Уравнение дифракции Фраунгофера

Математическое объяснение дифракции в дальней зоне

В оптике уравнение дифракции Фраунгофера используется для моделирования дифракции волн, когда дифракционная картина наблюдается на большом расстоянии от дифрагирующего объекта, а также когда она наблюдается в фокальной плоскости изображающей линзы . ^{[1] [2]}

Уравнение было названо в честь Йозефа фон Фраунгофера, хотя он фактически не принимал участия в разработке теории. ^[3]

В этой статье дано уравнение в различных математических формах и даны подробные расчеты картины дифракции Фраунгофера для нескольких различных форм дифракционных отверстий, особенно для нормально падающей монохроматической плоской волны. Качественное обсуждение дифракции Фраунгофера можно найти в другом месте .

Определение

Когда луч света частично блокируется препятствием, часть света рассеивается вокруг объекта, и на краю тени часто видны светлые и темные полосы — этот эффект известен как дифракция. ^[4] Уравнение дифракции Кирхгофа дает выражение, полученное из волнового уравнения , которое описывает волну, дифрагированную апертурой; аналитические решения этого уравнения недоступны для большинства конфигураций. ^[5]

Уравнение дифракции Фраунгофера представляет собой приближение, которое можно применять, когда дифрагированная волна наблюдается в дальнем поле , а также когда линза используется для фокусировки дифрагированного света; во многих случаях для уравнения Фраунгофера доступно простое аналитическое решение — некоторые из них выведены ниже.

В декартовых координатах

Дифракционная геометрия, показывающая плоскость апертуры (или дифрагирующего объекта) и плоскость изображения с системой координат.

Если отверстие находится в плоскости x ′ y ′ с началом координат в отверстии и освещается монохроматической волной с длиной волны λ, волновым числом k с комплексной амплитудой A ( x ′ , y ′ ) , и дифрагированная волна наблюдается в нештрихованной плоскости x, y вдоль положительной оси , где l , m являются направляющими косинусами точки x, y относительно начала координат. Комплексная амплитуда U ( x , y ) дифрагированной волны определяется уравнением дифракции Фраунгофера как: ^[6] ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,y,z)&\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda }}(lx'+my')}\,dx'\,dy'\\&\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-ik(lx'+my')}\,dx'\,dy'\end{aligned}}}$$

Из этого уравнения видно, что форма дифракционной картины зависит только от направления наблюдения, поэтому с изменением расстояния наблюдения дифракционная картина меняется по размеру, но не по форме.

В явном виде уравнение дифракции Фраунгофера имеет вид ^[7] где . $${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,y,z)\approx {\frac {e^{ikz}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}}{i\lambda z}}\iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-i{\frac {k}{z}}(x'x+y'y)}\,dx'\,dy'\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle k={2\pi }/{\lambda }}$

Видно, что интеграл в приведенных выше уравнениях представляет собой преобразование Фурье функции апертуры, оцененное на частотах. ^[8] $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&=x/(\lambda z)=l/\lambda \\f_{y}&=y/(\lambda z)=m/\lambda \end{aligned}}}$$

Таким образом, мы также можем записать уравнение в терминах преобразования Фурье как: где Â — преобразование Фурье A. Формулировка преобразования Фурье может быть очень полезна при решении задач дифракции. $${\displaystyle U(x,y,z)\propto {\hat {f}}[A(x',y')]_{f_{x}f_{y}}}$$

Другая форма:

$${\displaystyle U(\mathbf {r} )\propto {\int _{\text{Aperture}}A(\mathbf {r'} )e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r'} -\mathbf {r} )}dr'}={\int _{\text{Aperture}}a_{0}(\mathbf {r'} )e^{i\mathbf {(k_{0}-k)} \cdot (\mathbf {r'} -\mathbf {r} )}dr'}}$$

где r и r' представляют собой точку наблюдения и точку в отверстии соответственно, k ₀ и k представляют собой волновые векторы возмущения в отверстии и дифрагированных волн соответственно, а a ₀ ( r' ) представляет собой величину возмущения в отверстии.

