Эксперимент Кавендиша

Эксперимент по измерению силы тяжести (1797–1798)

Схема Кавендиша его крутильного маятника, вид сверху. Маятник состоит из двух небольших сферических свинцовых грузов (h, h), подвешенных к 6-футовой горизонтальной деревянной балке, поддерживаемой в центре тонкой торсионной проволокой. Балка защищена от воздушных потоков внутри деревянного ящика (A, A, A, A) . Два больших груза (W, W), прикрепленные к отдельной подвеске, притягивают малые грузы, заставляя балку слегка вращаться. Вращение считывается с нониусных шкал (S) на обоих концах стержня. Большие грузы можно вращать на другую сторону торсионной балки (w, w) , заставляя балку вращаться в противоположном направлении.

Эксперимент Кавендиша , проведенный в 1797–1798 годах английским ученым Генри Кавендишем , был первым экспериментом по измерению силы тяжести между массами в лабораторных условиях ^[1] и первым экспериментом, давшим точные значения для гравитационной постоянной . ^{[2] [3] [4]} Из-за принятых тогда условных единиц измерения гравитационная постоянная не появляется явно в работе Кавендиша. Вместо этого результат изначально выражался как относительная плотность Земли ^[5] или, что эквивалентно, масса Земли . Его эксперимент дал первые точные значения для этих геофизических констант.

Эксперимент был разработан где-то до 1783 года геологом Джоном Мичеллом , ^{[6] [7],} который построил для него крутильный весовой аппарат. Однако Мичелл умер в 1793 году, не завершив работу. После его смерти аппарат перешел к Фрэнсису Джону Хайду Волластону , а затем к Кавендишу, который перестроил аппарат, но придерживался первоначального плана Мичелла. Затем Кавендиш провел серию измерений с помощью оборудования и сообщил о своих результатах в Philosophical Transactions of the Royal Society в 1798 году. ^[8]

Эксперимент

Аппарат состоял из крутильных весов, сделанных из шестифутового (1,8 м) деревянного стержня, горизонтально подвешенного на проволоке, с двумя свинцовыми сферами диаметром 2 дюйма (51 мм), весом 1,61 фунта (0,73 кг), по одной на каждом конце. Два массивных 12-дюймовых (300 мм), 348-фунтовых (158 кг) свинцовых шара, подвешенных отдельно, могли быть расположены вдали или по обе стороны от меньших шаров, на расстоянии 8,85 дюймов (225 мм). ^[9] Эксперимент измерял слабое гравитационное притяжение между маленькими и большими шарами, которое отклоняло стержень крутильных весов примерно на 0,16" (или всего на 0,03" с более жесткой подвесной проволокой).

Вертикальный разрез инструмента для крутильных весов Кавендиша, включая здание, в котором он был размещен. Большие шары были подвешены к раме, так что они могли вращаться с помощью шкива снаружи. Рисунок 1 статьи Кавендиша

Деталь, показывающая рычаг торсионного балансира ( m ), большой шар ( W ), маленький шар ( x ) и изолирующую коробку ( ABCDE ).

Два больших шара могли располагаться либо вдали от стержня торсионного баланса, либо по обе стороны от него. Их взаимное притяжение к маленьким шарам заставляло рычаг вращаться, скручивая подвесной трос. Рычаг вращался до тех пор, пока не достигал угла, при котором скручивающая сила троса уравновешивала объединенную гравитационную силу притяжения между большим и малым свинцовыми шарами. Измеряя угол стержня и зная скручивающую силу ( крутящий момент ) троса для данного угла, Кавендиш смог определить силу между парами масс. Поскольку гравитационную силу Земли на маленький шар можно было измерить непосредственно путем его взвешивания, отношение двух сил позволяло вычислить относительную плотность Земли, используя закон тяготения Ньютона .

Кавендиш обнаружил, что плотность Земли составляет5,448 ± 0,033 раза больше, чем у воды (хотя из-за простой арифметической ошибки, обнаруженной в 1821 году Фрэнсисом Бейли , ошибочное значениеВ его статье указано значение 5,480 ± 0,038 ). ^{[10] [11]} Текущее принятое значение составляет 5,514 г/см ³ .

