Аргумент ведра

Мысленный эксперимент по физике

Аргумент Исаака Ньютона о вращающемся ведре (также известный как ведро Ньютона ) был разработан, чтобы продемонстрировать, что истинное вращательное движение не может быть определено как относительное вращение тела по отношению к непосредственно окружающим телам. Это один из пяти аргументов из «свойств, причин и следствий» «истинного движения и покоя», которые поддерживают его утверждение о том, что в целом истинное движение и покой не могут быть определены как особые случаи движения или покоя по отношению к другим телам. , но вместо этого может быть определен только посредством ссылки на абсолютное пространство . С другой стороны, эти эксперименты дают практическое определение того, что подразумевается под « абсолютным вращением », и не претендуют на решение вопроса «вращение относительно чего ?» ^[1] Общая теория относительности обходится без абсолютного пространства и физики, причина которой является внешней по отношению к системе, с понятием геодезических пространства -времени . ^[2]

Фон

Эти аргументы, а также обсуждение различий между абсолютным и относительным временем, пространством, местом и движением содержатся в схолии в конце раздела «Определения» в книге I работы Ньютона « Математические начала естественной философии » (1687 г.) (не для того, чтобы следует путать с Генеральным Схолием в конце Книги III), который заложил основы классической механики и ввёл свой закон всемирного тяготения , давший первое количественно адекватное динамическое объяснение движения планет . ^[3]

Несмотря на принятие принципа прямолинейной инерции и признание кинематической относительности кажущегося движения (которая лежит в основе правильности системы Птолемея или Коперника ), натурфилософы XVII века продолжали рассматривать истинное движение и покой как физически отдельные дескрипторы. отдельного тела. Доминирующая точка зрения, против которой выступал Ньютон, была разработана Рене Декартом и была поддержана (частично) Готфридом Лейбницем . Он считал, что пустое пространство — это метафизическая невозможность, потому что пространство — это не что иное, как протяженность материи, или, другими словами, когда кто-то говорит о пространстве между вещами, он фактически имеет в виду отношения, существующие между этими вещами, а не отношения, существующие между этими вещами. какому-то существу, стоящему между ними. ^{[4] [5]} В соответствии с изложенным выше пониманием, любое утверждение о движении тела сводится к описанию во времени, при котором рассматриваемое тело в момент t ₁ находится вблизи одной группы «ориентирующих» тел и в какой-то момент t ₂ находится вблизи какого-то другого «ориентирующего» тела или тел. ^{[6] [7]}

Обнаружение вращения: красные флажки появляются на гибких рычагах, когда какой-либо объект действительно вращается. A: Центральный объект вращается. B: Внешнее кольцо вращается, но в противоположном направлении. C: Оба вращаются, но в противоположных направлениях. D: Оба сцеплены вместе и вращаются в одном направлении.

Однако Декарт признавал, что существует реальная разница между ситуацией, в которой тело с подвижными частями и первоначально находившееся в покое относительно окружающего кольца само ускорялось до определенной угловой скорости относительно кольца, и другой ситуацией в окружающему кольцу было придано противоположное ускорение по отношению к центральному объекту. Если рассматривать только центральный объект и окружающее кольцо, то движения будут неотличимы друг от друга, если предположить, что и центральный объект, и окружающее кольцо являются абсолютно жесткими объектами. Однако если бы ни центральный объект, ни окружающее его кольцо не были абсолютно жесткими, то части одного или обоих из них стремились бы вылететь за пределы оси вращения.

По случайным причинам, связанным с инквизицией , Декарт говорил о движении как об абсолютном, так и относительном. ^{[8] [ не удалось проверить ]}

К концу 19 века утверждение о том, что любое движение относительно, было вновь выдвинуто, в частности, Эрнстом Махом (1883). ^{[9] [10]}

Когда, соответственно, мы говорим, что тело сохраняет неизменным свое направление и скорость в пространстве , наше утверждение есть не что иное, как сокращенное указание на всю Вселенную .

