Мультимодальная дистрибуция

Распределение вероятностей с более чем одной модой

Рисунок 1. Простое бимодальное распределение, в данном случае смесь двух нормальных распределений с одинаковой дисперсией, но разными средними значениями. На рисунке показана функция плотности вероятности (pdf), которая представляет собой равновзвешенное среднее значение колоколообразных PDF-файлов двух нормальных распределений. Если бы веса не были равны, результирующее распределение все равно могло бы быть бимодальным, но с пиками разной высоты.

Рисунок 2. Бимодальное распределение.

Рисунок 3. Двумерное мультимодальное распределение.

Рисунок 4. Непример: унимодальное распределение, которое стало бы мультимодальным, если бы оно было обусловлено либо x, либо y.

В статистике мультимодальное распределение — это распределение вероятностей с более чем одной модой (т. е. более чем с одним локальным пиком распределения). Они выглядят как отдельные пики (локальные максимумы) функции плотности вероятности , как показано на рисунках 1 и 2. Категориальные, непрерывные и дискретные данные могут образовывать мультимодальные распределения. Среди одномерного анализа мультимодальные распределения обычно являются бимодальными. ^{[ нужна цитата ]}

Терминология

Когда две моды неравны, более крупная мода называется основной, а другая - второстепенной. Наименее частое значение между режимами известно как антимода. Разница между основной и второстепенной модами известна как амплитуда . Во временных рядах основная мода называется акрофазой, а антимода — батифазой. ^{[ нужна цитата ]}

Классификация Галтунга

Галтунг ввел систему классификации (AJUS) распределений: ^[1]

• А: унимодальное распределение – пик посередине.
• J: унимодальный – пик на обоих концах
• U: бимодальный – пики на обоих концах
• S: бимодальный или мультимодальный – несколько пиков

С тех пор эта классификация была немного изменена:

• J: (модифицировано) – вершина справа
• L: унимодальный – пик слева
• F: без пика (плоский)

Согласно этой классификации бимодальные распределения классифицируются как тип S или U.

Примеры

Бимодальные распределения встречаются как в математике, так и в естественных науках.

Распределения вероятностей

Важные бимодальные распределения включают арксинусное распределение и бета-распределение (если оба параметра a и b меньше 1). Другие включают U-квадратичное распределение .

Отношение двух нормальных распределений также распределено бимодально. Позволять

${\displaystyle R={\frac {a+x}{b+y}}}$

где a и b являются постоянными, а x и y распределяются как нормальные переменные со средним значением 0 и стандартным отклонением 1. R имеет известную плотность, которую можно выразить как вырожденную гипергеометрическую функцию . ^[2]

Распределение обратной величины случайной величины t является бимодальным, когда степени свободы больше одной. Аналогично, обратная переменная нормально распределенной переменной также распределена бимодально.

Статистика t , созданная на основе набора данных, полученного из распределения Коши, является бимодальной. ^[3]

Происшествия в природе

Примеры переменных с бимодальным распределением включают время между извержениями определенных гейзеров , цвет галактик , размер рабочих муравьев-ткачей , возраст заболеваемости лимфомой Ходжкина , скорость инактивации препарата изониазид у взрослых в США, абсолютную величину новых звезд и циркадные закономерности активности тех сумеречных животных, которые активны как в утренние, так и в вечерние сумерки. В рыболовстве мультимодальные распределения длины отражают разные классы лет и, таким образом, могут использоваться для оценки возрастного распределения и роста популяции рыб. ^[4] Отложения обычно распределяются бимодально. При отборе проб из шахтных галерей, пересекающих вмещающую породу и минерализованные жилы, распределение геохимических переменных будет бимодальным. Бимодальное распределение также наблюдается при анализе трафика: пик трафика приходится на утренний час пик, а затем снова на вечерний час пик. Это явление также наблюдается в ежедневном распределении воды, поскольку потребность в воде в виде душа, приготовления пищи и посещения туалета обычно достигает пика в утренние и вечерние периоды.

Эконометрика

В эконометрических моделях параметры могут иметь бимодальное распределение. ^[5]

Происхождение

Математический

Бимодальное распределение обычно возникает как смесь двух разных унимодальных распределений (т.е. распределений, имеющих только одну моду). Другими словами, бимодально распределенная случайная величина X определяется как с вероятностью или с вероятностью , где Y и Z являются унимодальными случайными величинами и являются коэффициентом смеси. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (1-\alpha ),}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

Смеси с двумя различными компонентами не обязательно должны быть бимодальными, а двухкомпонентные смеси с унимодальной плотностью компонентов могут иметь более двух мод. Непосредственной связи между количеством компонентов смеси и числом мод результирующей плотности нет.