В полярных координатах

Когда дифракционная апертура имеет круговую симметрию, полезно использовать полярные, а не декартовы координаты. ^[9]

Точка в отверстии имеет координаты ρ , ω, что дает: и $${\displaystyle x'=\rho '\cos \omega ';y'=\rho '\sin \omega '}$$ $${\displaystyle x=\rho \cos \omega ;y=\rho \sin \omega }$$

Комплексная амплитуда в точке ρ' определяется как A ( ρ ) , а площадь d x d y преобразуется в ρ ′ d ρ ′ d ω ′ , что дает $${\displaystyle {\begin{aligned}U(\rho ,\omega ,z)&\propto \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }A(\rho ')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda z}}(\rho \rho '\cos \omega \cos \omega '+\rho \rho '\sin \omega \sin \omega ')}\rho 'd\rho 'd\omega '\\&\propto \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }A(\rho ')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda z}}\rho \rho '\cos(\omega -\omega ')}\,d\omega '\rho '\,d\rho '\end{aligned}}}$$

Используя интегральное представление функции Бесселя : ^[10] имеем $${\displaystyle J_{0}(p)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{ip\cos \alpha }\,d\alpha }$$ $${\displaystyle U(\rho ,z)\propto 2\pi \int _{0}^{\infty }A(\rho ')J_{0}\left({\frac {2\pi \rho '\rho }{\lambda z}}\right)\rho '\,d\rho '}$$

где интегрирование по ω дает 2 π , поскольку уравнение кругово-симметрично, т.е. нет зависимости от ω .

В этом случае мы имеем U ( ρ , z ), равное преобразованию Фурье–Бесселя или Ханкеля функции апертуры, A ( ρ )

Пример

Здесь приведены примеры дифракции Фраунгофера при нормально падающей монохроматической плоской волне.

В каждом случае дифрагирующий объект расположен в плоскости z = 0 , а комплексная амплитуда падающей плоской волны определяется выражением, где $${\displaystyle A(x',y')=ae^{i2\pi ct/\lambda }=ae^{ikct}}$$

• а — величина волнового возмущения,
• λ — длина волны,
• c — скорость света,
• t — это время
• k = 2 π / λ — волновое число

и фаза равна нулю в момент времени t = 0 .

Зависящий от времени фактор опускается на протяжении всех расчетов, поскольку он остается постоянным и усредняется при расчете интенсивности . Интенсивность в точке r пропорциональна амплитуде, умноженной на ее комплексно сопряженную величину $${\displaystyle I(\mathbf {r} )\propto U(\mathbf {r} ){\overline {U}}(\mathbf {r} )}$$

Эти выводы можно найти в большинстве стандартных книг по оптике, в слегка иных формах с использованием различных обозначений. Для каждой из смоделированных здесь систем дана ссылка. Использованные преобразования Фурье можно найти здесь .

Узкая прямоугольная щель

График и изображение дифракции на одной щели

Апертура представляет собой щель шириной W , расположенную вдоль оси y ,

Решение путем интеграции

Предполагая, что центр щели расположен в точке x = 0 , первое уравнение выше для всех значений y имеет вид: ^[11] $${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&=a\int _{-W/2}^{W/2}e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}\,dx'\\[4pt]&=-{\frac {a\lambda z}{2\pi ix}}\left[e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}\right]_{-W/2}^{W/2}\end{aligned}}}$$

Используя формулу Эйлера , это можно упростить до: $${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&=aW{\frac {\sin \left[{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\right]}{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}\\&=aW\operatorname {sinc} {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\end{aligned}}}$$

где sinc ( p ) = sin( p )/ p . Функция sinc иногда определяется как sin( π p )/ π p , и это может вызвать путаницу при просмотре выводов в разных текстах.

