Координатно-свободный

Безкоординатная или безкомпонентная трактовка научной теории или математической темы развивает ее концепции на любой форме многообразия без ссылки на какую-либо конкретную систему координат .

Преимущества

Методы, не использующие координаты, обычно допускают более простые системы уравнений и по сути ограничивают определенные типы несоответствий, обеспечивая большую математическую элегантность за счет некоторой абстракции от подробных формул, необходимых для оценки этих уравнений в определенной системе координат.

В дополнение к элегантности, безкоординатные обработки имеют решающее значение в некоторых приложениях для доказательства того, что данное определение хорошо сформулировано. Например, для векторного пространства с базисом может возникнуть соблазн построить двойственное пространство как формальную оболочку символов со скобкой , но не сразу становится ясно, что эта конструкция независима от выбранной начальной системы координат. Вместо этого лучше всего построить как пространство линейных функционалов со скобкой , а затем вывести формулы на основе координат из этой конструкции. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{1},...,v_{n}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle v_{1}^{*},...,v_{n}^{*}}$ ${\displaystyle \langle \sum \alpha _{i}v_{i},\sum \beta _{i}v_{i}^{*}\rangle :=\sum \alpha _{i}\beta _{i}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \langle v,\varphi \rangle =\varphi (v)}$

Тем не менее, иногда может быть слишком сложно исходить из координатно-свободной обработки, или координатно-свободная обработка может гарантировать уникальность, но не существование описываемого объекта, или координатно-свободная обработка может просто не существовать. В качестве примера последней ситуации отображение указывает на общий изоморфизм между конечномерным векторным пространством и его дуальным, но этот изоморфизм не подтверждается никаким координатно-свободным определением. В качестве примера второй ситуации, распространенный способ построения волокнистого произведения схем включает склеивание вдоль аффинных фрагментов. ^[1] Чтобы смягчить неэлегантность этой конструкции, волокнистое произведение затем характеризуется удобным универсальным свойством и доказывается, что оно не зависит от выбранных начальных аффинных фрагментов. ${\displaystyle v_{i}\mapsto v_{i}^{*}}$

История

Бескоординатные методы были единственным доступным подходом к геометрии (и теперь известны как синтетическая геометрия ) до разработки аналитической геометрии Декартом . После нескольких столетий изложения, основанного на координатах, современная тенденция, как правило, заключается в том, чтобы знакомить студентов с бескоординатными методами на ранних этапах, а затем выводить методы , основанные на координатах, из бескоординатных методов, а не наоборот .

Приложения

Области, которые теперь часто вводятся с помощью безкоординатных методов, включают векторное исчисление , тензоры , дифференциальную геометрию и компьютерную графику . ^[2]

В физике существование безкоординатных трактовок физических теорий является следствием принципа общей ковариантности .

Смотрите также

• Общая ковариация
• Основы геометрии
• Изменение основы
• Координатные условия
• Бескомпонентная обработка тензоров
• Независимость фона
• Бессмысленная топология

Ссылки

1. Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Springer. стр. 87. ISBN 978-0387902449.
2. DeRose, Tony D. Трехмерная компьютерная графика: подход без координат . Получено 25 сентября 2017 г.