}}={\frac {\sum _{i}A_{i}e^{-\beta E_{i}}}{\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}}}.}$

Каноническое среднее ансамбля

Обобщенная версия статистической суммы обеспечивает полную основу для работы со средними по ансамблю в термодинамике, теории информации , статистической механике и квантовой механике .

Микроканонический ансамбль представляет собой изолированную систему, в которой энергия ( E ), объем ( V ) и число частиц ( N ) являются постоянными. Канонический ансамбль представляет собой замкнутую систему, которая может обмениваться энергией ( E ) с окружающей средой (обычно с термостатом), но объем ( V ) и число частиц ( N ) являются постоянными. Большой канонический ансамбль представляет собой открытую систему, которая может обмениваться энергией ( E ) и частицами ( N ) с окружающей средой, но объем ( V ) сохраняется постоянным.

Оперативная интерпретация

В обсуждении, данном до сих пор, хотя и строгом, мы приняли как должное, что понятие ансамбля является действительным априори, как это обычно делается в физическом контексте. Что не было показано, так это то, что сам ансамбль (а не последующие результаты) является точно определенным математически объектом. Например,

• Неясно, где существует этот очень большой набор систем (например, является ли это газом частиц внутри контейнера ?)
• Неясно, как физически сформировать ансамбль.

В этом разделе мы попытаемся частично ответить на этот вопрос.

Предположим, у нас есть процедура подготовки системы в физической лаборатории: например, процедура может включать в себя физический аппарат и некоторые протоколы для манипулирования аппаратом. В результате этой процедуры подготовки некоторая система производится и поддерживается в изоляции в течение некоторого небольшого периода времени. Повторяя эту лабораторную процедуру подготовки, мы получаем последовательность систем X ₁ , X ₂ , ..., X _k , которая в нашей математической идеализации, как мы предполагаем, является бесконечной последовательностью систем. Системы похожи в том, что все они были произведены одним и тем же способом. Эта бесконечная последовательность является ансамблем.

В лабораторных условиях каждая из этих подготовленных систем может использоваться в качестве входных данных для одной последующей процедуры тестирования . Опять же, процедура тестирования включает в себя физическое устройство и некоторые протоколы; в результате процедуры тестирования мы получаем ответ «да» или «нет» . Применив процедуру тестирования E к каждой подготовленной системе, мы получаем последовательность значений Meas ( E , X ₁ ), Meas ( E , X ₂ ), ..., Meas ( E , X _k ). Каждое из этих значений равно 0 (или нет) или 1 (да).

Предположим, что существует следующее среднее значение по времени:

${\displaystyle \sigma (E)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\operatorname {Meas} (E,X_{k})}$

Для квантово-механических систем важным предположением, сделанным в подходе квантовой логики к квантовой механике, является идентификация вопросов типа «да-нет» для решетки замкнутых подпространств гильбертова пространства. С некоторыми дополнительными техническими предположениями можно затем сделать вывод, что состояния задаются операторами плотности S , так что:

${\displaystyle \sigma (E)=\operatorname {Tr} (ES).}$

Мы видим, что это отражает определение квантовых состояний в целом: квантовое состояние представляет собой отображение наблюдаемых величин в их ожидаемые значения.

Смотрите также

• Матрица плотности
• Ансамбль (механика жидкости)
• Фазовое пространство
• Теорема Лиувилля (Гамильтониан)
• Статистика Максвелла-Больцмана
• Репликация (статистика)

Примечания

1. Это равнообъемное разбиение является следствием теоремы Лиувилля , т.е. принципа сохранения расширения в каноническом фазовом пространстве для гамильтоновой механики. Это также можно продемонстрировать, исходя из концепции ансамбля как множества систем. См. Элементарные принципы Гиббса , Глава I.
2. (Историческая справка) Оригинальный ансамбль Гиббса фактически установил h = 1 [единица энергии]×[единица времени] , что привело к зависимости от единицы в значениях некоторых термодинамических величин, таких как энтропия и химический потенциал. С появлением квантовой механики h часто принималось равным постоянной Планка , чтобы получить полуклассическое соответствие с квантовой механикой.
3. В некоторых случаях ошибка пересчета является безвредной. Примером может служить выбор системы координат, используемой для представления ориентаций трехмерных объектов . Простым кодированием является 3-сфера (например, единичные кватернионы ), которая является двойным покрытием — каждая физическая ориентация может быть закодирована двумя способами. Если это кодирование используется без исправления пересчета, то энтропия будет выше на k log 2 на вращающийся объект, а химический потенциал ниже на kT log 2 . Это на самом деле не приводит к какой-либо наблюдаемой ошибке, поскольку вызывает только ненаблюдаемые смещения.
4. Технически существуют некоторые фазы, в которых перестановка частиц даже не приводит к появлению отдельной конкретной фазы: например, две похожие частицы могут иметь одну и ту же траекторию, внутреннее состояние и т. д. Однако в классической механике эти фазы составляют лишь бесконечно малую часть фазового пространства (они имеют меру ноль) и поэтому не вносят вклад ни в какой объемный интеграл в фазовом пространстве.

Ссылки

1. Ренни, Ричард; Джонатан Лоу (2019). Оксфордский словарь физики . стр. 458 и далее. ISBN 978-0198821472.
2. Гиббс, Джозайя Уиллард (1902). Элементарные принципы статистической механики . Нью-Йорк: Charles Scribner's Sons .
3. Киттель, Чарльз ; Герберт Кремер (1980). Теплофизика, второе издание . Сан-Франциско: WH Freeman and Company. стр. 31 и далее. ISBN 0-7167-1088-9.
4. Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1980). Статистическая физика . Pergamon Press. стр. 9 и далее. ISBN 0-08-023038-5.
5. Гиббс, Дж. У. (1928). Собрание сочинений, т. 2. Green & Co, Лондон, Нью-Йорк: Longmans.
6. Хит Тернер, К.; Бреннан, Джон К.; Лисаль, Мартин; Смит, Уильям Р.; Карл Джонсон, Дж.; Габбинс, Кит Э. (2008). «Моделирование равновесий химических реакций методом Монте-Карло ансамбля реакций: обзор». Молекулярное моделирование . 34 (2). Informa UK Limited: 119–146. doi : 10.1080/08927020801986564. ISSN  0892-7022.
7. Süzen, M; Sega, M; Holm, C (18 мая 2009 г.). ""Неэквивалентность ансамбля в экспериментах с одной молекулой"". Physical Review E . 79 (5): 051118. arXiv : 0810.3407 . doi :10.1103/PhysRevE.79.051118 . Получено 03.03.2024 .
8. "Статистическая механика классических систем" (PDF) . Кафедра физики и астрономии Университета Джорджа Мейсона . Получено 3 ноября 2023 г. .

Внешние ссылки

• Апплет Монте-Карло, применяемый в задачах статистической физики. ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}