Это также можно записать как: где θ — угол между осью z и линией, соединяющей x с началом координат, а sin θ ≈ x / z , когда θ << 1 . $${\displaystyle U(\theta )=aW\operatorname {sinc} \left[{\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right]}$$

Решение преобразования Фурье

Щель может быть представлена ​​функцией rect следующим образом: ^[12] $${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {x}{W}}\right)}$$

Преобразование Фурье этой функции определяется как, где ξ — частота преобразования Фурье, а функция sinc здесь определяется как sin( π x )/( π x ) $${\displaystyle {\hat {f}}(\operatorname {rect} (ax))={\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)}$$

Частота преобразования Фурье здесь равна x / λz , что дает $${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&\propto W{\frac {\sin {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}\\&\propto W\operatorname {sinc} {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\\&\propto W\operatorname {sinc} {\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\\&\propto W\operatorname {sinc} (kW\sin \theta /2)\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что функция sinc здесь определена как sin( x )/( x ) для сохранения согласованности.

Интенсивность

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды и, следовательно, [ ^13] $${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right]\\&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {kW\sin \theta }{2}}\right]\end{aligned}}}$$

Апертуры

Прямоугольное отверстие

Компьютерное моделирование дифракции Фраунгофера на прямоугольной апертуре

Когда прямоугольная щель шириной W и высотой H освещается нормально (щель освещается под нормальным углом) монохроматической плоской волной с длиной волны λ , комплексную амплитуду можно найти с помощью анализа, аналогичного анализу в предыдущем разделе, примененному к двум независимым ортогональным измерениям, как: ^{[14] [15] [16]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,y)&\propto \operatorname {sinc} \left({\frac {\pi Wx}{\lambda R}}\right)\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi Hy}{\lambda R}}\right)\\&\propto \operatorname {sinc} \left({\frac {kWx}{2R}}\right)\operatorname {sinc} \left({\frac {kHy}{2R}}\right).\end{aligned}}}$$

Интенсивность определяется по формуле $${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi Wx}{\lambda R}}\right)\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi Hy}{\lambda R}}\right)\\&\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {kWx}{2R}}\right)\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {kHy}{2R}}\right)\end{aligned}}}$$

где оси x и y определяют поперечные направления на плоскости наблюдения или плоскости изображения (описанной на рисунке выше), а R — расстояние между центром щели и точкой наблюдения на плоскости изображения. ${\displaystyle P=(x,y)}$

На практике все щели имеют конечный размер, поэтому производят дифракцию в обоих поперечных направлениях, вдоль осей x (определена ширина W ) и y (определена высота H ). Если высота щели H намного больше ее ширины W , то расстояние между вертикальными (вдоль высоты или оси y ) дифракционными полосами намного меньше расстояния между горизонтальными (вдоль ширины или оси x ) полосами. Если расстояние между вертикальными полосами меньше на относительно большую величину H , то наблюдение вертикальных полос настолько затруднено, что человек, наблюдающий картину интенсивности дифрагированной волны на плоскости наблюдения или плоскости изображения, распознает только горизонтальные полосы с их узкой высотой. Вот почему щель или решетка щелей большой высоты, такие как дифракционная решетка, обычно анализируются только в измерении по ширине. Если освещающий луч не освещает всю высоту щели, то расстояние между вертикальными полосами определяется размером лазерного луча вдоль высоты щели. Тщательное изучение двухщелевой картины ниже показывает, что имеются очень тонкие вертикальные дифракционные полосы выше и ниже основных пятен, а также более очевидные горизонтальные полосы.

Круглая апертура

Дифракционная картина Эйри

Диаметр отверстия равен W. Комплексная амплитуда в плоскости наблюдения определяется выражением

$${\displaystyle U(\rho ,z)=2\pi a\int _{0}^{W/2}J_{0}\left({\frac {2\pi \rho '\rho }{\lambda z}}\right)\rho '\,d\rho '}$$

Решение путем интеграции

Используя рекуррентное соотношение ^[17], получаем $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[x^{n+1}J_{n+1}(x)\right]=x^{n+1}J_{n}(x)}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{x}x'J_{0}(x')\,dx'=xJ_{1}(x)}$$

