Аргумент (комплексный анализ)

Угол комплексного числа относительно вещественной оси

Рисунок 1. Эта диаграмма Аргана представляет собой комплексное число , лежащее на плоскости . Для каждой точки плоскости arg — это функция, возвращающая угол . ${\displaystyle \varphi }$

В математике (особенно в комплексном анализе ) аргумент комплексного числа z , обозначаемый arg( z ) , представляет собой угол между положительной действительной осью и линией, соединяющей начало координат и z , представленный как точка на комплексной плоскости , показанная как на рисунке 1. По соглашению положительная действительная ось изображается направленной вправо, положительная мнимая ось изображается направленной вверх, а комплексные числа с положительной действительной частью считаются имеющими аргумент против часовой стрелки с положительным знаком. ${\displaystyle \varphi }$

Когда рассматривается любой действительный угол, аргумент представляет собой многозначную функцию , работающую с ненулевыми комплексными числами . Главное значение этой функции является однозначным, обычно выбирается в качестве уникального значения аргумента, лежащего в интервале (− π , π ] . ^{[1] [2]} В этой статье многозначная функция будет обозначаться arg( z ) и его основное значение будет обозначаться Arg( z ) , но в некоторых источниках капитализация этих символов поменяна местами.

Определение

Рисунок 2. Два варианта аргументации ${\displaystyle \varphi }$

Аргумент комплексного числа z = x + iy , обозначаемый arg ( z ) , определяется двумя эквивалентными способами:

1. Геометрически, в комплексной плоскости , как двумерный полярный угол от положительной действительной оси к вектору, представляющему z . Числовое значение определяется углом в радианах и является положительным, если измеряется против часовой стрелки. ${\displaystyle \varphi }$
2. Алгебраически, как любая действительная величина такая, что ${\displaystyle \varphi }$
   $${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }}$$
   для некоторого положительного действительного r (см. формулу Эйлера ). Величина r представляет собой модуль (или абсолютное значение) z , обозначаемый | г |:
   $${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

Названия величина для модуля и фаза ^[3] [ 1 ^] для аргумента иногда используются эквивалентно.

Согласно обоим определениям видно, что аргумент любого ненулевого комплексного числа имеет множество возможных значений: во-первых, что касается геометрического угла, то ясно, что вращение всей окружности не меняет точку, поэтому углы, отличающиеся на целое число, кратное 2π радиан (полный круг) такие же, как показано на рисунке 2 справа. Аналогично, судя по периодичности sin и cos , второе определение также обладает этим свойством . Нулевой аргумент обычно остается неопределенным.

Альтернативное определение

Комплексный аргумент также можно определить алгебраически через комплексные корни как:

$${\displaystyle \arg(z)=\lim _{n\to \infty }n\cdot \operatorname {Im} {\sqrt[{n}]{z/|z|}}}$$

арктангенскусочномкорнейглавную ветвь квадратного корняона ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle \arg(0)}$

Основная ценность

Рисунок 3. Главное значение Arg синей точки в точке 1 + i равно π/4 . Красная линия здесь представляет собой срез ветки и соответствует двум красным линиям на рисунке 4, расположенным вертикально друг над другом).

Поскольку полный поворот вокруг начала координат оставляет комплексное число неизменным, существует множество вариантов, которые можно сделать, обведя начало координат любое количество раз. Это показано на рисунке 2, представлении многозначной ( множествозначной) функции , где вертикальная линия (не показана на рисунке) разрезает поверхность на высотах, представляющих все возможные варианты угла для этой точки. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f(x,y)=\arg(x+iy)}$

Когда требуется четко определенная функция, то обычный выбор, известный как главное значение , — это значение в открытом-замкнутом интервале (− π рад, π рад] , то есть от — π до π радиан , исключая — π сам рад (экв. от -180 до +180 градусов , исключая саму -180°). Это представляет собой угол до половины полного круга от положительной действительной оси в любом направлении.

Некоторые авторы определяют диапазон главного значения как находящийся в закрыто-открытом интервале [0, 2 π ) .

Обозначения

Начальная буква главного значения иногда пишется с заглавной буквы, как в Arg z , особенно если рассматривается также общая версия аргумента. Обратите внимание, что обозначения различаются, поэтому arg и Arg могут меняться местами в разных текстах.

