Формализм Баталина–Вилковиского.

Обобщение формализма BRST

В теоретической физике формализм Баталина –Вилковыского ( БВ ) (названный в честь Игоря Баталина и Григория Вилковыского ) был разработан как метод определения призрачной структуры для лагранжевых калибровочных теорий , таких как гравитация и супергравитация , соответствующая гамильтонова формулировка которых имеет ограничения, не связанные с алгеброй Ли (т. е. роль структурных констант алгебры Ли играют более общие структурные функции). Формализм БВ, основанный на действии , которое содержит как поля, так и «антиполя», можно рассматривать как обширное обобщение исходного формализма BRST для чистой теории Янга–Миллса на произвольную лагранжеву калибровочную теорию. Другие названия формализма Баталина–Вилковыского — формализм поля-антиполя , лагранжевый BRST формализм или формализм БВ–БРСТ . Его не следует путать с формализмом Баталина–Фрадкина–Вилковыского (БФВ), который является гамильтоновым аналогом.

Алгебры Баталина–Вилковыского

В математике алгебра Баталина–Вилковыского — это градуированная суперкоммутативная алгебра (с единицей 1) с нильпотентным оператором второго порядка Δ степени −1. Точнее, она удовлетворяет тождествам

• ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$ (Продукт ассоциативный)
• ${\displaystyle ab=(-1)^{|a||b|}ba}$ (Произведение (супер-)коммутативно)
• ${\displaystyle |ab|=|a|+|b|}$ (Продукт имеет степень 0)
• ${\displaystyle |\Delta (a)|=|a|-1}$ (Δ имеет степень −1)
• ${\displaystyle \Delta ^{2}=0}$(Нильпотентность (порядка 2))
• Оператор Δ имеет второй порядок:

${\displaystyle {\begin{aligned}0=&\Delta (abc)\\&-\Delta (ab)c-(-1)^{|a|}a\Delta (bc)-(-1)^{(|a|+1)|b|}b\Delta (ac)\\&+\Delta (a)bc+(-1)^{|a|}a\Delta (b)c+(-1)^{|a|+|b|}ab\Delta (c)\\&-\Delta (1)abc\end{aligned}}}$

Часто также требуется нормализация:

• ${\displaystyle \Delta (1)=0}$(нормализация)

Антискобка

Алгебра Баталина–Вилковыского становится алгеброй Герстенхабера, если определить скобку Герстенхабера следующим образом:

${\displaystyle (a,b):=(-1)^{\left|a\right|}\Delta (ab)-(-1)^{\left|a\right|}\Delta (a)b-a\Delta (b)+a\Delta (1)b.}$

Другие названия скобки Герстенхабера — скобка Баттина , антискобка или нечетная скобка Пуассона . Антискобка удовлетворяет

• ${\displaystyle |(a,b)|=|a|+|b|-1}$(Антискобка (,) имеет степень −1)
• ${\displaystyle (a,b)=-(-1)^{(|a|+1)(|b|+1)}(b,a)}$ (Кососимметрия)
• ${\displaystyle (-1)^{(|a|+1)(|c|+1)}(a,(b,c))+(-1)^{(|b|+1)(|a|+1)}(b,(c,a))+(-1)^{(|c|+1)(|b|+1)}(c,(a,b))=0}$(Тождество Якоби)
• ${\displaystyle (ab,c)=a(b,c)+(-1)^{|a||b|}b(a,c)}$ (Свойство Пуассона; правило Лейбница )

Нечетный Лапласиан

Нормализованный оператор определяется как

${\displaystyle {\Delta }_{\rho }:=\Delta -\Delta (1).}$

Его часто называют нечетным Лапласианом , в частности, в контексте нечетной геометрии Пуассона. Он «дифференцирует» антискобку

• ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }(a,b)=({\Delta }_{\rho }(a),b)-(-1)^{\left|a\right|}(a,{\Delta }_{\rho }(b))}$ ( Оператор дифференцирует (,)) ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }}$

Квадрат нормализованного оператора представляет собой гамильтоново векторное поле с нечетным гамильтонианом Δ(1) ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }^{2}=(\Delta (1),\cdot )}$ ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }}$

• ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }^{2}(ab)={\Delta }_{\rho }^{2}(a)b+a{\Delta }_{\rho }^{2}(b)}$ (Правило Лейбница)

которое также известно как модульное векторное поле . Предполагая нормализацию Δ(1)=0, нечетный Лапласиан — это просто оператор Δ, а модульное векторное поле исчезает. ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }}$ ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }^{2}}$

