Бесконечная делимость возникает по-разному в философии , физике , экономике , теории порядка (раздел математики) и теории вероятностей (также раздел математики). Можно говорить о бесконечной делимости или ее отсутствии материи , пространства , времени , денег или абстрактных математических объектов, таких как континуум .
Происхождение идеи в западной традиции можно проследить до 5-го века до нашей эры, начиная с древнегреческого философа-досократика Демокрита и его учителя Левкиппа , которые теоретизировали делимость материи за пределами того, что может быть воспринято органами чувств, пока, в конечном итоге, не закончились неделимостью. атом. Индийский философ Махарши Канада также предложил атомистическую теорию, однако существует неясность относительно того, когда жил этот философ: где-то между 6 веком и 2 веком до нашей эры. Около 500 г. до н.э. он постулировал, что если мы продолжим делить материю ( падартх ), то будем получать все меньшие и меньшие частицы. В конечном итоге наступит время, когда мы встретим мельчайшие частицы, за пределами которых дальнейшее деление будет невозможно. Он назвал эти частицы Парману . Другой индийский философ, Пакудха Катьяяма , развил эту доктрину и сказал, что эти частицы обычно существуют в объединенной форме, что дает нам различные формы материи. [1] [2] Атомизм исследуется в диалоге Платона « Тимей» . Аристотель доказывает, что и длина, и время бесконечно делимы, опровергая атомизм. [3] Эндрю Пайл дает ясное объяснение бесконечной делимости на первых страницах своей книги «Атомизм и его критики» . Там он показывает, как бесконечная делимость включает в себя идею о том, что существует некий протяженный объект, например яблоко, который можно разделить бесконечно много раз, причем никогда нельзя разделить до точки или до какого-либо атома. Многие философы [ кто? ] утверждают, что бесконечная делимость предполагает либо совокупность бесконечного числа предметов (поскольку существует бесконечное число делений, то должна быть и бесконечная совокупность объектов), либо (реже) предметы размером в точку , либо и то, и другое. Пайл утверждает, что математика бесконечно делимых расширений не включает ни того, ни другого - что существуют бесконечные деления, а есть только конечные наборы объектов, и они никогда не делятся на точечные элементы без расширений.
Зенон задавался вопросом , как может двигаться стрела, если в один момент она находится здесь и неподвижна, а в более поздний момент находится где-то в другом месте и неподвижна.
Ошибочно, однако, рассуждение Зенона, когда он говорит, что если все, занимая равное пространство, покоится и если то, что находится в движении, всегда и в любой момент занимает такое пространство, то летящая стрела поэтому неподвижна. Это неверно, поскольку время не состоит из неделимых моментов, как и любая другая величина не состоит из неделимых. [4]
- Аристотель, Физика VI:9, 239b5.
Ссылаясь на парадокс Зенона о летящей стреле, Альфред Норт Уайтхед пишет, что «бесконечное число актов становления может иметь место за конечное время, если каждый последующий акт меньше в сходящейся серии»: [5]
Этот аргумент, насколько он верен, вызывает противоречие из двух посылок: (i) что в становлении нечто ( res vera ) становится, и (ii) что каждый акт становления делится на более раннюю и позднюю части, которые являются сами акты становления. Рассмотрим, например, акт становления в течение одной секунды. Акт делится на два акта: один — в первой половине второго, другой — во второй половине второго. Таким образом, то, что становится в течение всей секунды, предполагает то, что становится в течение первой половины секунды. Аналогично, то, что становится в течение первой полсекунды, предполагает то, что становится в течение первой четверти секунды, и так до бесконечности. Таким образом, если мы рассмотрим процесс становления до начала рассматриваемой секунды и спросим, что тогда становится, ответа дать невозможно. Ибо какое бы существо мы ни указали, оно предполагает более раннее существо, ставшее после начала второго и предшествующее указанному творению. Следовательно, нет ничего, что могло бы осуществить переход во второе, о котором идет речь. [5]
— А. Н. Уайтхед, Процесс и реальность.
До открытия квантовой механики не делалось никакого различия между вопросом о том, делима ли материя до бесконечности, и вопросом о том, можно ли разрезать материю на более мелкие части до бесконечности .
В результате греческое слово átomos ( ἄτομος ), которое буквально означает «неразрезаемый», обычно переводится как «неделимый». Хотя современный атом действительно делим, на самом деле он неразрезаем: не существует такого разделения пространства, чтобы его части соответствовали материальным частям атома. Другими словами, квантово-механическое описание материи больше не соответствует шаблонной парадигме. [6] Это проливает новый свет на древнюю загадку делимости материи. Множественность материального объекта — число его частей — зависит от существования не разграничивающих поверхностей, а внутренних пространственных отношений (взаимных положений между частями), не имеющих определенных значений. Согласно Стандартной модели физики элементарных частиц, частицы, составляющие атом — кварки и электроны — являются точечными частицами : они не занимают места. Тем не менее атом занимает пространство не какая-то пространственно протяженная «вещественность», которая «занимает пространство» и которую можно разрезать на все более и более мелкие кусочки, а неопределенность его внутренних пространственных отношений.
Физическое пространство часто рассматривается как бесконечно делимое: считается, что любая область в космосе, независимо от того, насколько она мала, может быть разделена дальше. Время также считается бесконечно делимым.