—  Эрнст Мах; как цитируется Чуфолини и Уиллером : Гравитация и инерция , с. 387

Аргумент

Ньютон обсуждает ведро ( лат . situla ), наполненное водой, подвешенное на веревке. ^[11] Если шнур туго скрутить на себя, а затем отпустить ведро, оно начнет быстро вращаться не только относительно экспериментатора, но и относительно содержащейся в нем воды. (Эта ситуация соответствует диаграмме B выше.)

Хотя относительное движение на этом этапе наибольшее, поверхность воды остается плоской, что указывает на то, что части воды не имеют тенденции отходить от оси относительного движения, несмотря на близость к ведру. В конце концов, по мере того как шнур продолжает разматываться, поверхность воды принимает вогнутую форму, приобретая движение ведра, вращающегося относительно экспериментатора. Эта вогнутая форма показывает, что вода вращается, несмотря на то, что вода покоится относительно ведра. Другими словами, не относительное движение ведра и воды вызывает вогнутость воды, вопреки идее, что движения могут быть только относительными и что абсолютного движения не существует. (Эта ситуация соответствует диаграмме D.) Возможно, вогнутость воды показывает вращение относительно чего-то другого : скажем, абсолютного пространства? Ньютон говорит: «Можно обнаружить и измерить истинное и абсолютное круговое движение воды». ^[12]

В переводе слов Ньютона Эндрю Мотта 1846 года: ^[13]

Если сосуд, подвешенный на длинном шнуре, так часто поворачивают, что шнур сильно перекручивается, то наполняют его водой и удерживают в покое вместе с водой; после внезапного действия другой силы он закручивается в обратную сторону, и пока шнур раскручивается, сосуд некоторое время продолжает это движение; поверхность воды сначала будет ровной, как до того, как судно начало двигаться; но сосуд, постепенно сообщая свое движение воде, заставит ее начать ощутимо вращаться, мало-помалу отступать и подниматься к бокам сосуда, образуя вогнутую фигуру... Это подъем воды показывает его стремление отойти от оси своего движения; и истинное и абсолютное круговое движение воды, которое здесь прямо противоположно относительному, обнаруживает себя и может быть измерено этим усилием. ... И, следовательно, это усилие не зависит от какого-либо перемещения воды по отношению к окружающим телам, и такое перемещение не может определить истинное круговое движение. ...; но относительные движения... совершенно лишены какого-либо реального эффекта. ... Действительно, очень трудно обнаружить и эффективно отличить истинные движения отдельных тел от видимых; потому что части того неподвижного пространства, в котором совершаются эти движения, никоим образом не подпадают под наблюдение наших чувств.

-  Исаак Ньютон; Начала , Книга 1: Схолий

Аргумент о том, что движение является абсолютным, а не относительным, является неполным, поскольку он ограничивает участников эксперимента только ведром и водой, ограничение, которое не было установлено. Фактически, вогнутость воды явно предполагает гравитационное притяжение, и, как следствие, Земля тоже участвует в этом. Вот критика Маха, утверждающего, что установлено только относительное движение: ^[14]

Эксперимент Ньютона с вращающимся сосудом с водой просто сообщает нам, что относительное вращение воды относительно стенок сосуда не вызывает заметных центробежных сил, но что такие силы создаются ее относительным вращением по отношению к массе Земли. и другие небесные тела.

—  Эрнст Мах, цитируется Л. Букьо у Лейбница , с. 104

Степень интеграции гипотезы Маха в общую теорию относительности обсуждается в статье « Принцип Маха» ; Принято считать, что общая теория относительности не является полностью махистской.