Если мы подставим и пределы интегрирования станут равны 0 и πρW / λz , то получим $${\displaystyle x'={\frac {2\pi \rho }{\lambda z}}\rho '}$$ $${\displaystyle U(\rho ,z)\propto {\frac {J_{1}(\pi W\rho /\lambda z)}{\pi W\rho /\lambda z}}}$$

Полагая ρ / z = sin θ , получаем $${\displaystyle U(\theta )\propto {\frac {J_{1}(\pi W\sin \theta /\lambda )}{\pi W\sin \theta /\lambda }}}$$

Решение с использованием преобразования Фурье–Бесселя

Мы можем записать функцию апертуры как ступенчатую функцию $${\displaystyle \Pi (W/2)}$$

Преобразование Фурье–Бесселя для этой функции задается соотношением , где q/2π — частота преобразования, равная ρ / λz , а a = W /2 . $${\displaystyle F[\Pi (r/a)]={\frac {2\pi J_{1}(qa)}{q}}}$$

Таким образом, мы получаем $${\displaystyle {\begin{aligned}U(\rho )&={\frac {2\pi J_{1}(\pi W\rho /\lambda z)}{2\pi W\rho /\lambda z}}\\&={\frac {2\pi J_{1}(\pi W\sin \theta /\lambda )}{W\sin \theta /\lambda }}\\&={\frac {2\pi J_{1}(kW\sin \theta /2)}{kW\sin \theta /2}}\end{aligned}}}$$

Интенсивность

Интенсивность определяется по формуле: ^[18] $${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto \left[{\frac {J_{1}(\pi W\sin \theta /\lambda )}{(\pi W\sin \theta /\lambda )}}\right]^{2}\\&\propto \left[{\frac {J_{1}(kW\sin \theta /2)}{(kW\sin \theta /2)}}\right]^{2}\end{aligned}}}$$

Форма дифракционной картины

Это известно как дифракционная картина Эйри.

Дифрагированная картина симметрична относительно нормальной оси.

Диафрагма с гауссовым профилем

Интенсивность плоской волны, дифрагированной через отверстие с гауссовым профилем

Апертура с гауссовым профилем, например, фотографический слайд, пропускание которого имеет гауссово изменение, так что амплитуда в точке апертуры, расположенной на расстоянии r' от начала координат, определяется выражением

$${\displaystyle A(\rho ')=\exp {\left(-\left[{\frac {\rho '}{\sigma }}\right]^{2}\right)}}$$давая $${\displaystyle U(\rho ,z)=2\pi a\int _{0}^{\infty }\exp {\left(-\left[{\frac {\rho '}{\sigma }}\right]^{2}\right)}J_{0}{\left({\frac {2\pi \rho '\rho }{\lambda z}}\right)}\rho '\,d\rho '}$$

Решение с использованием преобразования Фурье–Бесселя

Преобразование Фурье –Бесселя или Ганкеля определяется как, где J _ν — функция Бесселя первого рода порядка ν с ν ≥ −1/2 . $${\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,dr}$$

Преобразование Ганкеля дает и ​ $${\displaystyle F_{\nu }{\left[e^{(ar)^{2}/2}\right]}={\frac {e^{-k^{2}/2a^{2}}}{a^{2}}}}$$ $${\displaystyle U(\rho ,z)\propto e^{-\left[{\frac {\pi \rho \sigma }{\lambda z}}\right]^{2}}}$$ $${\displaystyle U(\theta )\propto e^{-\left[{\frac {\pi \sigma \sin \theta }{\lambda }}\right]^{2}}}$$

Интенсивность

Интенсивность определяется по формуле: ^[19] $${\displaystyle I(\theta )\propto e^{-{\frac {2\pi \sigma \sin \theta }{\lambda }}}}$$

Эта функция изображена справа, и можно увидеть, что в отличие от дифракционных картин, создаваемых прямоугольными или круглыми апертурами, она не имеет вторичных колец. Это может быть использовано в процессе, называемом аподизацией — апертура покрывается фильтром, пропускание которого изменяется как гауссова функция, что дает дифракционную картину без вторичных колец. ^{[20] [21]}

Щели

Две щели

Картина, возникающая при наложении света, дифрагированного от двух щелей, представляет значительный интерес для физики, во-первых, из-за ее важности для обоснования волновой теории света посредством интерференционного эксперимента Юнга , а во-вторых, из-за ее роли как мысленного эксперимента в двухщелевом эксперименте в квантовой механике.