Чтобы найти коэффициент кручения проволоки , крутящий момент, создаваемый проволокой для заданного угла скручивания, Кавендиш хронометрировал период собственных колебаний стержня баланса, когда он медленно вращался по часовой стрелке и против часовой стрелки против скручивания проволоки. Для первых 3 экспериментов период составлял около 15 минут, а для следующих 14 экспериментов период был вдвое меньше, около 7,5 минут. Период изменился, потому что после третьего эксперимента Кавендиш вставил более жесткую проволоку. Коэффициент кручения можно было рассчитать из этого, а также из массы и размеров баланса. На самом деле, стержень никогда не находился в состоянии покоя; Кавендишу приходилось измерять угол отклонения стержня во время его колебаний. ^[12]

Оборудование Кавендиша было необычайно чувствительным для своего времени. ^[10] Сила, необходимая для скручивания крутильных весов, была очень мала,1,74 × 10 ⁻⁷  Н [ ^13] (вес всего 0,0177 миллиграмма) или около 1 ⁄ 50 000 000 веса маленьких шариков. ^[14] Чтобы воздушные потоки и изменения температуры не мешали измерениям, Кавендиш поместил весь аппарат в ящик из красного дерева шириной около 1,98 метра, высотой 1,27 метра и толщиной 14 см [1] в закрытом сарае в своем поместье. Через два отверстия в стенах сарая Кавендиш использовал телескопы для наблюдения за движением горизонтального стержня крутильных весов. Ключевым наблюдаемым объектом, конечно, было отклонение стержня крутильных весов, которое Кавендиш измерил как около 0,16" (или всего 0,03" для более жесткой проволоки, используемой в основном). ^[15] Кавендиш смог измерить это небольшое отклонение с точностью лучше 0,01 дюйма (0,25 мм) с помощью нониусных шкал на концах стержня. ^[16] Точность результата Кавендиша не была превзойдена до эксперимента К. В. Бойза в 1895 году. Со временем крутильные весы Мичелла стали доминирующим методом измерения гравитационной постоянной ( G ), и большинство современных измерений все еще используют ее вариации. ^[17]

Результат Кавендиша предоставил дополнительные доказательства в пользу наличия металлического ядра планеты — идеи, впервые предложенной Чарльзом Хаттоном на основе его анализа эксперимента Шихаллиона 1774 года . ^[18] Результат Кавендиша в 5,4 г·см ⁻³ , на 23% больше, чем у Хаттона, близок к 80% плотности жидкого железа и на 80% выше плотности внешней коры Земли , что предполагает существование плотного железного ядра. ^[19]

Переформулировка результата Кавендиша наГ

Формулировка ньютоновской гравитации в терминах гравитационной постоянной не была стандартной до тех пор, пока не наступило время Кавендиша. Действительно, одно из первых упоминаний G относится к 1873 году, через 75 лет после работы Кавендиша. ^[20]

Кавендиш выразил свой результат в терминах плотности Земли. В переписке он называл свой эксперимент «взвешиванием мира». Более поздние авторы переформулировали его результаты в современных терминах. ^{[21] [22] [23]}

${\displaystyle G=g{\frac {R_{\text{earth}}^{2}}{M_{\text{earth}}}}={\frac {3g}{4\pi R_{\text{earth}}\rho _{\text{earth}}}}\,}$

После перевода в единицы СИ значение плотности Земли по Кавендишу, 5,448 г см ⁻³ , дает

Г =6,74 × 10 ⁻¹¹  м ³  кг ^–1  с ⁻² , ^[24]

что отличается всего на 1% от значения CODATA 2014 года6,67408 × 10−11  м3 ^{кг −1}  с  − ² . ^[25] Сегодня физики часто используют единицы, в которых гравитационная постоянная принимает другую форму. ^{Гауссова} гравитационная постоянная, используемая в космической динамике, является определенной константой, и эксперимент Кавендиша можно рассматривать как измерение этой константы. Во времена Кавендиша физики использовали те же единицы для массы и веса, по сути принимая g за стандартное ускорение. Затем, поскольку R _earth было известно, ρ _earth играло роль обратной гравитационной постоянной. Таким образом, плотность Земли была очень востребованной величиной в то время, и были более ранние попытки ее измерить, такие как эксперимент Шихаллиона в 1774 году.