Все наблюдатели сходятся во мнении, что поверхность вращающейся воды искривлена. Однако объяснение этой кривизны предполагает наличие центробежной силы для всех наблюдателей, за исключением действительно неподвижного наблюдателя, который обнаруживает, что кривизна соответствует скорости вращения воды, наблюдаемой им, без необходимости в дополнительной центробежной силе. Таким образом, можно идентифицировать стационарный кадр, и не нужно спрашивать «Стационарно относительно чего?»:

Исходный вопрос: «Относительно какой системы отсчета действуют законы движения?» оказывается неправильно поставленным. Ведь законы движения по существу определяют класс систем отсчета и (в принципе) порядок их построения. ^[15]

Дополнительный мысленный эксперимент с той же целью определения возникновения абсолютного вращения был предложен и Ньютоном: пример наблюдения двух одинаковых сфер, вращающихся вокруг своего центра тяжести и связанных между собой веревкой. Возникновение натяжения струны свидетельствует об абсолютном вращении; см. Вращающиеся сферы .

Детальный анализ

Граница раздела двух несмешивающихся жидкостей, вращающихся вокруг вертикальной оси, представляет собой круглый параболоид, открывающийся вверх.

Исторический интерес эксперимента с вращающимся ведром заключается в том, что он позволяет предположить, что можно обнаружить абсолютное вращение, наблюдая за формой поверхности воды. Однако можно задаться вопросом, как вращение приводит к такому изменению. Ниже представлены два подхода к пониманию вогнутости поверхности вращающейся воды в ведре.

Диаграмма сил для элемента водной поверхности во вращающейся системе отсчета. Вверху : радиальный разрез и выбранная точка на поверхности воды; вода, вращающаяся вместе система и радиальное сечение имеют постоянную угловую скорость вращения, задаваемую вектором Ω . Внизу : диаграмма силы в выбранной точке поверхности. Наклон поверхности регулируется так, чтобы сумма всех трех сил была равна нулю.

Законы движения Ньютона

Форму поверхности вращающейся жидкости в ведре можно определить, используя законы Ньютона для различных сил, действующих на элемент поверхности. Например, см. Кнудсен и Хьорт. ^[16] Анализ начинается с диаграммы свободного тела во вращающейся системе отсчета, где вода кажется неподвижной. Высота воды h = h ( r ) является функцией радиального расстояния r от оси вращения Ω , и цель состоит в том, чтобы определить эту функцию. Показано, что на элемент объема воды на поверхности действуют три силы: вертикальная сила гравитации F _g , горизонтальная центробежная сила, направленная радиально наружу F _Cfgl , и сила, нормальная к поверхности воды F _n остальная вода, окружающая выбранный элемент поверхности. Известно, что сила, действующая на окружающую воду, нормальна к поверхности воды, поскольку жидкость, находящаяся в равновесии, не может выдерживать напряжения сдвига . ^[17] Цитируем Энтони и Брэкетта: ^[18]

Поверхность жидкости одинаковой плотности... в состоянии покоя всюду перпендикулярна силовым линиям; ибо если бы это было не так, сила в точке поверхности могла бы быть разделена на две составляющие: одну перпендикулярную, а другую касательную к поверхности. Но по природе жидкости тангенциальная сила вызывает движение жидкости, что противоречит утверждению, что жидкость находится в состоянии покоя.

-  Уильям Арнольд Энтони и Сайрус Фогг Брэкетт: Элементарный учебник физики , с. 127

Более того, поскольку элемент воды не движется, сумма всех трех сил должна быть равна нулю. Чтобы сумма была равна нулю, сила воды должна быть направлена ​​противоположно сумме центробежной и гравитационной сил, а это означает, что поверхность воды должна отрегулироваться так, чтобы ее нормаль была направлена ​​в этом направлении. (Очень похожая проблема – конструкция поворота с креном , где наклон поворота задается таким образом, чтобы автомобиль не соскальзывал с дороги. Аналогия в случае вращающегося ковша состоит в том, что элемент водной поверхности будет «скользить» вверх или вниз по поверхности, если нормаль к поверхности не совпадает с результирующим вектором, образованным сложением векторов F _g + F _Cfgl .)

