Байесовская эпистемология

Вероятностная теория познания

Байесовская эпистемология — это формальный подход к различным темам эпистемологии , берущий свое начало в работах Томаса Байеса в области теории вероятностей. ^[1] Одним из преимуществ ее формального метода по сравнению с традиционной эпистемологией является то, что ее концепции и теоремы могут быть определены с высокой степенью точности. Он основан на идее, что убеждения можно интерпретировать как субъективные вероятности . Как таковые, они подчиняются законам теории вероятностей , которые действуют как нормы рациональности . Эти нормы можно разделить на статические ограничения, определяющие рациональность убеждений в любой момент, и динамические ограничения, определяющие, как рациональные агенты должны менять свои убеждения при получении новых доказательств. Наиболее характерное байесовское выражение этих принципов встречается в виде голландских книг , которые иллюстрируют иррациональность агентов посредством серии ставок, приводящих к проигрышу агента независимо от того, какое из вероятностных событий произойдет. Байесианцы применили эти фундаментальные принципы к различным эпистемологическим темам, но байесианство не охватывает все темы традиционной эпистемологии. К проблеме подтверждения в философии науки , например, можно подойти через байесовский принцип обусловленности , утверждая, что часть свидетельств подтверждает теорию, если она повышает вероятность того, что эта теория верна. Были сделаны различные предложения по определению понятия когерентности с точки зрения вероятности, обычно в том смысле, что два предложения связаны, если вероятность их соединения выше, чем если бы они были нейтрально связаны друг с другом. Байесовский подход также оказался плодотворным в области социальной эпистемологии , например, в отношении проблемы свидетельств или проблемы групповых убеждений. Байесианство до сих пор сталкивается с различными теоретическими возражениями, которые до конца не решены.

Отношение к традиционной эпистемологии

Традиционная эпистемология и байесовская эпистемология являются формами эпистемологии, но они различаются в различных отношениях, например, в отношении своей методологии, интерпретации убеждений, роли, которую в них играет обоснование или подтверждение, а также некоторых исследовательских интересов. Традиционная эпистемология фокусируется на таких темах, как анализ природы знания , обычно с точки зрения обоснованных истинных убеждений , источников знаний , таких как восприятие или свидетельство, структура совокупности знаний , например, в форме фундаментализма или когерентизма . и проблема философского скептицизма или вопрос о том, возможно ли вообще познание. ^{[2] [3]} Эти запросы обычно основаны на эпистемической интуиции и рассматривают убеждения как присутствующие или отсутствующие. ^[4] С другой стороны, байесовская эпистемология работает путем формализации концепций и проблем, которые в традиционном подходе часто расплывчаты. Таким образом, он больше фокусируется на математической интуиции и обещает более высокую степень точности. ^{[1] [4]} Он рассматривает веру как непрерывное явление, которое проявляется в различных степенях, так называемое доверие . ^[5] Некоторые байесовцы даже предлагают отказаться от обычного понятия веры. ^[6] Но есть также предложения соединить эти два понятия, например, тезис Локка , который определяет убеждение как доверие, превышающее определенный порог. ^{[7] [8]} Обоснование играет центральную роль в традиционной эпистемологии, в то время как байесианцы сосредоточились на связанных понятиях подтверждения и опровержения посредством доказательств. ^[5] Понятие доказательств важно для обоих подходов, но только традиционный подход был заинтересован в изучении источников доказательств, таких как восприятие и память. Байесианство, с другой стороны, сосредоточилось на роли доказательств рациональности: как следует корректировать чье-то доверие после получения новых доказательств. ^[5] Существует аналогия между байесовскими нормами рациональности с точки зрения вероятностных законов и традиционными нормами рациональности с точки зрения дедуктивной непротиворечивости. ^{[5] [6]} Некоторые традиционные проблемы, такие как тема скептицизма по поводу наших знаний о внешнем мире, трудно выразить в терминах Байеса. ^[5]