ВыводГи масса Земли

Нижеследующее не является методом, который использовал Кавендиш, но описывает, как современные физики вычисляют результаты его эксперимента. ^{[26] [27] [28]} Согласно закону Гука , крутящий момент на торсионной проволоке пропорционален углу отклонения весов. Крутящий момент равен , где - коэффициент кручения проволоки. Однако крутящий момент в противоположном направлении также создается гравитационным притяжением масс. Его можно записать как произведение силы притяжения большого шара на маленький шар и расстояния L/2 до подвесной проволоки. Поскольку имеется две пары шаров, каждый из которых испытывает силу F на расстоянии ⁠ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \kappa \theta }$ ${\displaystyle \kappa }$Л/2⁠ от оси баланса крутящий момент, обусловленный силой тяжести, равен LF . В состоянии равновесия (когда баланс стабилизирован под углом ), общая величина крутящего момента должна быть равна нулю, поскольку эти два источника крутящего момента уравновешиваются. Таким образом, мы можем приравнять их величины, заданные формулами выше, что дает следующее: ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \kappa \theta \ =LF\,}$

Для F закон всемирного тяготения Ньютона используется для выражения силы притяжения между большим и маленьким шаром:

Упрощенная схема крутильных весов

${\displaystyle F={\frac {GmM}{r^{2}}}\,}$

Подстановка F в первое уравнение выше дает

${\displaystyle \kappa \theta \ =L{\frac {GmM}{r^{2}}}\qquad \qquad \qquad (1)\,}$

Чтобы найти коэффициент кручения ( ) проволоки, Кавендиш измерил период собственных резонансных колебаний T крутильных весов: ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{\kappa }}}}$

Предполагая, что масса самой торсионной балки пренебрежимо мала, момент инерции весов обусловлен только маленькими шариками. Рассматривая их как точечные массы, каждая на расстоянии L/2 от оси, получаем:

${\displaystyle I=m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}=2m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{2}}\,}$,

и так:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {mL^{2}}{2\kappa }}}\,}$

Решая это относительно , ​​подставляя в (1) и переставляя для G , получаем: ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle G={\frac {2\pi ^{2}Lr^{2}\theta }{MT^{2}}}\,}$.

После того, как G найден, притяжение объекта на поверхности Земли к самой Земле можно использовать для расчета массы и плотности Земли :

${\displaystyle mg={\frac {GmM_{\rm {earth}}}{R_{\rm {earth}}^{2}}}\,}$

${\displaystyle M_{\rm {earth}}={\frac {gR_{\rm {earth}}^{2}}{G}}\,}$

${\displaystyle \rho _{\rm {earth}}={\frac {M_{\rm {earth}}}{{\tfrac {4}{3}}\pi R_{\rm {earth}}^{3}}}={\frac {3g}{4\pi R_{\rm {earth}}G}}\,}$

Определения терминов

Ссылки

1. Мальчики 1894 стр. 355
2. Пойнтинг 1911, стр. 385.
3. «Цель [экспериментов, подобных эксперименту Кавендиша] можно рассматривать либо как определение массы Земли,... удобно выражаемой... как ее «средняя плотность», либо как определение «гравитационной постоянной», G». Эксперимент Кавендиша сегодня обычно описывается как измерение G . » (Клотфелтер, 1987, стр. 210).
4. Многие источники ошибочно утверждают, что это было первое измерение G (или плотности Земли); например: Фейнман, Ричард П. (1963). "7. Теория гравитации". в основном механика, излучение и тепло. Лекции Фейнмана по физике. Том I. Пасадена, Калифорния: Калифорнийский технологический институт (опубликовано в 2013 году). 7–6 Эксперимент Кавендиша. ISBN 9780465025626. Получено 9 декабря 2013 г. .Были и более ранние измерения, в основном Буге (1740) и Маскелайна (1774), но они были очень неточными (Пойнтинг, 1894) (Пойнтинг, 1911, стр. 386).
5. Клотфелтер 1987, стр. 210
6. Jungnickel & McCormmach 1996, стр. 336: Письмо Кавендиша Мичеллу от 1783 года содержит «...самое раннее упоминание о взвешивании мира». Неясно, относится ли «самое раннее упоминание» к Кавендишу или Мичеллу.
7. Кавендиш 1798, стр. 59 Кавендиш отдает должное Мичеллу за разработку эксперимента.
8. Кавендиш, Х. «Эксперименты по определению плотности Земли», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , (часть II) 88 стр. 469–526 (21 июня 1798 г.), перепечатано в Cavendish 1798 г.
9. Кавендиш 1798, стр. 59
10. Poynting 1894, стр. 45
11. Чисхолм, Хью , ред. (1911). «Кавендиш, Генри»  . Encyclopaedia Britannica . Том 5 (11-е изд.). Cambridge University Press. С. 580–581.
12. Кавендиш 1798, стр. 64
13. Мальчики 1894 стр. 357
14. Кавендиш 1798 стр. 60
15. Кавендиш 1798, стр. 99, Таблица результатов (цена деления шкалы = 1 ⁄ 20  дюйма ≈ 1,3 мм). Общее отклонение, показанное в большинстве испытаний, было вдвое больше, поскольку он сравнивал отклонение с большими шарами на противоположных сторонах коромысла.
16. Кавендиш 1798, стр. 63
17. Юнгникель и МакКорммах 1996, стр. 341
18. Дэнсон, Эдвин (2006). Взвешивание мира. Oxford University Press. С. 153–154. ISBN 978-0-19-518169-2.
19. см., например, Хрвое Ткалчич, Внутреннее ядро ​​Земли , Cambridge University Press (2017), стр. 2.
20. Корню, А.; Байль, Ж.Б. (1873). «Новое определение константы притяжения и средней плотности Земли». ЧР акад. наук. (на французском языке). 76 . Париж: 954–958.
21. Boys 1894, стр. 330 В этой лекции перед Королевским обществом Бойс представляет G и приводит доводы в пользу его принятия.
22. Пойнтинг 1894, стр. 4
23. Маккензи 1900, стр. vi
24. Манн, Адам (6 сентября 2016 г.). «Любопытный случай гравитационной постоянной». Труды Национальной академии наук .
25. Ли, Дженнифер Лорен (16 ноября 2016 г.). «Big G Redux: решение тайны озадачивающего результата». NIST .
26. "Эксперимент Кавендиша, демонстрации лекций в Гарварде, Гарвардский университет" . Получено 30 декабря 2013 г.. '[крутильные весы]...модифицированы Кавендишем для измерения G. '
27. Пойнтинг 1894, стр. 41
28. Clotfelter 1987 стр. 212 объясняет оригинальный метод расчета Кавендиша.