Узкие щели

Геометрия двухщелевой дифракции

Интерференция двух щелей с использованием красного лазера

Предположим, что у нас есть две длинные щели, освещенные плоской волной с длиной волны λ . Щели находятся в плоскости z = 0 , параллельно оси y , разделены расстоянием S и симметричны относительно начала координат. Ширина щелей мала по сравнению с длиной волны.

Решение путем интеграции

Падающий свет дифрагируется щелями в однородные сферические волны. Волны, распространяющиеся в заданном направлении θ от двух щелей, имеют разные фазы. Фаза волн от верхней и нижней щелей относительно начала координат задается как (2 π / λ )( S /2)sin θ и −(2 π / λ )( S /2)sin θ

Комплексная амплитуда суммированных волн определяется по формуле: ^[22] $${\displaystyle {\begin{aligned}U(\theta )&=ae^{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}+ae^{-{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}}\\&=a\left(\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}+i\sin {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right)+a\left(\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}-i\sin {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right)\\&=2a\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\end{aligned}}}$$

Решение с использованием преобразования Фурье

Апертуру можно представить функцией: ^[23] где δ — дельта-функция . $${\displaystyle a[\delta {(x-S/2)}+\delta {(x+S/2)}]}$$

Мы имеем и даем $${\displaystyle {\hat {f}}[\delta (x)]=1}$$ $${\displaystyle {\hat {f}}[g(x-a)]=e^{-2\pi iaf_{x}}{\hat {f}}[g(x)]}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&={\hat {f}}[\delta {(x-S/2)}+\delta {(x+S/2)}]\\&=e^{-i\pi Sx/2\lambda }+e^{i\pi Sx/2\lambda }\\&=2\cos {\frac {\pi Sx}{2\lambda }}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle U(\theta )=2\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{2\lambda }}}$$

Это то же самое выражение, что получено выше путем интегрирования.

Интенсивность

Это дает интенсивность объединенных волн как: ^[24] $${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto \cos ^{2}\left[{\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right]\\&\propto \cos ^{2}{\left[{\frac {kS\sin \theta }{2}}\right]}\end{aligned}}}$$

Щели конечной ширины

Дифракция на одной и двух щелях – расстояние между щелями составляет 0,7 мм, а ширина щели – 0,1 мм.

Ширина щелей W конечна.

Решение путем интеграции

Дифракционная картина определяется по формуле: ^[25] $${\displaystyle {\begin{aligned}U(\theta )&=a\left[e^{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}+e^{-{\frac {i\pi S\sin \theta }{\lambda }}}\right]\int _{-W/2}^{W/2}e^{{-2\pi ix'\sin \theta }/\lambda }\,dx'\\[1ex]&=2a\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}W\operatorname {sinc} {\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\end{aligned}}}$$

Решение с использованием преобразования Фурье

Функция апертуры определяется по формуле: ^[26] $${\displaystyle a\left[\operatorname {rect} \left({\frac {x-S/2}{W}}\right)+\operatorname {rect} \left({\frac {x+S/2}{W}}\right)\right]}$$

Преобразование Фурье этой функции определяется как, где ξ — частота преобразования Фурье, а функция sinc здесь определяется как sin( πx )/( πx ) и $${\displaystyle {\hat {f}}(\operatorname {rect} (ax))={\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{2a}}\right)}$$ $${\displaystyle {\hat {f}}[g(x-a)]=e^{-2\pi iaf_{x}}{\hat {f}}[g(x)]}$$

У нас есть или $${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&={\hat {f}}\left[a\left[\operatorname {rect} \left({\frac {x-S/2}{W}}\right)+\operatorname {rect} \left({\frac {x+S/2}{W}}\right)\right]\right]\\&=2W\left[e^{-i\pi Sx/\lambda z}+e^{i\pi Sx/\lambda z}\right]{\frac {\sin {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}{\frac {\pi Wx}{\lambda z}}}\\&=2a\cos {\frac {\pi Sx}{\lambda z}}W\operatorname {sinc} {\frac {\pi Wx}{\lambda z}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle U(\theta )=2a\cos {\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}W\operatorname {sinc} {\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}}$$

Это то же самое выражение, которое было получено путем интегрирования.

