Медленно меняющаяся аппроксимация огибающей

В физике аппроксимация медленно меняющейся огибающей ^[1] ( SVEA , иногда также называемая медленно меняющейся асимметричной аппроксимацией или SVAA ) представляет собой предположение, что огибающая импульса распространяющейся вперед волны медленно меняется во времени и пространстве по сравнению с периодом или длиной волны . Для этого требуется, чтобы спектр сигнала был узкополосным , поэтому его также называют узкополосным приближением .

Приближение медленно меняющейся огибающей часто используется, поскольку полученные уравнения во многих случаях легче решить, чем исходные уравнения, уменьшая порядок - всех или некоторых - частных производных высшего порядка . Однако обоснованность сделанных предположений должна быть обоснована.

Пример

Например, рассмотрим уравнение электромагнитной волны :

$${\displaystyle \nabla ^{2}E-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}=0\,,}$$

где ${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}~.}$

Если k ₀ и ω ₀ — волновое число и угловая частота (характеристической) несущей волны для сигнала E ( r , t ) , полезно следующее представление:

$${\displaystyle E(\mathbf {r} ,t)=\operatorname {\operatorname {Re} } \left[E_{0}(\mathbf {r} ,t)\,e^{i(\mathbf {k} _{0}\cdot \mathbf {r} -\omega _{0}t)}\right],}$$

где обозначает действительную часть величины в скобках, а ${\displaystyle \operatorname {Re} [\,\cdot \,]}$ ${\displaystyle i^{2}\equiv -1.}$

В приближении медленно меняющейся огибающей (SVEA) предполагается, что комплексная амплитуда E ₀ ( r , t ) меняется только медленно с r и t . Это по своей сути означает, что E ( r , t ) представляет собой волны, распространяющиеся вперед, преимущественно в направлении k ₀ . В результате медленного изменения E ₀ ( r , t ) при взятии производных производными высшего порядка можно пренебречь: ^[2]

${\displaystyle \left|\nabla ^{2}E_{0}\right|\ll \left|\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}\right|}$  и с  ${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial t^{2}}}\right|\ll \left|\omega _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}\right|,}$    ${\displaystyle k_{0}\equiv \left|\mathbf {k} _{0}\right|.}$

Полное приближение

Следовательно, волновое уравнение аппроксимируется в SVEA следующим образом:

$${\displaystyle 2i\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+{\frac {2i\omega _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-\left(k_{0}^{2}-{\frac {\omega _{0}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{0}=0~.}$$

Удобно выбрать k ₀ и ω ₀ такими, чтобы они удовлетворяли дисперсионному уравнению :

$${\displaystyle k_{0}^{2}-{\frac {\omega _{0}^{2}}{c^{2}}}=0~.}$$

Это дает следующее приближение к волновому уравнению в результате приближения медленно меняющейся огибающей:

$${\displaystyle \mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+{\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}=0~.}$$

Это гиперболическое уравнение в частных производных , подобное исходному волновому уравнению, но теперь первого порядка, а не второго. Это справедливо для когерентных волн, распространяющихся вперед в направлениях, близких к направлению k ₀ . Пространственные и временные масштабы, в которых изменяется E ₀ , обычно намного длиннее пространственной длины волны и временного периода несущей волны. Таким образом, численное решение уравнения огибающей может использовать гораздо большие шаги по пространству и времени, что приводит к значительно меньшим вычислительным затратам.

Параболическое приближение

Предположим, что распространение волн происходит преимущественно в направлении z , и k ₀ принимается в этом направлении. SVEA применяется только к пространственным производным второго порядка по оси z и времени. Если — оператор Лапласа в плоскости x × y , результат: ^[3] ${\displaystyle \Delta _{\perp }\equiv \partial ^{2}/\partial x^{2}+\partial ^{2}/\partial y^{2}}$

$${\displaystyle k_{0}{\frac {\partial E_{0}}{\partial z}}+{\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\,i\,\Delta _{\perp }E_{0}=0~.}$$

Это параболическое уравнение в частных производных . Это уравнение имеет повышенную достоверность по сравнению с полным SVEA: оно представляет волны, распространяющиеся в направлениях, значительно отличающихся от направления z .

Альтернативный срок действия

В одномерном случае еще одним достаточным условием справедливости SVEA является

${\displaystyle \ell _{\mathsf {g}}\gg \lambda }$  и с  ${\displaystyle \ell _{\mathsf {p}}\gg \lambda \left(1-{\frac {v}{c}}\right)\,,}$    ${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k_{0}}}\,,}$

где – длина усиления импульса излучения, – ширина импульса, – групповая скорость излучающей системы. ^[4] ${\displaystyle \ell _{\mathsf {g}}}$ ${\displaystyle \ell _{\mathsf {p}}}$ ${\displaystyle v}$

Эти условия гораздо менее ограничительны в релятивистском пределе, где близко к 1, как в лазере на свободных электронах , по сравнению с обычными условиями, необходимыми для применимости SVEA. ${\displaystyle {\frac {v}{c}}}$

Смотрите также

• Ультракороткий импульс
• Приближение ВКБ

Рекомендации

1. Арекки, Ф.; Бонифачо, Р. (1965). «Теория оптических мазерных усилителей». Журнал IEEE по квантовой электронике . 1 (4): 169–178. Бибкод : 1965IJQE....1..169A. дои : 10.1109/JQE.1965.1072212.
2. Мясник, Пол Н.; Коттер, Дэвид (1991). Элементы нелинейной оптики (переиздание). Издательство Кембриджского университета . п. 216. ИСБН 0-521-42424-0.
3. Свелто, Орацио (1974). «Самофокусировка, самозахват и автофазовая модуляция лазерных лучей». Вольф, Эмиль (ред.). Прогресс в оптике . Том. 12. Северная Голландия . стр. 23–25. ISBN 0-444-10571-9.
4. Бонифачо, Р.; Калой, РМ; Мароли, К. (1993). «Возвращение к медленно меняющемуся приближению конверта». Оптические коммуникации . 101 (3–4): 185–187. Бибкод : 1993OptCo.101..185B. дои : 10.1016/0030-4018(93)90363-А.