Источники

• Boys, C. Vernon (1894). «О ньютоновской постоянной тяготения». Nature . 50 (1292): 330–334. Bibcode :1894Natur..50..330.. doi : 10.1038/050330a0 . Получено 2013-12-30 .
• Кавендиш, Генри (1798). «Эксперименты по определению плотности Земли». Philosophical Transactions of the Royal Society . 88 : 469–526. doi : 10.1098/rstl.1798.0022 .
• Clotfelter, BE (1987). «Эксперимент Кавендиша, каким его знал Кавендиш». American Journal of Physics . 55 (3): 210–213. Bibcode : 1987AmJPh..55..210C. doi : 10.1119/1.15214.Устанавливает, что Кавендиш не определял G.
• Фальконер, Изобель (1999). «Генри Кавендиш: человек и измерение». Measurement Science and Technology . 10 (6): 470–477. Bibcode : 1999MeScT..10..470F. doi : 10.1088/0957-0233/10/6/310. S2CID  250862938.
• Ходжес, Лоран (1999). "Эксперимент Мишелла-Кавендиша", сайт факультета, Университет штата Айова. Архивировано из оригинала 2017-09-06 . Получено 2013-12-30 .Обсуждается вклад Мичелла и то, определил ли Кавендиш G.
• Юнгникель, Криста ; Маккормах, Рассел (1996). Кавендиш. Филадельфия, Пенсильвания: Американское философское общество . ISBN 978-0-87169-220-7. Получено 30.12.2013 .
• Лалли, Шон П. (1999). «Генри Кавендиш и плотность Земли». The Physics Teacher . 37 (1): 34–37. Bibcode : 1999PhTea..37...34L. doi : 10.1119/1.880145.
• Пойнтинг, Джон Х. (1894). Средняя плотность Земли: эссе, за которое в 1893 году была присуждена премия Адамса. Лондон: C. Griffin & Co. Получено 30.12.2013 .Обзор измерений силы тяжести с 1740 года.
• Пойнтинг, Джон Генри (1911). «Гравитация»  . В Чисхолм, Хью (ред.). Encyclopaedia Britannica . Том 12 (11-е изд.). Cambridge University Press. С. 384–389.

Внешние ссылки

• Физический портал

• Эксперимент Кавендиша в Фейнмановских лекциях по физике
• Боковая гравитация в подвале, The Citizen Scientist, 1 июля 2005 г. Домашний эксперимент Кавендиша, демонстрирующий расчет результатов и меры предосторожности, необходимые для устранения ветровых и электростатических ошибок.
• «Big 'G'», Physics Central, получено 8 декабря 2013 г. Эксперимент в Вашингтонском университете по измерению гравитационной постоянной с использованием вариации метода Кавендиша.
• Группа Эот-Уош, Вашингтонский университет. "Противоречие в гравитационной постоянной Ньютона". Архивировано из оригинала 2016-03-04 . Получено 8 декабря 2013 .. Обсуждается текущее состояние измерений G .
• Модель крутильных весов Кавендиша, полученная 28 августа 2007 г. в Музее науки в Лондоне.