Основы

Байесовская эпистемология основана лишь на нескольких фундаментальных принципах, которые можно использовать для определения различных других понятий и применять ко многим темам эпистемологии. ^{[5] [4]} По своей сути эти принципы представляют собой ограничения на то, как мы должны придавать достоверность утверждениям. Они определяют, во что будет верить идеально рациональный агент. ^[6] Основные принципы можно разделить на синхронические или статические принципы, которые управляют тем, как следует распределять доверие в любой момент, и диахронические или динамические принципы, которые определяют, как агент должен изменить свои убеждения после получения новых доказательств. Аксиомы вероятности и главный принцип принадлежат к статическим принципам, тогда как принцип обусловленности управляет динамическими аспектами как формой вероятностного вывода . ^{[6] [4]} Наиболее характерное байесовское выражение этих принципов встречается в виде голландских книг , которые иллюстрируют иррациональность агентов посредством серии ставок, которые приводят к проигрышу агента независимо от того, какое из вероятностных событий происходит. ^[4] Этот тест на определение иррациональности получил название «прагматического теста на саморазрушение». ^[6]

Убеждения, вероятности и ставки

Одним из важных отличий от традиционной эпистемологии является то, что байесовская эпистемология фокусируется не на понятии простого убеждения, а на понятии степеней убеждения, так называемых доверительных отношений . ^[1] Этот подход пытается уловить идею уверенности: ^[4] мы верим во все виды утверждений, но в некоторых мы более уверены, например в том, что Земля круглая, чем в других, например, что Платон был автором Первый Алкивиад . Эти степени имеют значения от 0 до 1. Степень 1 означает, что претензия полностью принята. С другой стороны, степень 0 соответствует полному неверию. Это означает, что утверждение полностью отвергается и человек твердо верит в противоположное утверждение. Степень 0,5 соответствует приостановке убеждений, что означает, что человек еще не принял решения: у него нет никакого мнения в любом случае, и поэтому он не принимает и не отвергает утверждение. Согласно байесовской интерпретации вероятности , достоверность означает субъективную вероятность. Следуя Фрэнку П. Рэмси , они интерпретируются с точки зрения готовности поставить деньги на иск. ^{[9] [1] [4]} Таким образом, вероятность того, что ваша любимая футбольная команда выиграет следующую игру с вероятностью 0,8 (т.е. 80%), будет означать готовность поставить до четырех долларов на шанс получить прибыль в один доллар. Это описание устанавливает тесную связь между байесовской эпистемологией и теорией принятия решений . ^{[10] [11]} Может показаться, что поведение при размещении ставок — это лишь одна особая область, которая как таковая не подходит для определения такого общего понятия, как доверие. Но, как утверждает Рэмси, мы всегда делаем ставку, если понимать это в самом широком смысле. Например, отправляясь на вокзал, мы делаем ставку на то, что поезд придет вовремя, иначе мы бы остались дома. ^[4] Из интерпретации достоверности с точки зрения готовности делать ставки следует, что было бы иррационально приписывать достоверность 0 или 1 какому-либо утверждению, за исключением противоречий и тавтологий . ^[6] Причина этого в том, что приписывание этих экстремальных значений означало бы, что человек был бы готов поставить на карту что угодно, включая свою жизнь, даже если выигрыш был бы минимальным. ^[1] Еще одним негативным побочным эффектом такой чрезмерной достоверности является то, что она навсегда фиксируется и больше не может обновляться при получении новых доказательств.

Этот центральный принцип байесовства, согласно которому достоверность интерпретируется как субъективная вероятность и, следовательно, регулируется нормами вероятности, получил название вероятностности . ^[10] Эти нормы выражают природу доверия идеально рациональных агентов. ^[4] Они не предъявляют требований относительно того, насколько мы должны доверять какому-либо отдельному убеждению, например, будет ли завтра дождь. Вместо этого они ограничивают систему убеждений в целом. ^[4] Например, если ваша уверенность в том, что завтра будет дождь, равна 0,8, то ваша уверенность в противоположном утверждении, т. е. в том, что завтра дождя не будет, должна быть 0,2, а не 0,1 или 0,5. По мнению Стефана Хартмана и Яна Шпренгера, аксиомы вероятности могут быть выражены через следующие два закона: (1) для любой тавтологии ; (2) Для несовместных (взаимоисключающих) предложений и , . ^[4] ${\displaystyle P(A)=1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P(A\lor B)=P(A)+P(B)}$