Компактная формулировка в терминах вложенных коммутаторов

Если ввести левый оператор умножения как ${\displaystyle L_{a}}$

${\displaystyle L_{a}(b):=ab,}$

и суперкоммутатор [,] как

${\displaystyle [S,T]:=ST-(-1)^{\left|S\right|\left|T\right|}TS}$

для двух произвольных операторов S и T определение антискобки можно записать компактно как

${\displaystyle (a,b):=(-1)^{\left|a\right|}[[\Delta ,L_{a}],L_{b}]1,}$

и условие второго порядка для Δ можно записать компактно как

${\displaystyle [[[\Delta ,L_{a}],L_{b}],L_{c}]1=0}$ (Оператор Δ имеет второй порядок)

где подразумевается, что соответствующий оператор действует на единичный элемент 1. Другими словами, является оператором первого порядка (аффинным), а является оператором нулевого порядка. ${\displaystyle [\Delta ,L_{a}]}$ ${\displaystyle [[\Delta ,L_{a}],L_{b}]}$

Основное уравнение

Классическим основным уравнением для элемента четной степени S (называемого действием ) алгебры Баталина–Вилковыского является уравнение

${\displaystyle (S,S)=0.}$

Квантовое основное уравнение для элемента четной степени W алгебры Баталина–Вилковыского — это уравнение

${\displaystyle \Delta \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}W\right]=0,}$

или эквивалентно,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(W,W)=i\hbar {\Delta }_{\rho }(W)+\hbar ^{2}\Delta (1).}$

Предполагая нормализацию Δ(1) = 0, квантовое основное уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(W,W)=i\hbar \Delta (W).}$

Обобщенные алгебры BV

В определении обобщенной алгебры BV отбрасывается предположение второго порядка для Δ. Тогда можно определить бесконечную иерархию высших скобок степени −1

${\displaystyle \Phi ^{n}(a_{1},\ldots ,a_{n}):=\underbrace {[[\ldots [\Delta ,L_{a_{1}}],\ldots ],L_{a_{n}}]} _{n~{\rm {nested~commutators}}}1.}$

Скобки (градуированные) симметричные

${\displaystyle \Phi ^{n}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (n)})=(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{n}(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ (Симметричные скобки)

где — перестановка, а — знак Кошуля перестановки ${\displaystyle \pi \in S_{n}}$ ${\displaystyle (-1)^{\left|a_{\pi }\right|}}$

${\displaystyle a_{\pi (1)}\ldots a_{\pi (n)}=(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}a_{1}\ldots a_{n}}$.

Скобки образуют гомотопическую алгебру Ли , также известную как алгебра, которая удовлетворяет обобщенным тождествам Якоби. ${\displaystyle L_{\infty }}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!(n\!-\!k)!}}\sum _{\pi \in S_{n}}(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{n-k+1}\left(\Phi ^{k}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (k)}),a_{\pi (k+1)},\ldots ,a_{\pi (n)}\right)=0.}$ (Обобщенные тождества Якоби)

Первые несколько скобок:

• ${\displaystyle \Phi ^{0}:=\Delta (1)}$ (Нулевая скобка)
• ${\displaystyle \Phi ^{1}(a):=[\Delta ,L_{a}]1=\Delta (a)-\Delta (1)a=:{\Delta }_{\rho }(a)}$ (Односкобка)
• ${\displaystyle \Phi ^{2}(a,b):=[[\Delta ,L_{a}],L_{b}]1=:(-1)^{\left|a\right|}(a,b)}$ (Две скобки)
• ${\displaystyle \Phi ^{3}(a,b,c):=[[[\Delta ,L_{a}],L_{b}],L_{c}]1}$ (Три скобки)
• ${\displaystyle \vdots }$

В частности, одна скобка — это нечетный лапласиан, а две скобки — это антискобка с точностью до знака. Первые несколько обобщенных тождеств Якоби: ${\displaystyle \Phi ^{1}={\Delta }_{\rho }}$ ${\displaystyle \Phi ^{2}}$

• ${\displaystyle \Phi ^{1}(\Phi ^{0})=0}$ ( закрыто ) ${\displaystyle \Delta (1)}$ ${\displaystyle \Delta _{\rho }}$
• ${\displaystyle \Phi ^{2}(\Phi ^{0},a)+\Phi ^{1}\left(\Phi ^{1}(a)\right)}$ ( — гамильтониан для модулярного векторного поля ) ${\displaystyle \Delta (1)}$ ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }^{2}}$
• ${\displaystyle \Phi ^{3}(\Phi ^{0},a,b)+\Phi ^{2}\left(\Phi ^{1}(a),b\right)+(-1)^{|a|}\Phi ^{2}\left(a,\Phi ^{1}(b)\right)+\Phi ^{1}\left(\Phi ^{2}(a,b)\right)=0}$ ( Оператор дифференцирует (,) обобщенно) ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }}$
• ${\displaystyle \Phi ^{4}(\Phi ^{0},a,b,c)+{\rm {Jac}}(a,b,c)+\Phi ^{1}\left(\Phi ^{3}(a,b,c)\right)+\Phi ^{3}\left(\Phi ^{1}(a),b,c\right)+(-1)^{\left|a\right|}\Phi ^{3}\left(a,\Phi ^{1}(b),c\right)+(-1)^{\left|a\right|+\left|b\right|}\Phi ^{3}\left(a,b,\Phi ^{1}(c)\right)=0}$ (Обобщенное тождество Якоби)
• ${\displaystyle \vdots }$

