Биалгебра

В математике биалгебра над полем K — это векторное пространство над K , которое является как унитальной ассоциативной алгеброй , так и коунитальной коассоциативной коалгеброй . ^{[1] : 46} Алгебраические и коалгебраические структуры сделаны совместимыми с несколькими дополнительными аксиомами. В частности, коумножение и коединица являются унитальными гомоморфизмами алгебры , или, что эквивалентно, умножение и единица алгебры являются морфизмами коалгебры . ^{[1] : 46} (Эти утверждения эквивалентны, поскольку они выражаются одними и теми же коммутативными диаграммами .) ^{[1] : 46}

Подобные биалгебры связаны гомоморфизмами биалгебр. Гомоморфизм биалгебр — это линейное отображение , которое является как гомоморфизмом алгебры, так и гомоморфизмом коалгебры. ^{[2] : 45}

Как отражено в симметрии коммутативных диаграмм, определение биалгебры является самодвойственным , поэтому если можно определить двойственную к B (что всегда возможно, если B конечномерна), то она автоматически является биалгеброй.

Формальное определение

( B , ∇, η, Δ, ε) является биалгеброй над K, если она обладает следующими свойствами:

• B — векторное пространство над K ;
• существуют K - линейные отображения (умножение) ∇: B ⊗ B → B (эквивалентные K - полилинейному отображению ∇: B × B → B ) и (единица) η: K → B , такие, что ( B , ∇, η) является унитальной ассоциативной алгеброй ;
• существуют K -линейные отображения (коумножение) Δ: B → B ⊗ B и (коединица) ε: B → K , такие, что ( B , Δ, ε) является (коединичной коассоциативной) коалгеброй ;
• Условия совместимости выражаются следующими коммутативными диаграммами :

1. Умножение ∇ и коумножение Δ ^{[3] : 147}

   

   где τ: B ⊗ B → B ⊗ B — линейное отображение , определяемое соотношением τ( x ⊗ y ) = y ⊗ x для всех x и y в B ,

2. Умножение ∇ и соединителя ε ^{[4] : 148}

   

3. Умножение Δ и единицы η ^{[4] : 148}

   

4. Единица η и единица ε ^{[4] : ​​148}

   

Коассоциативность и коединица

K - линейное отображение Δ: B → B ⊗ B является коассоциативным , если . ${\displaystyle (\mathrm {id} _{B}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta }$

K - линейное отображение ε: B → K является коединицей, если . ${\displaystyle (\mathrm {id} _{B}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{B}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta }$

Коассоциативность и коединица выражаются коммутативностью следующих двух диаграмм (они являются двойственными диаграммами, выражающими ассоциативность и единицу алгебры):

Условия совместимости

Четыре коммутативные диаграммы можно интерпретировать как «коумножение и коединица являются гомоморфизмами алгебр» или, что то же самое, «умножение и единица являются гомоморфизмами коалгебр».

Эти утверждения приобретают смысл, как только мы объясним естественные структуры алгебры и коалгебры во всех векторных пространствах, задействованных помимо B : ( K , ∇ ₀ , η ₀ ) — это унитальная ассоциативная алгебра очевидным образом, а ( B ⊗ B , ∇ ₂ , η ₂ ) — унитальная ассоциативная алгебра с единицей и умножением.

${\displaystyle \eta _{2}:=(\eta \otimes \eta ):K\otimes K\equiv K\to (B\otimes B)}$

${\displaystyle \nabla _{2}:=(\nabla \otimes \nabla )\circ (id\otimes \tau \otimes id):(B\otimes B)\otimes (B\otimes B)\to (B\otimes B)}$,

так что или, опуская ∇ и записывая умножение как сопоставление , ; ${\displaystyle \nabla _{2}((x_{1}\otimes x_{2})\otimes (y_{1}\otimes y_{2}))=\nabla (x_{1}\otimes y_{1})\otimes \nabla (x_{2}\otimes y_{2})}$ ${\displaystyle (x_{1}\otimes x_{2})(y_{1}\otimes y_{2})=x_{1}y_{1}\otimes x_{2}y_{2}}$

Аналогично, ( K , Δ ₀ , ε ₀ ) является коалгеброй очевидным образом, а B ⊗ B является коалгеброй с коединицей и коумножением

${\displaystyle \epsilon _{2}:=(\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K\otimes K\equiv K}$

${\displaystyle \Delta _{2}:=(id\otimes \tau \otimes id)\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)\otimes (B\otimes B)}$.

Тогда диаграммы 1 и 3 говорят, что Δ: B → B ⊗ B является гомоморфизмом унитальных (ассоциативных) алгебр ( B , ∇, η) и ( B ⊗ B , ∇ ₂ , η ₂ ).

${\displaystyle \Delta \circ \nabla =\nabla _{2}\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)}$, или просто Δ( xy ) = Δ( x ) Δ( y ),

${\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta _{2}:K\to (B\otimes B)}$, или просто Δ(1 _B ) = 1 _{B ⊗ B} ;

диаграммы 2 и 4 говорят, что ε: B → K является гомоморфизмом унитальных (ассоциативных) алгебр ( B , ∇, η) и ( K , ∇ ₀ , η ₀ ):

${\displaystyle \epsilon \circ \nabla =\nabla _{0}\circ (\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K}$или просто ε( xy ) = ε( x ) ε( y )

${\displaystyle \epsilon \circ \eta =\eta _{0}:K\to K}$, или просто ε(1 _B ) = 1 _K .

