Бесконечная делимость (вероятность)

В теории вероятностей распределение вероятностей бесконечно делимо , если его можно выразить как распределение вероятностей суммы произвольного числа независимых и одинаково распределенных (iid) случайных величин . Характеристическая функция любого безгранично делимого распределения тогда называется бесконечно делимой характеристической функцией . ^[1]

Более строго, распределение вероятностей F бесконечно делимо, если для каждого положительного целого числа n существует n iid случайных величин X _{n 1} , ..., X _nn , сумма S _n = X _{n 1} + ... + X _nn имеет то же распределение F .

Понятие бесконечной делимости вероятностных распределений было введено в 1929 году Бруно де Финетти . Этот тип декомпозиции распределения используется в теории вероятностей и статистике для поиска семейств вероятностных распределений, которые могут быть естественным выбором для определенных моделей или приложений. Бесконечно делимые распределения играют важную роль в теории вероятностей в контексте предельных теорем. ^[1]

Примеры

Среди дискретных распределений примерами являются распределение Пуассона и отрицательное биномиальное распределение (а, следовательно, и геометрическое распределение ). Одноточечное распределение , единственным возможным результатом которого является 0, также (тривиально) бесконечно делимо.

Равномерное распределение и биномиальное распределение не являются бесконечно делимыми, как и любые другие распределения с ограниченным носителем (≈ область конечного размера ), кроме упомянутого выше одноточечного распределения . ^[3] Распределение обратной величины случайной величины, имеющей t-распределение Стьюдента, также не является делимым до бесконечности. ^[4]

Любое составное распределение Пуассона бесконечно делимо; это непосредственно следует из определения.

Предельная теорема

Бесконечно делимые распределения появляются в широком обобщении центральной предельной теоремы : пределе при n → +∞ суммы S _n = X _{n 1} + ... + X _nn независимых равномерно асимптотически пренебрежимо малых (uan) случайных величин внутри треугольной множество

{\begin{array}{cccc}X_{11}\\X_{21}&X_{22}\\X_{31}&X_{32}&X_{33}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}

приближается — в слабом смысле — к бесконечно делимому распределению. Условие равномерно асимптотически пренебрегаемого (uan) определяется выражением

\lim _{n\to \infty }\,\max _{1\leq k\leq n}\;P(\left|X_{nk}\right|>\varepsilon )=0{\text{ for every }}\varepsilon >0.

Так, например, если условие равномерной асимптотической пренебрежимости (uan) удовлетворяется посредством соответствующего масштабирования одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией , то слабая сходимость имеет место к нормальному распределению в классической версии центральной предельной теоремы. В более общем смысле, если условие uan выполняется посредством масштабирования одинаково распределенных случайных величин (с не обязательно конечным вторым моментом), то слабая сходимость соответствует стабильному распределению . С другой стороны, для треугольного массива независимых (немасштабированных) случайных величин Бернулли, где условие uan выполняется через

\lim _{n\rightarrow \infty }np_{n}=\lambda ,

слабая сходимость суммы имеет место к распределению Пуассона со средним значением λ , как показывает известное доказательство закона малых чисел .

Процесс Леви

Каждое бесконечно делимое распределение вероятностей естественным образом соответствует процессу Леви . Процесс Леви — это случайный процесс { L _t : t ≥ 0 } со стационарными независимыми приращениями , где стационарность означает, что для s < t распределение вероятностей L t ₋ L s _{зависит} только от t − s , а независимые приращения означают , что эта разность L _t − L _s не зависит от соответствующей разности на любом интервале, не перекрывающемся с [ s , t ], и аналогично для любого конечного числа взаимно непересекающихся интервалов.

Если { L _t : t ≥ 0 } является процессом Леви, то для любого t ≥ 0 случайная величина L _t будет бесконечно делимой: для любого n мы можем выбрать ( X _{n 1} , X _{n 2} , ... , Икс _nn ) знак равно ( L _{т / п} - L ₀ , L _{2 т / п} - L _{т / п} , ..., L _т - L _{( п - 1) т / п} ). Аналогично, L _t − L _s бесконечно делится для любого s < t .

С другой стороны, если F — бесконечно делимое распределение, мы можем построить из него процесс Леви { L _t : t ≥ 0 }. Для любого интервала [ s , t ], где t − s > 0 равно рациональному числу p / q , мы можем определить, что L _t − L _s имеет то же распределение, что и X _{q 1} + X _{q 2} + ... + X _qp . Иррациональные значения t − s > 0 обрабатываются с помощью аргумента непрерывности.

Аддитивный процесс

Аддитивный процесс ( кадлаг , непрерывный по вероятности стохастический процесс с независимыми приращениями ) имеет бесконечно делимое распределение при любом . Пусть — его семейство бесконечно делимых распределений. $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ $t\geq 0$ $\{\mu _{t}\}_{t\geq 0}$

$\{\mu _{t}\}_{t\geq 0}$ удовлетворяет ряду условий непрерывности и монотонности. Более того, если семейство бесконечно делимых распределений удовлетворяет этим условиям непрерывности и монотонности, то существует (единственно по закону) аддитивный процесс с этим распределением. ^[5] $\{\mu _{t}\}_{t\geq 0}$ $\{\mu _{t}\}_{t\geq 0}$

Смотрите также

Сноски

^ ab Лукач, Э. (1970) Характеристические функции , Гриффин, Лондон. п. 107
^ Торин, Олоф (1977). «О бесконечной делимости логнормального распределения». Скандинавский актуарный журнал . 1977 (3): 121–148. дои : 10.1080/03461238.1977.10405635. ISSN 0346-1238.
^ Сато, Кен-ити (1999). Процессы Леви и бесконечно делимые распределения . Издательство Кембриджского университета. стр. 31, 148. ISBN. 978-0-521-55302-5.
^ Джонсон, Нидерланды; Коц, С.; Балакришнан, Н. (1995). Непрерывные одномерные распределения (2-е изд.). Уайли. том 2, глава 28, стр. 368. ISBN 0-471-58494-0.
^ Сато, Кен-Ито (1999). Процессы Леви и бесконечно делимые распределения . Издательство Кембриджского университета. стр. 31–68. ISBN 9780521553025.