где якобиатор для двух скобок определяется как ${\displaystyle \Phi ^{2}}$

${\displaystyle {\rm {Jac}}(a_{1},a_{2},a_{3}):={\frac {1}{2}}\sum _{\pi \in S_{3}}(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{2}\left(\Phi ^{2}(a_{\pi (1)},a_{\pi (2)}),a_{\pi (3)}\right).}$

БВн-алгебры

Оператор Δ по определению имеет n-й порядок тогда и только тогда, когда ( n  + 1)-скобка обращается в нуль. В этом случае говорят о BV n-алгебре . Таким образом , BV 2-алгебра по определению является просто BV-алгеброй. Якобиатор обращается в нуль внутри BV-алгебры, что означает, что антискобка здесь удовлетворяет тождеству Якоби. BV 1-алгебра, удовлетворяющая нормализации Δ(1) = 0, совпадает с дифференциальной градуированной алгеброй (DGA) с дифференциалом Δ. BV 1-алгебра имеет исчезающую антискобку. ${\displaystyle \Phi ^{n+1}}$ ${\displaystyle {\rm {Jac}}(a,b,c)=0}$

Нечетное пуассоновское многообразие с объемной плотностью

Пусть задано (n|n) супермногообразие с нечетным бивектором Пуассона и плотностью объема Березина , также известные как P-структура и S-структура соответственно. Пусть локальные координаты называются . Пусть производные и ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle \partial _{i}f}$

${\displaystyle f{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{i}:=(-1)^{\left|x^{i}\right|(|f|+1)}\partial _{i}f}$

обозначают левую и правую производную функции f wrt. , соответственно. Нечетный бивектор Пуассона удовлетворяет более точно ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle \pi ^{ij}}$

• ${\displaystyle \left|\pi ^{ij}\right|=\left|x^{i}\right|+\left|x^{j}\right|-1}$ (Нечетная структура Пуассона имеет степень –1)
• ${\displaystyle \pi ^{ji}=-(-1)^{(\left|x^{i}\right|+1)(\left|x^{j}\right|+1)}\pi ^{ij}}$ (Кососимметрия)
• ${\displaystyle (-1)^{(\left|x^{i}\right|+1)(\left|x^{k}\right|+1)}\pi ^{i\ell }\partial _{\ell }\pi ^{jk}+{\rm {cyclic}}(i,j,k)=0}$ (Тождество Якоби)

При изменении координат нечетный бивектор Пуассона и объемная плотность Березина преобразуются как ${\displaystyle x^{i}\to x^{\prime i}}$ ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ ${\displaystyle \rho }$

• ${\displaystyle \pi ^{\prime k\ell }=x^{\prime k}{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{i}\pi ^{ij}\partial _{j}x^{\prime \ell }}$
• ${\displaystyle \rho ^{\prime }=\rho /{\rm {sdet}}(\partial _{i}x^{\prime j})}$

где sdet обозначает супердетерминант , также известный как березиниан. Тогда нечетная скобка Пуассона определяется как

${\displaystyle (f,g):=f{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{i}\pi ^{ij}\partial _{j}g.}$

Гамильтоново векторное поле с гамильтонианом f можно определить как ${\displaystyle X_{f}}$

${\displaystyle X_{f}[g]:=(f,g).}$

(Супер) дивергенция векторного поля определяется как ${\displaystyle X=X^{i}\partial _{i}}$

${\displaystyle {\rm {div}}_{\rho }X:={\frac {(-1)^{\left|x^{i}\right|(|X|+1)}}{\rho }}\partial _{i}(\rho X^{i})}$

Напомним, что гамильтоновы векторные поля являются бездивергентными в четной геометрии Пуассона из-за теоремы Лиувилля. В нечетной геометрии Пуассона соответствующее утверждение не выполняется. Нечетный Лапласиан измеряет несостоятельность теоремы Лиувилля. С точностью до знакового множителя он определяется как половина дивергенции соответствующего гамильтонового векторного поля, ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }}$