Интенсивность

Интенсивность определяется по формуле: ^[27] $${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto \cos ^{2}\left[{\frac {\pi S\sin \theta }{\lambda }}\right]\operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right]\\&\propto \cos ^{2}\left[{\frac {kS\sin \theta }{2}}\right]\operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {kW\sin \theta }{2}}\right]\end{aligned}}}$$

Видно, что форма картины интенсивности является произведением картины дифракции отдельного щелевого пучка и картины интерференции, которая была бы получена с щелями незначительной ширины. Это проиллюстрировано на изображении справа, которое показывает дифракцию одного щелевого пучка лазерным лучом, а также картину дифракции/интерференции, полученную двумя идентичными щелями.

Решетки

Решетка определяется в «Принципах оптики» Борна и Вольфа как «любое устройство, которое налагает на падающую волну периодическое изменение амплитуды или фазы, или того и другого». ^[28]

Узкая щелевая решетка

Простая решетка состоит из экрана с N щелями , ширина которых значительно меньше длины волны падающего света с расстоянием между щелями S.

Решение путем интеграции

Комплексная амплитуда дифрагированной волны под углом θ определяется по формуле: ^[29] $${\displaystyle {\begin{aligned}U(\theta )&=a\sum _{n=1}^{N}e^{\frac {-i2\pi nS\sin \theta }{\lambda }}\\&={\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}}$$

так как это сумма геометрической прогрессии .

Решение с использованием преобразования Фурье

Апертура определяется как $${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}\delta (x-nS)}$$

Преобразование Фурье этой функции имеет вид: ^[30] $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}\left[\sum _{n=0}^{N}\delta (x-nS)\right]&=\sum _{n=0}^{N}e^{-if_{x}nS}\\&={\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}}$$

Интенсивность

Дифракционная картина для 50-щелевой решетки

Деталь главного максимума в картинах дифракции на решетках с узкими щелями 20 и 50

Интенсивность определяется по формуле: ^[31]

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(\theta )&\propto {\frac {1-\cos(2\pi NS\sin \theta /\lambda )}{1-\cos(2\pi S\sin \theta /\lambda )}}\\&\propto {\frac {\sin ^{2}(\pi NS\sin \theta /\lambda )}{\sin ^{2}(\pi S\sin \theta /\lambda )}}\end{aligned}}}$$

Эта функция имеет ряд максимумов и минимумов. Существуют регулярно расположенные "главные максимумы" и ряд гораздо меньших максимумов между главными максимумами. Главные максимумы возникают, когда и основные дифрагированные лучи, следовательно, возникают под углами: $${\displaystyle \pi S\sin _{n}\theta /\lambda =n\pi ,n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$ $${\displaystyle \sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}},n=0,\pm 1\pm 2,\ldots }$$

Это уравнение решетки для нормально падающего света.

Число малых промежуточных максимумов равно числу щелей, N − 1 , а их размер и форма также определяются N.

Вид узора для N =50 показан на первом рисунке.

Подробная структура решеток с 20 и 50 щелями показана на второй диаграмме.

Щелевая решетка конечной ширины

Дифракционная картина от решетки с щелями конечной ширины

Решетка теперь имеет N щелей шириной W и расстоянием S.