Другой важный байесовский принцип степеней убеждений – это принцип, предложенный Дэвидом Льюисом . ^[10] Он утверждает, что наше знание объективных вероятностей должно соответствовать нашим субъективным вероятностям в форме достоверности. ^{[4] [5]} Итак, если вы знаете, что объективная вероятность того, что монета упадет орлом, составляет 50%, тогда ваша уверенность в том, что монета упадет орлом, должна быть 0,5.

Аксиомы вероятности вместе с основным принципом определяют статический или синхронический аспект рациональности: какими должны быть убеждения агента, если рассматривать только один момент. ^[1] Но рациональность также включает в себя динамический или диахронический аспект, который играет роль в изменении убеждений человека при столкновении с новыми доказательствами. Этот аспект определяется принципом обусловленности . ^{[1] [4]}

Принцип обусловленности

Принцип обусловленности определяет, как доверие агента к гипотезе должно измениться при получении новых доказательств за или против этой гипотезы. ^{[6] [10]} Таким образом, он выражает динамический аспект того, как будут вести себя идеальные рациональные агенты. ^[1] Он основан на понятии условной вероятности , которая является мерой вероятности того, что одно событие произойдет при условии, что другое событие уже произошло. Безусловная вероятность того, что произойдет, обычно выражается как а условная вероятность того, что произойдет, учитывая, что B уже произошло, записывается как . Например, вероятность подбросить монету два раза и два раза упасть орлом составляет всего 25%. Но условная вероятность этого, учитывая, что при первом подбрасывании монеты выпал орел, составляет 50%. Принцип обусловленности применяет эту идею к достоверности: ^[1] мы должны изменить нашу уверенность в том, что монета выпадет орлом два раза после получения доказательства того, что она уже выпала орлом при первом подбрасывании. Вероятность, присвоенная гипотезе до события, называется априорной вероятностью . ^[12] Последующая вероятность называется апостериорной вероятностью . Согласно простому принципу условности , это можно выразить следующим образом: . ^{[1] [6]} Таким образом, апостериорная вероятность того, что гипотеза верна, равна условной априорной вероятности того, что гипотеза верна относительно доказательств, которая равна априорной вероятности того, что и гипотеза, и доказательства верны, разделенная априорной вероятностью того, что свидетельство истинно. Исходное выражение этого принципа, называемое теоремой Байеса , можно непосредственно вывести из этой формулировки. ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A\mid B)}$ ${\displaystyle P_{\text{posterior}}(H)=P_{\text{prior}}(H\mid E)={\frac {P_{\text{prior}}(H\land E)}{P_{\text{prior}}(E)}}}$

Простой принцип обусловленности предполагает, что наша достоверность полученных данных, т. е. их апостериорная вероятность, равна 1, что нереально. Например, ученым иногда приходится отбрасывать ранее принятые доказательства при совершении новых открытий, что было бы невозможно, если бы соответствующая достоверность была равна 1. ^[6] Альтернативная форма обусловленности, предложенная Ричардом Джеффри , корректирует формулу, чтобы принять вероятность доказательства во внимание: ^{[13] [14]} . ^[6] ${\displaystyle P_{\text{posterior}}(H)=P_{\text{prior}}(H\mid E)\cdot P_{\text{posterior}}(E)+P_{\text{prior}}(H\mid \lnot E)\cdot P_{\text{posterior}}(\lnot E)}$