С увеличением r центробежная сила увеличивается согласно соотношению (уравнения записаны на единицу массы):

${\displaystyle F_{\mathrm {Cfgl} }=m\Omega ^{2}r\ ,}$

где Ω — постоянная скорость вращения воды. Сила гравитации не меняется при

${\displaystyle F_{\mathrm {g} }=mg\ ,}$

где g — ускорение свободного падения . Эти две силы суммируются, образуя равнодействующую под углом φ от вертикали, определяемую формулой

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {F_{\mathrm {Cfgl} }}{F_{\mathrm {g} }}}={\frac {\Omega ^{2}r}{g}}\ ,}$

которое, очевидно, становится больше с увеличением r . Чтобы гарантировать, что эта результирующая нормальна к поверхности воды и, следовательно, может быть эффективно сведена к нулю силой воды под ней, нормаль к поверхности должна иметь тот же угол, то есть

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} r}}\ ,}$

что приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению для формы поверхности:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} r}}={\frac {\Omega ^{2}r}{g}}\ ,}$

или, интегрируя:

${\displaystyle h(r)=h(0)+{\frac {1}{2g}}\left(\Omega r\right)^{2}\ ,}$

где h (0) — высота воды при r = 0. Другими словами, поверхность воды параболична в зависимости от радиуса.

Потенциальная энергия

Форму поверхности воды можно найти другим, очень интуитивным способом, используя интересную идею потенциальной энергии , связанной с центробежной силой во вращающейся во всех направлениях системе координат. В системе отсчета, равномерно вращающейся с угловой скоростью Ω, фиктивная центробежная сила консервативна и имеет потенциальную энергию вида: ^{[19] [20]}

${\displaystyle {U}_{\mathrm {Cfgl} }=-{\frac {1}{2}}m\Omega ^{2}r^{2}\ ,}$

где r — радиус от оси вращения. Этот результат можно проверить, взяв градиент потенциала для получения радиально внешней силы:

${\displaystyle F_{\mathrm {Cfgl} }=-{\frac {\partial }{\partial r}}{U}_{\mathrm {Cfgl} }}$  ${\displaystyle =m\Omega ^{2}r\ .}$

Смысл потенциальной энергии (запасенной работы) состоит в том, что перемещение пробного тела от большего радиуса к меньшему предполагает совершение работы против центробежной силы и, таким образом, приобретение потенциальной энергии. Но это пробное тело на меньшем радиусе, где его высота ниже, теперь потеряло эквивалентную гравитационную потенциальную энергию.

Таким образом, потенциальная энергия объясняет вогнутость поверхности воды во вращающемся ведре. Обратите внимание, что в состоянии равновесия поверхность принимает такую ​​форму, что элемент объема в любом месте ее поверхности имеет ту же потенциальную энергию, что и в любом другом. При этом ни один элемент воды на поверхности не имеет никакого стимула к перемещению положения, поскольку все положения эквивалентны по энергии. То есть равновесие достигается. С другой стороны, если бы были доступны области поверхности с более низкой энергией, вода, занимающая участки поверхности с более высокой потенциальной энергией, переместилась бы, чтобы занять эти позиции с более низкой энергией, поскольку в идеальной жидкости нет препятствий для бокового движения.

Мы могли бы вообразить, что намеренно нарушаем эту ситуацию равновесия, каким-то образом на мгновение изменив форму поверхности воды, чтобы она отличалась от поверхности с равной энергией. Это изменение формы не будет стабильным, и вода не будет оставаться в нашей искусственно придуманной форме, а будет участвовать в кратковременном исследовании множества форм до тех пор, пока не возникнут неидеальные силы трения, возникающие в результате выплескивания либо по бокам ведра, либо по поверхности ведра. неидеальный характер жидкости убил колебания и вода приняла равновесную форму.

