Ассоциативность мощности

Свойство бинарной операции

В математике , в частности в абстрактной алгебре , ассоциативность степени — это свойство бинарной операции , представляющее собой слабую форму ассоциативности .

Определение

Алгебра (или, в более общем смысле, магма ) называется ассоциативной по мощности, если подалгебра, порожденная любым элементом, ассоциативна. Конкретно, это означает, что если элемент выполняет операцию сам по себе несколько раз, то не имеет значения, в каком порядке выполняются операции, например , . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle x*(x*(x*x))=(x*(x*x))*x=(x*x)*(x*x)}$

Примеры и свойства

Каждая ассоциативная алгебра является ассоциативной по мощности, но также и все другие альтернативные алгебры (например, октонионы , которые неассоциативны) и даже неальтернативные гибкие алгебры, такие как седенионы , тригинтадуонионы и алгебры Окубо . Любая алгебра, элементы которой идемпотентны, также является ассоциативной по мощности.

Возведение в степень любого положительного целого числа может быть определено последовательно всякий раз, когда умножение является ассоциативным по степени. Например, нет необходимости различать, следует ли определять x ^{3 как (} xx ) x или как x ( xx ), поскольку они равны. Возведение в степень нуля также может быть определено, если операция имеет элемент тождества , поэтому существование элементов тождества полезно в контекстах ассоциативности по степени.

Над полем характеристики алгебра является ассоциативной по мощности тогда и только тогда, когда она удовлетворяет и , где — ассоциатор (Альберт, 1948). ${\displaystyle [x,x,x]=0}$ ${\displaystyle [x^{2},x,x]=0}$ ${\displaystyle [x,y,z]:=(xy)z-x(yz)}$

Над бесконечным полем простых характеристик не существует конечного множества тождеств, характеризующего ассоциативность по мощности, но существуют бесконечные независимые множества, как описано Гаиновым (1970): ${\displaystyle p>0}$

• Для : и для ( ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle [x,x^{2},x]=0}$ ${\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$ ${\displaystyle n=3,2^{k}}$ ${\displaystyle k=2,3...)}$
• Для : для ( ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$ ${\displaystyle n=4,5,3^{k}}$ ${\displaystyle k=1,2...)}$
• Для : для ( ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$ ${\displaystyle n=3,4,6,5^{k}}$ ${\displaystyle k=1,2...)}$
• Для : для ( ${\displaystyle p>5}$ ${\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$ ${\displaystyle n=3,4,p^{k}}$ ${\displaystyle k=1,2...)}$

Закон подстановки справедлив для действительных степенно-ассоциативных алгебр с единицей, который в основном утверждает, что умножение многочленов работает так, как и ожидалось. Для f действительного многочлена от x и для любого a в такой алгебре определим f ( a ) как элемент алгебры, полученный в результате очевидной подстановки a в f . Тогда для любых двух таких многочленов f и g мы имеем, что ( fg )( a ) = f ( a ) g ( a ) .

Смотрите также

• Альтернативность

Ссылки

• Альберт, А. Адриан (1948). «Ассоциативные кольца степеней». Труды Американского математического общества . 64 : 552–593. doi : 10.2307/1990399 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1990399. MR  0027750. Zbl  0033.15402.
• Гайнов, AT (1970). "Ассоциативные по мощности алгебры над полем конечной характеристики". Алгебра и логика . 9 (1): 5–19. doi :10.1007/BF02219846. ISSN  0002-9947. MR  0281764. Zbl  0208.04001.
• Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998). Книга инволюций . Colloquium Publications. Том 44. С предисловием Жака Титса . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0904-0. Збл  0955.16001.
• Окубо, Сусуму (1995). Введение в октонион и другие неассоциативные алгебры в физике . Серия лекций памяти Монтролла по математической физике. Том 2. Cambridge University Press . стр. 17. ISBN 0-521-01792-0. MR  1356224. Zbl  0841.17001.
• Шафер, РД (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры. Довер. С. 128–148. ISBN 0-486-68813-5.