В теории множеств бесконечное множество — это множество , которое не является конечным множеством . Бесконечные множества могут быть счетными или несчетными . [1]
Множество натуральных чисел (существование которых постулируется аксиомой бесконечности ) бесконечно. [1] Это единственное множество, которое напрямую требуется аксиомами, чтобы быть бесконечным. Существование любого другого бесконечного множества может быть доказано в теории множеств Цермело–Френкеля (ZFC), но только показав, что это следует из существования натуральных чисел.
Множество бесконечно тогда и только тогда, когда для каждого натурального числа множество имеет подмножество, мощность которого равна этому натуральному числу. [2]
Если аксиома выбора верна, то множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно включает в себя счетное бесконечное подмножество.
Если множество множеств бесконечно или содержит бесконечный элемент, то его объединение бесконечно. Множество мощности бесконечного множества бесконечно. [3] Любое надмножество бесконечного множества бесконечно. Если бесконечное множество разбито на конечное число подмножеств, то по крайней мере одно из них должно быть бесконечным. Любое множество, которое может быть отображено на бесконечное множество, бесконечно. Декартово произведение бесконечного множества и непустого множества бесконечно. Декартово произведение бесконечного числа множеств, каждое из которых содержит по крайней мере два элемента, либо пусто, либо бесконечно; если аксиома выбора выполняется, то оно бесконечно.
Если бесконечное множество является вполне упорядоченным , то оно должно иметь непустое, нетривиальное подмножество, не имеющее наибольшего элемента.
В ZF множество бесконечно тогда и только тогда, когда множество его множества является дедекиндово-бесконечным множеством , имеющим собственное подмножество, равночисленное себе. [4] Если аксиома выбора также верна, то бесконечные множества являются в точности дедекиндово-бесконечными множествами.
Если бесконечное множество является вполне упорядочиваемым множеством , то оно имеет много вполне упорядоченных множеств, которые неизоморфны.
Важные идеи, обсуждаемые Дэвидом Бертоном в его книге «История математики: введение», включают в себя определение «элементов» или частей множества, определение уникальных элементов в множестве и доказательство бесконечности. [5] Бертон также обсуждает доказательства для различных типов бесконечности, включая счетные и несчетные множества. [5] Темы, используемые при сравнении бесконечных и конечных множеств, включают упорядоченные множества , мощность, эквивалентность, координатные плоскости , универсальные множества , отображение, подмножества, непрерывность и трансцендентность . [5] Идеи множеств Кантора находились под влиянием тригонометрии и иррациональных чисел. Другие ключевые идеи в теории бесконечных множеств, упомянутые Бертоном, Паулой, Нарли и Роджером, включают действительные числа, такие как π , целые числа и число Эйлера . [5] [6] [7]
И Бертон, и Роджерс используют конечные множества, чтобы начать объяснять бесконечные множества, используя такие концепции доказательства, как отображение, доказательство по индукции или доказательство от противного. [5] [7] Математические деревья также можно использовать для понимания бесконечных множеств. [8] Бертон также обсуждает доказательства бесконечных множеств, включая такие идеи, как объединения и подмножества. [5]
В главе 12 « Истории математики: Введение » Бертон подчеркивает, как такие математики, как Цермело , Дедекинд , Галилей , Кронекер , Кантор и Больцано исследовали и влияли на теорию бесконечных множеств. Многие из этих математиков либо обсуждали бесконечность, либо иным образом дополняли идеи бесконечных множеств. Потенциальные исторические влияния, такие как история Пруссии в 1800-х годах, привели к росту научных математических знаний, включая теорию бесконечных множеств Кантора. [5]
Одним из потенциальных применений теории бесконечных множеств является генетика и биология. [9]
Множество всех целых чисел , {..., −1, 0, 1, 2, ...} является счетно бесконечным множеством. Множество всех четных целых чисел также является счетно бесконечным множеством, даже если оно является собственным подмножеством целых чисел. [3]
Множество всех рациональных чисел является счетно бесконечным множеством, поскольку существует биекция на множество целых чисел. [3]
Множество всех действительных чисел — несчетно бесконечное множество. Множество всех иррациональных чисел — также несчетно бесконечное множество. [3]