Решение с использованием интеграции

Амплитуда определяется по формуле: ^[32] $${\displaystyle {\begin{aligned}U(\theta ,\phi )&\propto a\sum _{n=1}^{N}e^{\frac {-i2\pi nS\sin \theta }{\lambda }}\int _{-W/2}^{W/2}e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}\,dx'\\&\propto a\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right){\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}}$$

Решение с использованием преобразования Фурье

Функцию апертуры можно записать как: ^[33] $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\operatorname {rect} \left[{\frac {x'-nS}{W}}\right]}$$

Используя теорему о свертке , которая гласит, что если у нас есть две функции f ( x ) и g ( x ) , и мы имеем , где ∗ обозначает операцию свертки, то мы также имеем , мы можем записать функцию апертуры как $${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,}$$ $${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\cdot {\hat {g}}(\xi ).}$$ $${\displaystyle \operatorname {rect} (x'/W)*\sum _{n=0}^{N}\delta (x'-nS)}$$

Амплитуда затем определяется преобразованием Фурье этого выражения как: $${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,z)&={\hat {f}}[\operatorname {rect} (x'/W)]{\hat {f}}\left[\sum _{n=0}^{N}\delta (x'-nS)\right]\\&=a\operatorname {sinc} \left({\frac {W\sin \theta }{\lambda }}\right){\frac {1-e^{-i2\pi NS\sin \theta /\lambda }}{1-e^{-i2\pi S\sin \theta /\lambda }}}\end{aligned}}}$$

Интенсивность

Интенсивность определяется по формуле: ^[34] $${\displaystyle I(\theta )\propto \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi W\sin \theta }{\lambda }}\right){\frac {\sin ^{2}(\pi NS\sin \theta /\lambda )}{\sin ^{2}(\pi S\sin \theta /\lambda )}}}$$

На диаграмме показана дифракционная картина для решетки с 20 щелями, где ширина щелей составляет 1/5 расстояния между щелями. Размер основных дифракционных пиков модулируется дифракционной картиной отдельных щелей.

Другие решетки

Метод преобразования Фурье, описанный выше, может быть использован для нахождения формы дифракции для любой периодической структуры, где известно преобразование Фурье структуры. Гудман ^[35] использует этот метод для вывода выражений для картины дифракции, полученной с помощью синусоидальных амплитудных и фазовых модулирующих решеток. Они представляют особый интерес в голографии .

Расширения

Ненормальное освещение

Если отверстие освещается монохроматической плоской волной, падающей в направлении ( l ₀ , m ₀ , n ₀ ) , то первая версия уравнения Фраунгофера, приведенного выше, становится: ^[36] $${\displaystyle {\begin{aligned}U(x,y,z)&\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda }}\left[(l-l_{0})x'+(m-m_{0})y'\right]}\,dx'\,dy'\\&\propto \iint _{\text{Aperture}}\,A(x',y')e^{-ik\left[(l-l_{0})x'+(m-m_{0})y'\right]}\,dx'\,dy'\end{aligned}}}$$

Уравнения, используемые для моделирования каждой из приведенных выше систем, изменяются только за счет изменения констант, умножающих x и y , поэтому дифрагированные световые узоры будут иметь форму, за исключением того, что теперь они будут центрированы вокруг направления падающей плоской волны.

Уравнение решетки становится ^[37] $${\displaystyle \sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}}+\sin \theta _{0},n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

Немонохроматическое освещение

Во всех приведенных выше примерах дифракции Фраунгофера эффект увеличения длины волны освещающего света заключается в уменьшении размера дифракционной структуры, и наоборот, при уменьшении длины волны размер узора увеличивается. Если свет не монохроматичен, т. е. состоит из диапазона различных длин волн, каждая длина волны дифрагирует в узор, немного отличающийся по размеру от своих соседей. Если разброс длин волн значительно меньше средней длины волны, отдельные узоры будут очень мало отличаться по размеру, и поэтому основная дифракция все еще будет проявляться с несколько уменьшенным контрастом. По мере увеличения разброса длин волн число «полос», которые можно наблюдать, уменьшается.