Множество всех возможных значений аргумента можно записать в терминах Arg как:

${\displaystyle \arg(z)=\{\operatorname {Arg} (z)+2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \}.}$

Вычисление из действительной и мнимой части

Если комплексное число известно в виде его действительной и мнимой частей, то функция, вычисляющая главное значение Arg , называется арктангенсной функцией с двумя аргументами atan2 :

${\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)}$.

Функция atan2 доступна в математических библиотеках многих языков программирования, иногда под другим именем, и обычно возвращает значение в диапазоне (−π, π] . ^[1]

В некоторых источниках аргумент определяется так, однако это правильно только тогда, когда x > 0 , где четко определен и угол лежит между и Распространение этого определения на случаи, когда x не является положительным, относительно сложно. В частности, можно определить главное значение аргумента отдельно в полуплоскости x > 0 и двух квадрантах с x < 0 , а затем соединить определения вместе: ${\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\arctan(y/x),}$ ${\displaystyle y/x}$ ${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0,\\[5mu]\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\[5mu]\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\[5mu]+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\[5mu]-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0,\\[5mu]{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}$

См. atan2 для получения дополнительной информации и альтернативных реализаций.

Личности

Одной из основных причин определения главного значения Arg является возможность записывать комплексные числа в форме модуля-аргумента. Следовательно , для любого комплексного числа z

${\displaystyle z=\left|z\right|e^{i\operatorname {Arg} z}.}$

Это действительно действительно только в том случае, если z не равно нулю, но может считаться действительным для z = 0 , если Arg(0) рассматривается как неопределенная форма , а не как неопределенная.

Далее следуют некоторые другие личности. Если z ₁ и z ₂ — два ненулевых комплексных числа, то

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})&\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }},\\\operatorname {Arg} \left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)&\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }}.\end{aligned}}}$

Если z ≠ 0 и n — любое целое число, то ^[1]

${\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z^{n}\right)\equiv n\operatorname {Arg} (z){\pmod {\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }}.}$

Пример

${\displaystyle \operatorname {Arg} {\biggl (}{\frac {-1-i}{i}}{\biggr )}=\operatorname {Arg} (-1-i)-\operatorname {Arg} (i)=-{\frac {3\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}=-{\frac {5\pi }{4}}}$

Используя комплексный логарифм

Из , мы получаем альтернативно . Поскольку мы берем мнимую часть, любая нормализация действительным скаляром не повлияет на результат. Это полезно, когда есть комплексный логарифм . ${\displaystyle z=|z|e^{i\operatorname {Arg} (z)}}$ ${\displaystyle i\operatorname {Arg} (z)=\ln {\frac {z}{|z|}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Arg} (z)=Im[\ln {\frac {z}{|z|}}]=Im[\ln z]}$

Расширенный аргумент

Расширенный аргумент числа z (обозначается как ) представляет собой набор всех действительных чисел, конгруэнтных по модулю 2 . ^[4] ${\displaystyle {\overline {\arg }}(z)}$ ${\displaystyle \arg(z)}$ ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle {\overline {\arg }}(z)=\arg(z)+2k\pi ,\forall k\in \mathbb {Z} }$$

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Сложный аргумент». mathworld.wolfram.com . Проверено 31 августа 2020 г.
2. «Чистая математика». внутренний.ncl.ac.uk . Проверено 31 августа 2020 г.
3. Математический словарь (2002). фаза .
4. «Алгебраическая структура комплексных чисел». www.cut-the-knot.org . Проверено 29 августа 2021 г.

Библиография

• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ: введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной (3-е изд.). Нью-Йорк; Лондон: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-000657-1.
• Поннусвами, С. (2005). Основы комплексного анализа (2-е изд.). Нью-Дели; Мумбаи: Нароса. ISBN 978-81-7319-629-4.
• Бердон, Алан (1979). Комплексный анализ: принцип аргумента в анализе и топологии . Чичестер: Уайли. ISBN 0-471-99671-8.
• Боровский, Ефрем; Борвейн, Джонатан (2002) [1-е изд. 1989 как Математический словарь ]. Математика . Словарь Коллинза (2-е изд.). Глазго: ХарперКоллинз . ISBN 0-00-710295-Х.

Внешние ссылки

• Аргумент в математической энциклопедии .