Однако, согласно лучшей на сегодняшний день теории в физике, Стандартной модели , существует расстояние (называемое планковской длиной , 1,616229(38)×10-35 метров , названное в честь одного из отцов квантовой теории Макса Планка ) и следовательно, временной интервал (количество времени, за которое свет проходит это расстояние в вакууме, 5,39116(13) × 10 −44 секунды, известный как планковское время ), в течение которого Стандартная модель, как ожидается, разрушится, что фактически делает это наименьший физический масштаб, о котором в настоящее время можно сделать значимые утверждения. Для предсказания физического поведения пространства-времени и фундаментальных частиц на меньших расстояниях требуется новая теория квантовой гравитации , которая объединяет до сих пор несовместимые теории квантовой механики и общей теории относительности. [ нужна цитата ]
Один доллар или один евро делится на 100 центов; платить можно только частями в цент. Цены на некоторые товары, такие как бензин, обычно повышаются с шагом в одну десятую цента за галлон или литр. Если бензин стоит 3,979 доллара за галлон и вы покупаете 10 галлонов, то «лишние» 9/10 цента будут в десять раз больше: «лишние» 9 центов, так что в этом случае цент будет оплачен. Деньги бесконечно делимы в том смысле, что они основаны на действительной системе счисления. Однако современные монеты не делятся (в прошлом некоторые монеты взвешивались при каждой транзакции и считались делимыми без каких-либо особых ограничений). В каждой транзакции есть точка точности, которая бесполезна, поскольку такие небольшие суммы денег не имеют значения для людей. Чем больше умножается цена, тем большее значение может иметь точность. Например, при покупке миллиона акций покупатель и продавец могут быть заинтересованы в разнице в цене в одну десятую цента, но это всего лишь выбор. Все остальное в измерении и выборе бизнеса также делится в зависимости от заинтересованности сторон. Например, финансовые отчеты могут предоставляться ежегодно, ежеквартально или ежемесячно. Некоторые бизнес-менеджеры составляют отчеты о движении денежных средств более одного раза в день.
Хотя время может быть бесконечно делимым, данные о ценах на ценные бумаги сообщаются в дискретные моменты времени. Например, если посмотреть на записи цен на акции в 1920-е годы, можно обнаружить цены в конце каждого дня, но, возможно, не через три сотые секунды после 12:47. Однако новый метод теоретически может обеспечить двойную скорость отчетности, что не помешает дальнейшему увеличению скорости отчетности. Возможно, это парадоксально, но техническая математика, применяемая к финансовым рынкам, часто оказывается проще, если в качестве приближения используется бесконечно делимое время. Даже в этих случаях выбирается точность работы, и измерения округляются до этого приближения. С точки зрения человеческого взаимодействия деньги и время делимы, но только до такой степени, что дальнейшее разделение не имеет значения, и какой именно момент невозможно определить точно.
Сказать, что поле рациональных чисел бесконечно делимо (т.е. теоретически плотный порядок ), означает, что между любыми двумя рациональными числами есть другое рациональное число. Напротив, кольцо целых чисел не является бесконечно делимым.
Бесконечная делимость не подразумевает отсутствие пробелов: рациональные числа не обладают свойством наименьшей верхней границы . Это означает, что если разделить рациональные числа на два непустых множества A и B , где A содержит все рациональные числа, меньшие некоторого иррационального числа ( скажем, π ), а B - все рациональные числа, большие его, то A не имеет наибольшего члена, а B не имеет наименьшего члена. Поле действительных чисел , напротив, бесконечно делимо и не имеет пробелов. Любое линейно упорядоченное множество , бесконечно делимое и не имеющее пробелов и имеющее более одного члена, является несчетно бесконечным . Доказательство см. в первом доказательстве несчетности Кантора . Одна только бесконечная делимость подразумевает бесконечность, но не несчетность, как это иллюстрируют рациональные числа.
Сказать, что распределение вероятностей F на вещественной прямой бесконечно делимо, означает, что если X — любая случайная величина , распределение которой равно F , то для каждого положительного целого числа n существует n независимых одинаково распределенных случайных величин X 1 , ..., X n сумма которых по распределению равна X (эти n других случайных величин обычно не имеют такого же распределения вероятностей, как X ).
Распределение Пуассона , распределение Пуассона с заиканием, отрицательное биномиальное распределение и гамма - распределение являются примерами бесконечно делимых распределений, как и нормальное распределение , распределение Коши и все другие члены семейства стабильных распределений . Косонормальное распределение является примером распределения, не делимого до бесконечности. (См. Домингес-Молина и Роча-Артеага (2007).)
Каждое бесконечно делимое распределение вероятностей естественным образом соответствует процессу Леви , т. е. случайному процессу { X t : t ≥ 0} со стационарными независимыми приращениями ( стационарность означает, что для s < t распределение вероятностей X t − X s зависит только от t − s ; независимые приращения означают, что эта разность не зависит от соответствующей разности на любом интервале, не перекрывающемся с [ s , t ], и аналогично для любого конечного числа интервалов).
Эта концепция бесконечной делимости вероятностных распределений была введена в 1929 году Бруно де Финетти .
{{cite book}}: Отсутствует или пусто |title=( помощь )