Голландские книги

Голландская ставка – это серия ставок, которая обязательно приводит к проигрышу. ^{[15] [16]} Агент уязвим для голландской книги, если его доверие нарушает законы вероятности. ^[4] Это может быть либо в синхронных случаях, когда конфликт происходит между убеждениями, которых придерживаются одновременно, либо в диахронных случаях, когда агент не реагирует должным образом на новые доказательства. ^{[6] [16]} В самом простом синхронном случае задействованы только два доверия: доверие к суждению и его отрицание. ^[17] Законы вероятности утверждают, что эти два доверия вместе должны составлять 1, поскольку либо утверждение, либо его отрицание истинны. Агенты, нарушающие этот закон, уязвимы для синхронной голландской книги. ^[6] Например, учитывая утверждение, что завтра будет дождь, предположим, что степень уверенности агента в том, что это утверждение истинно, равна 0,51, а степень его ложности также равна 0,51. В этом случае агент будет готов принять две ставки по 0,51 доллара на шанс выиграть 1 доллар: одну на то, что пойдет дождь, а другую на то, что дождя не будет. Две ставки вместе стоят 1,02 доллара, что приводит к потере 0,02 доллара независимо от того, будет ли дождь или нет. ^[17] Принцип диахронических голландских книг тот же, но они более сложны, поскольку предполагают заключение ставок до и после получения новых доказательств и должны учитывать, что в каждом случае есть проигрыш, независимо от того, какими будут доказательства. быть. ^{[17] [16]}

Существуют разные интерпретации того, что значит, что агент уязвим для голландской книги. Согласно традиционной интерпретации, такая уязвимость показывает, что агент иррационален, поскольку он охотно участвует в поведении, которое не отвечает его интересам. ^[6] Одна из проблем этой интерпретации заключается в том, что она предполагает логическое всезнание как требование рациональности, что проблематично, особенно в сложных диахронических случаях. Альтернативная интерпретация использует голландские книги как «своего рода эвристику для определения того, когда степень убежденности потенциально может оказаться прагматически обреченной на провал». ^[6] Эта интерпретация совместима с более реалистичным взглядом на рациональность перед лицом человеческих ограничений. ^[16]

Голландские книги тесно связаны с аксиомами вероятности . ^[16] Голландская книжная теорема утверждает, что только те присвоения достоверности, которые не следуют аксиомам вероятности, уязвимы для голландских книг. Обратная теорема о голландской книге гласит, что никакое присвоение доверия, следующее этим аксиомам, не является уязвимым для голландской книги. ^{[4] [16]}

Приложения

Теория подтверждения

В философии науки подтверждение относится к отношению между доказательством и подтвержденной им гипотезой. ^[18] Теория подтверждения — это исследование подтверждения и неподтверждения: как научные гипотезы подтверждаются или опровергаются доказательствами. ^[19] Байесовская теория подтверждения предлагает модель подтверждения, основанную на принципе обусловленности . ^{[6] [18]} Свидетельство подтверждает теорию, если условная вероятность этой теории относительно доказательств выше, чем безусловная вероятность теории самой по себе. ^[18] Формально выражается: . ^[6] Если доказательства снижают вероятность гипотезы, то они ее опровергают. Ученых обычно интересует не только то, подтверждают ли те или иные доказательства теорию, но и то, насколько они подтверждают эту теорию. Существуют разные способы определения этой степени. ^[18] Самая простая версия просто измеряет разницу между условной вероятностью гипотезы относительно доказательств и безусловной вероятностью гипотезы, т.е. степень поддержки равна . ^[4] Проблема с измерением этой степени состоит в том, что она зависит от того, насколько достоверной является теория до получения доказательств. Таким образом, если ученый уже полностью уверен в истинности теории, то еще одно доказательство не сильно повлияет на его доверие, даже если доказательства будут очень убедительными. ^{[6] [4]} Существуют и другие ограничения на то, как должна вести себя мера доказательности, например, неожиданные доказательства, т.е. доказательства, которые сами по себе имеют низкую вероятность, должны обеспечивать большую поддержку. ^{[4] [18]} Ученые часто сталкиваются с проблемой выбора между двумя конкурирующими теориями. В таких случаях интерес заключается не столько в абсолютном подтверждении или том, насколько новое доказательство поддержит ту или иную теорию, сколько в относительном подтверждении, т.е. в том, какая теория в большей степени подкрепляется новыми доказательствами. ^[6] ${\displaystyle P(H\mid E)>P(H)}$ ${\displaystyle P(H\mid E)-P(H)}$