Чтобы увидеть в действии принцип поверхности равной энергии, представьте, что скорость вращения ковша постепенно увеличивается от нуля. Поверхность воды сначала плоская и, очевидно, представляет собой поверхность с одинаковой потенциальной энергией, поскольку все точки на поверхности находятся на одинаковой высоте в гравитационном поле, действующем на воду. Однако при некоторой небольшой угловой скорости вращения элемент поверхностной воды может достичь более низкой потенциальной энергии, перемещаясь наружу под действием центробежной силы; представьте себе объект, движущийся под действием силы тяжести ближе к центру Земли: объект снижает свою потенциальную энергию, подчиняясь силе. Поскольку вода несжимаема и должна оставаться в пределах ведра, это движение наружу увеличивает глубину воды по большему радиусу, увеличивая высоту поверхности по большему радиусу и опуская ее по меньшему радиусу. Поверхность воды становится слегка вогнутой, в результате чего потенциальная энергия воды на большем радиусе увеличивается за счет работы, совершаемой против силы тяжести для достижения большей высоты. По мере увеличения высоты воды движение к периферии перестает быть выгодным, поскольку уменьшение потенциальной энергии от работы с центробежной силой уравновешивается увеличением энергии, работающей против силы тяжести. Таким образом, при заданной угловой скорости вращения вогнутая поверхность представляет собой стабильную ситуацию, и чем быстрее вращение, тем более вогнутая поверхность. Если вращение остановлено, энергия, накопленная при формировании вогнутой поверхности, должна быть рассеяна, например, за счет трения, прежде чем будет восстановлена ​​равновесная плоская поверхность.

Чтобы количественно реализовать поверхность с постоянной потенциальной энергией, пусть высота воды равна : тогда потенциальная энергия на единицу массы, вносимая силой тяжести, равна , а полная потенциальная энергия на единицу массы на поверхности равна ${\displaystyle h(r)\,}$ ${\displaystyle gh(r)\ }$

${\displaystyle {U}={U}_{0}+gh(r)-{\frac {1}{2}}\Omega ^{2}r^{2}\,}$

с фоновым уровнем энергии, не зависящим от r . В статической ситуации (отсутствие движения жидкости во вращающейся системе отсчета) эта энергия постоянна и не зависит от положения r . Требуя, чтобы энергия была постоянной, мы получаем параболическую форму: ${\displaystyle {U}_{0}}$

${\displaystyle h(r)={\frac {\Omega ^{2}}{2g}}r^{2}+h(0)\ ,}$

где h (0) — высота в точке r = 0 (ось). См. рисунки 1 и 2.

Принцип действия центрифуги также можно просто понять с помощью этого выражения для потенциальной энергии, которое показывает, что энергетически выгодно, когда объем, далекий от оси вращения, занят более тяжелым веществом.

Смотрите также

• Центробежная сила
• Инерциальная система отсчета
• Принцип Маха
• Механика движения плоских частиц
• Философия пространства и времени: абсолютизм против реляционализма
• Вращающаяся система отсчета
• Вращающиеся сферы
• Вращательная гравитация
• Эффект Саньяка