Смотрите также

• Формула дифракции Кирхгофа
• дифракция Френеля
• принцип Гюйгенса
• Воздушный диск
• Фурье-оптика

Ссылки

1. Борн и Вольф 1999, стр. 427
2. Дженкинс и Уайт 1957, стр. 288
3. «Фраунгофер, Йозеф фон (1787-1826) — из «Мира научной биографии» Эрика Вайсштейна».
4. Heavens & Ditchburn 1991, стр. 62
5. Борн и Вольф 1999, стр. 425
6. Липсон, Липсон и Липсон 2011, с. 231, уравнение (8,8)
7. «Приближения Френеля и Фраунгофера».
8. Хехт 2002, с. 540, экв(11,67)
9. Борн и Вольф 1999, стр. 439, раздел 8.5.2, уравнения (6–8)
10. Абрамовиц и Стегун 1965, с. 360, раздел 9.1.21
11. Борн и Вольф 1999, стр. 436, раздел 8.5.1
12. Хехт 2002, стр. 540
13. Хехт 2002, стр. 453, уравнения (10.17) (10.18)
14. Хехт, Юджин (2017). «10.2.4 Прямоугольная апертура». Оптика (5-е изд.). Пирсон. стр. 483–488. ISBN 978-1-292-09693-3.
15. Лонгхерст 1967, стр. 217
16. Гудман 2005, стр. 76, ур. (4,28)
17. Уиттекер и Уотсон 1963, стр. 360, пример 2
18. Хехт 2002, с. 469, экв (10,56)
19. Хехт 2002, с. 521, уравнение (11.2)
20. Heavens & Ditchburn 1991, стр. 68
21. Хехт 2002, стр. 543, Рисунок (11.33)
22. Дженкинс и Уайт 1957, стр. 312, уравнение (16c)
23. Хехт 2002, с. 5, экв (11,4328)
24. Липсон, Липсон и Липсон 2011, с. 280, экв (9.3)
25. Хехт 2002, стр. 451, раздел 10.2.2
26. Хехт 2002, стр. 541
27. Дженкинс и Уайт 1957, стр. 313, уравнение (16c)
28. Борн и Вольф 1999, стр. 446, раздел 8.6.1
29. Дженкинс и Уайт 1957, стр. 330, уравнение (17a)
30. Липсон, Липсон и Липсон 2011, с. 106, уравнение (4.41)
31. Борн и Вольф 1999, стр. 448, уравнение (5a)
32. Борн и Вольф 1999, стр. 448, Раздел 8.6.1, уравнение (5)
33. Хехт 2002, стр. 543, Теорема о массиве
34. Борн и Вольф 1999, стр. 451, раздел 8.6, уравнение (10)
35. Гудман 2005, стр. 78, разделы 4.4.3 и 4.4.4
36. Липсон, Липсон и Липсон 2011, стр. 232, раздел 8.2.2
37. Борн и Вольф 1999, стр. 449, уравнение (8)

• Абрамовиц, Милтон; Стиган, Ирен А. (1965). Справочник математических функций с формулами, графиками и математическими таблицами. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-61272-4. OCLC  429082.
• Борн, Макс ; Вольф, Э. (1999). Принципы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света (7-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64222-4. OCLC  40200160.
• Гудман, Джозеф В. (2005). Введение в Фурье-оптику (3-е изд.). Энглвуд, Колорадо: Roberts & Co. ISBN 0-9747077-2-4. OCLC  56632414.
• Heavens, OS; Ditchburn, RW (1991). Взгляд в оптику. RW Ditchburn. Чичестер: Longman and Sons. ISBN 978-0-471-92769-3. OCLC  22114471.
• Хехт, Юджин (2002). Оптика (4-е изд.). Рединг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 0-321-18878-0. OCLC  47126713.
• Дженкинс, ФА; Уайт, Х.Э. (1957). Основы оптики (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw Hill.
• Липсон, А.; Липсон, С.Г.; Липсон, Х. (2011). Оптическая физика (4-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-49345-1. OCLC  637708967.
• Лонгхерст, Р. С. (1967). Геометрическая и физическая оптика (2-е изд.). Лондон: Longmans.
• Уиттекер, ET; Уотсон, GN (1963). «Современный анализ. С. 608. 27с. 6г». The Mathematical Gazette . 47 (359). Cambridge University Press: 88–88. doi :10.1017/S0025557200049032. ISSN  0025-5572.