Хорошо известной проблемой теории подтверждения является парадокс ворона Карла Густава Гемпеля . ^{[20] [19] [18]} Хемпель начинает с указания на то, что вид черного ворона считается доказательством гипотезы о том, что все вороны черные, тогда как вид зеленого яблока обычно не считается доказательством за или против этой гипотезы. Парадокс состоит в том, что гипотеза «все вороны черные» логически эквивалентна гипотезе «если что-то не черное, то это не ворон». ^[18] Таким образом, поскольку вид зеленого яблока считается доказательством второй гипотезы, он также должен считаться доказательством первой. ^[6] Байесианство допускает, что вид зеленого яблока подтверждает гипотезу о вороне, хотя и объясняет нашу первоначальную интуицию иначе. Этот результат будет достигнут, если мы предположим, что вид зеленого яблока обеспечивает минимальную, но все же положительную поддержку гипотезы о вороне, в то время как обнаружение черного ворона обеспечивает значительно большую поддержку. ^{[6] [18] [20]}

Согласованность

Когерентность играет центральную роль в различных эпистемологических теориях, например, в когерентной теории истины или в когерентной теории обоснования . ^{[21] [22]} Часто предполагается, что наборы убеждений с большей вероятностью будут истинными, если они последовательны, чем в противном случае. ^[1] Например, мы с большей вероятностью поверим детективу, который сможет соединить все улики в связную историю. Однако не существует общего согласия относительно того, как следует определять согласованность. ^{[1] [4]} Байесианство было применено к этой области, предложив точные определения когерентности с точки зрения вероятности, которые затем можно использовать для решения других проблем, связанных с когерентностью. ^[4] Одно из таких определений было предложено Томодзи Сёгэндзи, который предполагает, что согласованность между двумя убеждениями равна вероятности их соединения, деленной на вероятности каждого в отдельности, т.е. ^{[4] [23]} Интуитивно это измеряет, насколько вероятно, что два убеждения верны одновременно, по сравнению с тем, насколько вероятно это было бы, если бы они были нейтрально связаны друг с другом. ^[23] Согласованность высока, если два убеждения релевантны друг другу. ^[4] Последовательность, определяемая таким образом, относится к присвоению достоверности. Это означает, что два предложения могут иметь высокую когерентность для одного агента и низкую когерентность для другого агента из-за разницы в априорных вероятностях доверия агентов. ^[4] ${\displaystyle Coherence(A,B)={\frac {P(A\land B)}{(P(A)\cdot P(B))}}}$

Социальная эпистемология

Социальная эпистемология изучает значимость социальных факторов для знания. ^[24] Например, в области науки это актуально, поскольку отдельные ученые должны доверять некоторым заявленным открытиям других ученых, чтобы прогрессировать. ^[1] Байесовский подход может применяться к различным темам социальной эпистемологии. Например, вероятностные рассуждения можно использовать в области свидетельских показаний , чтобы оценить, насколько достоверно данное сообщение. ^[6] Таким образом, можно формально показать, что показания свидетелей, вероятностно независимые друг от друга, обеспечивают большую поддержку, чем в противном случае. ^[1] Другая тема социальной эпистемологии касается вопроса о том, как объединить убеждения отдельных лиц внутри группы, чтобы прийти к убеждениям группы в целом. ^[24] Байесианство подходит к этой проблеме путем агрегирования вероятностных распределений разных людей. ^{[6] [1]}

