В теории вероятностей распределение вероятностей является бесконечно делимым , если его можно выразить как распределение вероятностей суммы произвольного числа независимых и одинаково распределенных (iid) случайных величин . Характеристическая функция любого бесконечно делимого распределения тогда называется бесконечно делимой характеристической функцией . [1]
Более строго, распределение вероятностей F бесконечно делимо, если для каждого положительного целого числа n существуют n независимых случайных величин X n 1 , ..., X nn , сумма которых S n = X n 1 + ... + X nn имеет то же самое распределение F .
Концепция бесконечной делимости распределений вероятностей была введена в 1929 году Бруно де Финетти . Этот тип разложения распределения используется в теории вероятностей и статистике для поиска семейств распределений вероятностей, которые могли бы быть естественным выбором для определенных моделей или приложений. Бесконечно делимые распределения играют важную роль в теории вероятностей в контексте предельных теорем. [1]
Примерами непрерывных распределений, которые являются бесконечно делимыми, являются нормальное распределение , распределение Коши , распределение Леви и все другие члены семейства устойчивых распределений , а также гамма-распределение , распределение хи-квадрат , распределение Вальда , логнормальное распределение [2] и t-распределение Стьюдента .
Среди дискретных распределений примерами являются распределение Пуассона и отрицательное биномиальное распределение (и, следовательно, геометрическое распределение ). Одноточечное распределение, единственным возможным результатом которого является 0, также (тривиально) бесконечно делимо.
Равномерное распределение и биномиальное распределение не являются бесконечно делимыми, как и любые другие распределения с ограниченным носителем (≈ область конечного размера ), кроме одноточечного распределения, упомянутого выше. [3] Распределение обратной величины случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, также не является бесконечно делимым. [4]
Любое сложное распределение Пуассона бесконечно делимо; это непосредственно следует из определения.
Бесконечно делимые распределения появляются в широком обобщении центральной предельной теоремы : предел при n → +∞ суммы S n = X n 1 + ... + X nn независимых равномерно асимптотически пренебрежимо малых (uan) случайных величин в треугольном массиве
приближается — в слабом смысле — к бесконечно делимому распределению. Равномерно асимптотически пренебрежимое (uan) условие задается как
Так, например, если условие равномерной асимптотической ничтожности (uan) выполняется посредством соответствующего масштабирования одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией , то слабая сходимость соответствует нормальному распределению в классической версии центральной предельной теоремы. В более общем случае, если условие uan выполняется посредством масштабирования одинаково распределенных случайных величин (с не обязательно конечным вторым моментом), то слабая сходимость соответствует устойчивому распределению . С другой стороны, для треугольного массива независимых (немасштабированных) случайных величин Бернулли , где условие uan выполняется посредством
слабая сходимость суммы соответствует распределению Пуассона со средним λ, как показано в известном доказательстве закона малых чисел .
Каждое бесконечно делимое распределение вероятностей естественным образом соответствует процессу Леви . Процесс Леви — это стохастический процесс { L t : t ≥ 0} со стационарными независимыми приращениями , где стационарность означает, что при s < t распределение вероятностей L t − L s зависит только от t − s , а независимые приращения означают, что разность L t − L s не зависит от соответствующей разности на любом интервале , не перекрывающемся с [ s , t ], и аналогично для любого конечного числа взаимно неперекрывающихся интервалов.
Если { L t : t ≥ 0 } является процессом Леви, то для любого t ≥ 0 случайная величина L t будет бесконечно делимой: для любого n мы можем выбрать ( X n 1 , X n 2 , ..., X nn ) = ( L t / n − L 0 , L 2 t / n − L t / n , ..., L t − L ( n −1) t / n ). Аналогично, L t − L s бесконечно делима для любого s < t .
С другой стороны, если F — бесконечно делимое распределение, мы можем построить из него процесс Леви { L t : t ≥ 0 }. Для любого интервала [ s , t ], где t − s > 0 равно рациональному числу p / q , мы можем определить L t − L s так, чтобы он имел то же распределение, что и X q 1 + X q 2 + ... + X qp . Иррациональные значения t − s > 0 обрабатываются с помощью аргумента непрерывности.
Аддитивный процесс ( кадлаг , непрерывный по вероятности стохастический процесс с независимыми приращениями ) имеет бесконечно делимое распределение для любого . Пусть — его семейство бесконечно делимых распределений.
удовлетворяет ряду условий непрерывности и монотонности. Более того, если семейство бесконечно делимых распределений удовлетворяет этим условиям непрерывности и монотонности, то существует (единственно в законе) аддитивный процесс с этим распределением. [5]