Рекомендации

1. Дисалле, Роберт (2002). Коэн, И. Бернард; Смит, Джордж Э. (ред.). Кембриджский спутник Ньютона. Издательство Кембриджского университета. п. 43. ИСБН 0-521-65696-6.
2. Гилсон, Джеймс Г. (1 сентября 2004 г.), Принцип Маха II , arXiv : физика/0409010 , Bibcode : 2004физика...9010G
3. См. онлайн-версию Principia в переводе Эндрю Мотта, стр. 77–82.
4. Декарт, Рене (1988). Декарт: Избранные философские сочинения. Перевод Коттингема, Джона. Издательство Кембриджского университета. п. 191. ИСБН 0-521-35812-4.
5. Александр Койр (1957). От закрытого мира к бесконечной Вселенной. Забытые книги. п. 75. ИСБН 1-60620-143-3.
6. Рене Декарт (1664). Принципы философии . Часть II, §25.
7. Дэниел Гарбер (1992). Метафизическая физика Декарта. Издательство Чикагского университета. п. 170. ИСБН 0-226-28219-8.
8. Роберт Дисаль (2006). Понимание пространства-времени: философское развитие физики от Ньютона до Эйнштейна. Издательство Кембриджского университета. п. 19. ISBN 0-521-85790-2.
9. Мах, Э. (1960 [1883]), Наука механики , LaSalle, IL: Open Court Publishing, стр. 284.
10. Игнацио Чуфолини, Джон Арчибальд Уиллер (1995). Гравитация и инерция. Издательство Принстонского университета. стр. 386–387. ISBN 0-691-03323-4.
11. Обсуждение первоначального аргумента Ньютона см. в Max Born & Günther Leibfried (январь 1962 г.). Теория относительности Эйнштейна. Нью-Йорк: Публикации Courier Dover. стр. 78–79. ISBN 0-486-60769-0.
12. Роберт Дисаль (25 апреля 2002 г.). «Философский анализ пространства и времени Ньютона». В И. Бернарде Коэне, Джордже Эдвине Смите (ред.).оп. цит.. п. 45. ИСБН 0-521-65696-6.
13. См. «Начала» в Интернете на сайте Эндрю Мотта, стр. 79–81.
14. Букьо, Л. (2008). Даскаль, Марсело (ред.). Лейбниц. Спрингер. п. 104. ИСБН 978-1-4020-8667-0.
15. Роберт ДиСалле (лето 2002 г.). «Пространство и время: инерциальные рамки». В Эдварде Н. Залте (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.
16. Йенс М. Кнудсен, Пол Г. Хьёрт (2000). Элементы ньютоновской механики (3-е изд.). Спрингер. п. 143. ИСБН 3-540-67652-Х.
17. Лоуренс С. Лернер (1997). Физика для ученых и инженеров. Джонс и Бартлетт. п. 404. ИСБН 0-86720-479-6.
18. Уильям Арнольд Энтони и Сайрус Фогг Брэкетт (1884). Элементарный учебник физики. Уайли. п. 127. Закон Паскаля.
19. Роберт Дэниел Кармайкл (1920). Теория относительности. Джон Уайли и сыновья. п. 78. вымышленный потенциал Кристоффеля.
20. Ханс Дж. Вебер и Джордж Б. Арфкен (2003). Основные математические методы для физиков. Академическая пресса. п. 79. ИСБН 0-12-059877-9.

дальнейшее чтение

• Брайан Грин (2004). «Глава 2, Вселенная и ведро». Ткань космоса: пространство, время и текстура реальности . А. А. Кнопф. ISBN 0-375-41288-3.
• Изотропия космического микроволнового фонового излучения является еще одним индикатором того, что Вселенная не вращается. Видеть:
  • Р.Б. Партридж (1995). 3 К: Космическое микроволновое фоновое излучение. Издательство Кембриджского университета. стр. 279–280. ISBN 0-521-35254-1.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
  • Д. Линден-Белл (1996). Релятивистская астрофизика (Игорь Дмитриевич Новиков, Бернар Жан Трефор Джонс, Драза Маркович (редакторы)). п. 167. ИСБН 0-521-62113-5.
  • Ральф А. Альфер и Роберт Херман (1975). Космология Большого взрыва и космическое излучение черного тела (в Proc. Am. Philos. Soc. vol. 119, № 5 (1975) изд.). стр. 325–348. ISBN 9781422371077.

Внешние ссылки

• Взгляды Ньютона на пространство, время и движение из Стэнфордской энциклопедии философии, статья Роберта Ринасевича. В конце статьи обсуждается потеря тонких различий в переводах по сравнению с оригинальным латинским текстом.
• «Жизнь и философия Лейбница» см. в разделе « Пространство, время и неразличимое» , где Лейбниц выступает против идеи пространства, действующего как причинный агент.
• Ведро Ньютона Интерактивный апплет, иллюстрирующий форму воды, и прикрепленный PDF-файл с математическим выводом более полной модели формы воды, чем представлено в этой статье.