Возражения

Проблема приор

Чтобы сделать вероятностные выводы на основе новых данных, необходимо уже иметь априорную вероятность, присвоенную рассматриваемому утверждению. ^[25] Но это не всегда так: есть много предложений, которые агент никогда не рассматривал и, следовательно, не имеет доверия. Эта проблема обычно решается путем присвоения вероятности рассматриваемому предложению, чтобы учиться на новых доказательствах посредством кондиционализации. ^{[6] [26]} Проблема априоров касается вопроса о том, как должно быть выполнено это первоначальное назначение. ^[25] Субъективные байесовцы считают, что помимо вероятностной когерентности нет или мало ограничений, которые определяют, как мы присваиваем начальные вероятности. Аргументом в пользу такой свободы в выборе начального уровня доверия является то, что уровень доверия будет меняться по мере того, как мы приобретаем больше доказательств, и будет сходиться к одному и тому же значению после достаточного количества шагов, независимо от того, с чего мы начинаем. ^[6] С другой стороны, объективные байесовцы утверждают, что существуют различные ограничения, определяющие первоначальное присвоение. Одним из важных ограничений является принцип безразличия . ^{[5] [25]} В нем говорится, что доверие должно быть равномерно распределено среди всех возможных результатов. ^{[27] [10]} Например, агент хочет предсказать цвет шаров, извлеченных из урны, содержащей только красные и черные шары, без какой-либо информации о соотношении красных и черных шаров. ^[6] Применительно к этой ситуации принцип безразличия гласит, что агент должен изначально предположить, что вероятность вытянуть красный шар составляет 50%. Это связано с соображениями симметричности: это единственное присваивание, в котором априорные вероятности инвариантны к изменению метки. ^[6] Хотя этот подход работает в некоторых случаях, в других он приводит к парадоксам. Другое возражение состоит в том, что не следует назначать априорные вероятности на основании первоначального незнания. ^[6]

Проблема логического всеведения

Нормы рациональности согласно стандартным определениям байесовской эпистемологии предполагают логическое всеведение : агент должен убедиться, что он точно следует всем законам вероятности для всех своих убеждений, чтобы считаться рациональным. ^{[28] [29]} Тот, кто не может этого сделать, уязвим для голландских книг и, следовательно, иррационален. Как отмечают критики, это нереалистичный стандарт для людей. ^[6]

Проблема старых доказательств

Проблема старых доказательств касается случаев, когда агент на момент получения доказательства не знает, что оно подтверждает гипотезу, а узнает об этом поддерживающем отношении только позже. ^[6] Обычно агент увеличивает свою веру в гипотезу после обнаружения этой связи. Но это не допускается в байесовской теории подтверждения , поскольку кондиционализация может произойти только при изменении вероятности доказательного утверждения, чего не происходит. ^{[6] [30]} Например, наблюдение определенных аномалий на орбите Меркурия является свидетельством общей теории относительности . Но эти данные были получены до того, как была сформулирована теория, поэтому их можно считать старыми свидетельствами. ^[30]

Смотрите также

• Байесовская статистика
• Байесовская вероятность
• Байесовский вывод
• Вероятностные интерпретации