Частные распределения

^{Бимодальные распределения, несмотря на} их частое появление в наборах данных, изучались ^{лишь изредка} . Возможно, это связано с трудностями оценки их параметров как частотными, так и байесовскими методами. Среди изученных есть

• Бимодальное экспоненциальное распределение. ^[6]
• Альфа-косонормальное распределение. ^[7]
• Бимодальное кососимметричное нормальное распределение. ^[8]
• Смесь распределений Конвея-Максвелла-Пуассона была адаптирована к данным бимодального подсчета. ^[9]

Бимодальность также естественным образом возникает в распределении катастроф каспов .

Биология

^{В биологии известно ,} что бимодальному распределению численности населения способствуют пять ^{факторов} :

• первоначальное распределение индивидуальных размеров
• распределение темпов роста между особями
• размер и временная зависимость скорости роста каждой особи
• уровни смертности, которые могут по-разному влиять на каждый размерный класс
• Метилирование ДНК в геноме человека и мыши.

Бимодальное распределение размеров рабочих -ткачей-муравьев возникает из-за существования двух отдельных классов рабочих, а именно крупных рабочих и мелких рабочих. ^[10]

Распределение эффектов приспособленности мутаций как для целых геномов ^{[11] [12]} , так и для отдельных генов ^[13] также часто оказывается бимодальным: большинство мутаций либо нейтральны, либо летальны, и относительно немногие имеют промежуточный эффект.

Общие свойства

Смесь двух унимодальных распределений с разными средними значениями не обязательно является бимодальной. Комбинированное распределение роста мужчин и женщин иногда используется как пример бимодального распределения, но на самом деле разница в средних высотах мужчин и женщин слишком мала по сравнению с их стандартными отклонениями , чтобы создать бимодальность при объединении двух кривых распределения. . ^[14]

Бимодальные распределения обладают тем своеобразным свойством, что – в отличие от унимодальных распределений – среднее значение может быть более надежной выборочной оценкой, чем медиана. ^[15] Это, очевидно, тот случай, когда распределение имеет U-образную форму, как распределение арксинуса. Это может быть неверно, если распределение имеет один или несколько длинных хвостов.

Моменты смесей

Позволять

${\displaystyle f(x)=pg_{1}(x)+(1-p)g_{2}(x)\,}$

где g _i — распределение вероятностей, а p — параметр смешивания.

Моменты f ( x ) равны ^[16]

${\displaystyle \mu =p\mu _{1}+(1-p)\mu _{2}}$

${\displaystyle \nu _{2}=p[\sigma _{1}^{2}+\delta _{1}^{2}]+(1-p)[\sigma _{2}^{2}+\delta _{2}^{2}]}$

${\displaystyle \nu _{3}=p[S_{1}\sigma _{1}^{3}+3\delta _{1}\sigma _{1}^{2}+\delta _{1}^{3}]+(1-p)[S_{2}\sigma _{2}^{3}+3\delta _{2}\sigma _{2}^{2}+\delta _{2}^{3}]}$

${\displaystyle \nu _{4}=p[K_{1}\sigma _{1}^{4}+4S_{1}\delta _{1}\sigma _{1}^{3}+6\delta _{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+\delta _{1}^{4}]+(1-p)[K_{2}\sigma _{2}^{4}+4S_{2}\delta _{2}\sigma _{2}^{3}+6\delta _{2}^{2}\sigma _{2}^{2}+\delta _{2}^{4}]}$

где

${\displaystyle \mu =\int xf(x)\,dx}$

${\displaystyle \delta _{i}=\mu _{i}-\mu }$

${\displaystyle \nu _{r}=\int (x-\mu )^{r}f(x)\,dx}$

S _i и Ki _— асимметрия и эксцесс i - го ^{распределения} .​

Смесь двух нормальных распределений

Нередко встречаются ситуации, когда исследователь считает, что данные получены из смеси двух нормальных распределений. По этой причине данная смесь была изучена достаточно подробно. ^[17]

Смесь двух нормальных распределений имеет пять параметров для оценки: два средних значения, две дисперсии и параметр смешивания. Смесь двух нормальных распределений с одинаковыми стандартными отклонениями является бимодальной только в том случае, если их средние значения отличаются как минимум на удвоенное общее стандартное отклонение. ^[14] Оценки параметров упрощаются, если дисперсии можно считать равными ( гомоскедастический случай).

Если средние значения двух нормальных распределений равны, то комбинированное распределение является унимодальным. Условия унимодальности комбинированного распределения были получены Эйзенбергером. ^[18] Необходимые и достаточные условия для того, чтобы смесь нормальных распределений была бимодальной, были определены Рэем и Линдси. ^[19]

Смесь двух примерно равных массовых нормальных распределений имеет отрицательный эксцесс, поскольку две моды по обе стороны от центра масс эффективно уменьшают хвосты распределения.