${\displaystyle {\Delta }_{\rho }(f):={\frac {(-1)^{\left|f\right|}}{2}}{\rm {div}}_{\rho }X_{f}={\frac {(-1)^{\left|x^{i}\right|}}{2\rho }}\partial _{i}\rho \pi ^{ij}\partial _{j}f.}$

Нечетная структура Пуассона и плотность объема Березина называются совместимыми , если модулярное векторное поле обращается в нуль. В этом случае нечетный Лапласиан является оператором BV Δ с нормировкой Δ(1)=0. Соответствующая алгебра BV является алгеброй функций. ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }^{2}}$ ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }}$

Нечетное симплектическое многообразие

Если нечетный бивектор Пуассона обратим, то имеем нечетное симплектическое многообразие. В этом случае существует нечетная теорема Дарбу . То есть существуют локальные координаты Дарбу , т.е. координаты , и импульсы , степени ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ ${\displaystyle q^{1},\ldots ,q^{n}}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$

${\displaystyle \left|q^{i}\right|+\left|p_{i}\right|=1,}$

такой, что нечетная скобка Пуассона находится в форме Дарбу

${\displaystyle (q^{i},p_{j})=\delta _{j}^{i}.}$

В теоретической физике координаты и импульсы называются полями и антиполями и обычно обозначаются и соответственно. ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle \phi ^{i}}$ ${\displaystyle \phi _{j}^{*}}$

${\displaystyle \Delta _{\pi }:=(-1)^{\left|q^{i}\right|}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}}$

действует на векторное пространство полуплотностей и является глобально хорошо определенным оператором на атласе окрестностей Дарбу. Оператор Худавердяна зависит только от P-структуры. Он явно нильпотентен и имеет степень −1. Тем не менее, технически он не является оператором BV Δ, поскольку векторное пространство полуплотностей не имеет умножения. (Произведение двух полуплотностей является плотностью, а не полуплотностью.) При заданной плотности можно построить нильпотентный оператор BV Δ как ${\displaystyle \Delta _{\pi }}$ ${\displaystyle \Delta _{\pi }^{2}=0}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \Delta (f):={\frac {1}{\sqrt {\rho }}}\Delta _{\pi }({\sqrt {\rho }}f),}$

соответствующая алгебра BV которой является алгеброй функций или, что эквивалентно, скаляров . Нечетная симплектическая структура и плотность совместимы тогда и только тогда, когда Δ(1) является нечетной константой. ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ ${\displaystyle \rho }$

Примеры

• Скобка Схоутена–Нийенхейса для многовекторных полей является примером антискобки.
• Если L — супералгебра Ли , а Π — оператор, меняющий местами четные и нечетные части суперпространства, то симметричная алгебра Π( L ) (« внешняя алгебра » L ) является алгеброй Баталина–Вилковыского с Δ, заданным обычным дифференциалом, используемым для вычисления когомологий алгебры Ли .

Смотрите также

• BRST-квантование
• алгебра Герстенхабера
• Супермногообразие
• Анализ потоков
• многообразие Пуассона

Ссылки

Педагогический

• Костелло, К. (2011). «Перенормировка и эффективная теория поля». ISBN  978-0-8218-5288-0 (Объясняет пертурбативную квантовую теорию поля и строгие аспекты, такие как квантование теории Черна-Саймонса и теории Янга-Миллса с использованием BV-формализма)

Ссылки

• Баталин, И.А. и Вилковиский, Г.А. (1981). «Калибровочная алгебра и квантование». Phys. Lett. B . 102 (1): 27–31. Bibcode :1981PhLB..102...27B. doi :10.1016/0370-2693(81)90205-7.
• Баталин, ИА; Вилковыский, ГА (1983). «Квантование калибровочных теорий с линейно зависимыми генераторами». Physical Review D. 28 ( 10): 2567–2582. Bibcode : 1983PhRvD..28.2567B. doi : 10.1103/PhysRevD.28.2567.Исправление-там же 30 (1984) 508 doi :10.1103/PhysRevD.30.508.
• Getzler, E. (1994). "Алгебры Баталина-Вилковыского и двумерные топологические теории поля". Сообщения по математической физике . 159 (2): 265–285. arXiv : hep-th/9212043 . Bibcode :1994CMaPh.159..265G. doi :10.1007/BF02102639. S2CID  14823949.
• Брандт, Фридеманн; Барних, Гленн; Хенно, Марк (2000), «Локальные BRST-когомологии в калибровочных теориях», Physics Reports , 338 (5): 439–569, arXiv : hep-th/0002245 , Bibcode : 2000PhR...338..439B, doi : 10.1016/S0370-1573(00)00049-1, ISSN  0370-1573, MR  1792979, S2CID  119420167
• Вайнберг, Стивен (2005). Квантовая теория полей. Том II . Нью-Йорк: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-67054-3.