Рекомендации

1. Олссон, Эрик Дж. (2018). «Байесовская эпистемология». Введение в формальную философию. Спрингер. стр. 431–442.
2. Тручеллито, Дэвид А. «Эпистемология». Интернет-энциклопедия философии . Проверено 5 марта 2021 г.
3. Штеуп, Матиас; Нета, Рам (2020). «Эпистемология». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 5 марта 2021 г.
4. Хартманн, Стефан; Шпренгер, Январь (2010). «Байесовская эпистемология». Путеводитель Рутледжа по эпистемологии. Лондон: Рутледж. стр. 609–620.
5. Хайек, Алан; Лин, Ханти (2017). «Повесть о двух эпистемологиях?». Рес Философия . 94 (2): 207–232. дои : 10.11612/resphil.1540. S2CID  160029122.
6. Тэлботт, Уильям (2016). «Байесовская эпистемология». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 6 марта 2021 г.
7. Дорст, Кевин (2019). «Локки максимизируют ожидаемую точность». Разум . 128 (509): 175–211. дои : 10.1093/mind/fzx028.
8. Локк, Дастин Трой (2014). «Тезис Локка по теории принятия решений». Запрос: Междисциплинарный философский журнал . 57 (1): 28–54. дои : 10.1080/0020174x.2013.858421. S2CID  85521556.
9. Хайек, Алан (2019). «Интерпретации вероятности: 3.3 Субъективная интерпретация». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 6 марта 2021 г.
10. Петтигрю, Ричард (2018). «Точность точности и законы достоверности». Философия и феноменологические исследования . 96 (3): 749–754. дои : 10.1111/phpr.12501. hdl : 1983/d9f3e1c4-1bc9-4e04-b74c-dba4eb795393 .
11. Вайсберг, Джонатан (2011). «Разновидности байесовства: 2.2 Степень достоверной интерпретации». Справочник по истории логики: Индуктивная логика.
12. «априорная вероятность». Оксфордский справочник . Проверено 6 марта 2021 г.
13. Мичем, Кристофер Дж.Г. (2015). «Понимание обусловленности». Канадский философский журнал . 45 (5): 767–797. дои : 10.1080/00455091.2015.1119611 . S2CID  220314588.
14. Трпин, Борут (2020). «Обусловление Джеффри: действуйте осторожно». Философские исследования . 177 (10): 2985–3012. дои : 10.1007/s11098-019-01356-3. S2CID  208112622.
15. Петтигрю, Ричард (2020). Аргументы голландской книги. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.
16. Винеберг, Сьюзен (2016). «Аргументы голландской книги». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 6 марта 2021 г.
17. Тэлботт, Уильям. «Байесовская эпистемология> Аргументы голландской книги (Стэнфордская энциклопедия философии)». plato.stanford.edu . Архивировано из оригинала 27 сентября 2021 г. Проверено 7 марта 2021 г.
18. Хубер, Франц. «Подтверждение и индукция». Интернет-энциклопедия философии . Проверено 6 марта 2021 г.
19. Крупи, Винченцо (2021). "Подтверждение". Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 6 марта 2021 г.
20. Фительсон, Бранден; Хоторн, Джеймс (2010). «Как байесовская теория подтверждения справляется с парадоксом воронов». Место вероятности в науке . Бостонские исследования в области философии науки. Том. 284. Спрингер. стр. 247–275. дои : 10.1007/978-90-481-3615-5_11. ISBN 978-90-481-3614-8.
21. Янг, Джеймс О. (2018). «Теория когерентности истины». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 4 марта 2021 г.
22. Олссон, Эрик (2017). «Когерентистские теории эпистемического обоснования». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 4 марта 2021 г.
23. Сёгенджи, Томодзи (1999). «Благоприятна ли согласованность истины?». Анализ . 59 (4): 338–345. дои : 10.1111/1467-8284.00191.
24. Голдман, Элвин; О'Коннор, Кейлин (2021). «Социальная эпистемология». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
25. Петтигрю, Ричард (2016). «Точность, риск и принцип безразличия». Философия и феноменологические исследования . 92 (1): 35–59. дои : 10.1111/phpr.12097. hdl : 1983/27124cd3-9c62-41d8-b4bf-88312b23deeb .
26. Барретт, Джеффри А. (2014). «Описание и проблема приоров». Эркеннтнис . 79 (6): 1343–1353. doi : 10.1007/s10670-014-9604-2. S2CID  1919566.
27. Ева, Бенджамин (2019). «Принципы безразличия». Журнал философии . 116 (7): 390–411. дои : 10.5840/jphil2019116724. S2CID  150379240.
28. Дограмачи, Синан (2018). «Решение проблемы логического всезнания». Философские вопросы . 28 (1): 107–128. дои : 10.1111/phis.12118. S2CID  171815326.
29. Хоук, Питер; Озгюн, Айбуке; Берто, Франческо (2020). «Фундаментальная проблема логического всезнания». Журнал философской логики . 49 (4): 727–766. дои : 10.1007/s10992-019-09536-6 . hdl : 11245.1/7afa8da4-b086-4740-ae3f-6e22fcbb4908 . S2CID  213998650.
30. Хаусон, Колин (1991). «Проблема «старых доказательств»». Британский журнал философии науки . 42 (4): 547–555. дои : 10.1093/bjps/42.4.547.

дальнейшее чтение

• Тительбаум, Майкл Г. (2022). Основы байесовской эпистемологии . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-870761-5.