Эквивалентно, диаграммы 1 и 2 говорят, что ∇: B ⊗ B → B является гомоморфизмом (коунитальных коассоциативных) коалгебр ( B ⊗ B , Δ ₂ , ε ₂ ) и ( B , Δ, ε):

${\displaystyle \nabla \otimes \nabla \circ \Delta _{2}=\Delta \circ \nabla :(B\otimes B)\to (B\otimes B),}$

${\displaystyle \nabla _{0}\circ \epsilon _{2}=\epsilon \circ \nabla :(B\otimes B)\to K}$;

диаграммы 3 и 4 говорят, что η: K → B является гомоморфизмом (коединичных коассоциативных) коалгебр ( K , Δ ₀ , ε ₀ ) и ( B , Δ, ε):

${\displaystyle \eta _{2}\circ \Delta _{0}=\Delta \circ \eta :K\to (B\otimes B),}$

${\displaystyle \eta _{0}\circ \epsilon _{0}=\epsilon \circ \eta :K\to K}$,

где

${\displaystyle \epsilon _{0}=id_{K}=\eta _{0}}$.

Примеры

Групповая биалгебра

Примером биалгебры является множество функций из конечной группы G (или, в более общем смысле, любого конечного моноида ) в , которое мы можем представить как векторное пространство, состоящее из линейных комбинаций стандартных базисных векторов, например, _g для каждого g  ∈  G , которое может представлять распределение вероятностей над G в случае векторов, все коэффициенты которых неотрицательны и в сумме равны 1. Примером подходящих операторов коумножения и коединиц, которые дают коединичную коалгебру, являются ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$

${\displaystyle \Delta (\mathbf {e} _{g})=\mathbf {e} _{g}\otimes \mathbf {e} _{g}\,,}$

что представляет собой создание копии случайной величины (которую мы распространяем на все по линейности), и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$

${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {e} _{g})=1\,,}$

(снова линейно расширенное на все ), что представляет собой «выслеживание» случайной величины — т. е.  забывание значения случайной величины (представленной одним тензорным фактором) для получения предельного распределения оставшихся переменных (остальных тензорных факторов). Учитывая интерпретацию (Δ,ε) в терминах распределений вероятностей, как указано выше, условия согласованности биалгебры сводятся к ограничениям на (∇,η) следующим образом: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$

1. η — оператор, подготавливающий нормализованное распределение вероятностей, которое не зависит от всех других случайных величин;
2. Произведение ∇ отображает распределение вероятностей по двум переменным в распределение вероятностей по одной переменной;
3. Копирование случайной величины в распределении, заданном η, эквивалентно наличию двух независимых случайных величин в распределении η;
4. Взятие произведения двух случайных величин и подготовка копии полученной случайной величины имеет то же распределение, что и подготовка копий каждой случайной величины независимо друг от друга и их перемножение попарно.

Пара (∇,η), удовлетворяющая этим ограничениям, представляет собой оператор свертки

${\displaystyle \nabla {\bigl (}\mathbf {e} _{g}\otimes \mathbf {e} _{h}{\bigr )}=\mathbf {e} _{gh}\,,}$

снова распространяется на все по линейности; это создает нормализованное распределение вероятностей из распределения двух случайных величин и имеет в качестве единицы дельта-распределение, где i ∈  G  обозначает единичный элемент группы G. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}\otimes \mathbb {R} ^{G}}$ ${\displaystyle \eta =\mathbf {e} _{i}\;,}$

Другие примеры

Другие примеры биалгебр включают тензорную алгебру , которую можно превратить в биалгебру, добавив соответствующее коумножение и коединицу; они подробно рассматриваются в этой статье.

Биалгебры часто можно расширить до алгебр Хопфа , если можно найти подходящий антипод; таким образом, все алгебры Хопфа являются примерами биалгебр. ^{[5] : 151} Похожие структуры с различной совместимостью между произведением и коумножением или различными типами умножения и коумножения включают биалгебры Ли и алгебры Фробениуса . Дополнительные примеры приведены в статье о коалгебрах .

Смотрите также

• Квази-биалгебра

Примечания

1. Kassel 2012, стр. 46.
2. Кассель 2012, стр. 45.
3. Дэскэлеску, Нэстасеску и Райану 2001, стр. 147.
4. Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu 2001, с. 148.
5. Дэскалеску, Нэстасеску и Райану 2001, стр. 151.

Ссылки

• Даскалеску, Сорин; Нэстасеску, Константин; Райану, Шербан (2001), «4. Биалгебры и алгебры Хопфа», Алгебры Хопфа: введение, Чистая и прикладная математика, том. 235, Марсель Деккер, ISBN 0-8247-0481-9.
• Хазевинкель, Михил; Губарени, Надежда; Кириченко, В. (2010). «Биалгебры и алгебры Хопфа. Мотивация, определения и примеры». Алгебры, кольца и модули. Алгебры Ли и алгебры Хопфа. Американское математическое общество. С. 131–173. ISBN 978-0-8218-5262-0.Загрузить полный текст PDF
• Кассель, Кристиан (2012). «Язык алгебр Хопфа». Квантовые группы. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0783-2.
• Андервуд, Роберт Г. (28 августа 2011 г.). Введение в алгебры Хопфа. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-72766-0. Онлайн-книга