Смесь двух нормальных распределений с сильно неравной массой имеет положительный эксцесс, поскольку меньшее распределение удлиняет хвост более доминирующего нормального распределения.

Смеси других распределений требуют оценки дополнительных параметров.

Тесты на унимодальность

• Когда компоненты смеси имеют равные дисперсии, смесь унимодальна тогда и только тогда, когда ^[20]
  $${\displaystyle d\leq 1}$$
  или
  $${\displaystyle \left\vert \log(1-p)-\log(p)\right\vert \geq 2\log(d-{\sqrt {d^{2}-1}})+2d{\sqrt {d^{2}-1}},}$$
  где p — параметр смешивания и
  $${\displaystyle d={\frac {\left\vert \mu _{1}-\mu _{2}\right\vert }{2\sigma }},}$$
  и где 1 и 2 _— средние значения двух нормальных распределений, а _σ — их стандартное отклонение.
• Следующий тест для случая p = 1/2 был описан Schilling et al . ^[14] Пусть
  $${\displaystyle r={\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}.}$$
  Коэффициент разделения ( S ) равен
  $${\displaystyle S={\frac {\sqrt {-2+3r+3r^{2}-2r^{3}+2(1-r+r^{2})^{1.5}}}{{\sqrt {r}}(1+{\sqrt {r}})}}.}$$
  Если дисперсии равны, то S = 1. Плотность смеси унимодальна тогда и только тогда, когда
  $${\displaystyle |\mu _{1}-\mu _{2}|<S|\sigma _{1}+\sigma _{2}|.}$$
• Достаточным условием унимодальности является ^[21]
  $${\displaystyle |\mu _{1}-\mu _{2}|\leq 2\min(\sigma _{1},\sigma _{2}).}$$
• Если два нормальных распределения имеют равные стандартные отклонения, достаточным условием унимодальности является ^[21] ${\displaystyle \sigma ,}$
  $${\displaystyle |\mu _{1}-\mu _{2}|\leq 2\sigma {\sqrt {1+{\frac {|\log p-\ln(1-p)|}{2}}}}.}$$

Сводные статистические данные

Бимодальные распределения являются широко используемым примером того, как сводная статистика, такая как среднее значение , медиана и стандартное отклонение, может быть обманчивой при использовании для произвольного распределения. Например, в распределении на рисунке 1 среднее значение и медиана будут около нуля, хотя ноль не является типичным значением. Стандартное отклонение также больше отклонения каждого нормального распределения.

Хотя было предложено несколько вариантов, в настоящее время не существует общепринятой сводной статистики (или набора статистических данных) для количественной оценки параметров общего бимодального распределения. Для смеси двух нормальных распределений обычно используются средние значения и стандартные отклонения, а также параметр смешивания (вес комбинации) – всего пять параметров.

Эшман Д

Полезной может оказаться статистика Эшмана D: ^[22]

${\displaystyle D={\frac {\left|\mu _{1}-\mu _{2}\right|}{\sqrt {2(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}}$

где 1 , 2 _— средние значения, а ₁ , ₂ — _{стандартные} отклонения .

Для смеси двух нормальных распределений требуется D > 2 для четкого разделения распределений.

Ван дер Эйк А

Эта мера представляет собой средневзвешенное значение степени согласия распределения частот. ^[23] A варьируется от -1 (идеальная бимодальность ) до +1 (идеальная унимодальность ). Это определяется как

${\displaystyle A=U\left(1-{\frac {S-1}{K-1}}\right)}$

где U — унимодальность распределения, S — количество категорий с ненулевой частотой, а K — общее количество категорий.

Значение U равно 1, если распределение имеет любую из трех следующих характеристик:

• все ответы относятся к одной категории
• ответы равномерно распределены по всем категориям
• ответы равномерно распределены между двумя или более смежными категориями, при этом остальные категории имеют нулевые ответы

При других распределениях данные необходимо разделить на «слои». Внутри слоя ответы либо равны, либо равны нулю. Категории не обязательно должны быть смежными. Вычисляется значение A для каждого слоя ( A _i ) и определяется средневзвешенное значение для распределения. Веса ( w _i ) для каждого слоя — это количество ответов в этом слое. В символах

${\displaystyle A_{\text{overall}}=\sum _{i}w_{i}A_{i}}$

Равномерное распределение имеет A = 0: когда все ответы попадают в одну категорию A = +1.

Одна теоретическая проблема с этим индексом заключается в том, что он предполагает, что интервалы расположены одинаково. Это может ограничить его применимость.

Бимодальное разделение

_{Этот индекс предполагает ,} что распределение представляет собой смесь двух нормальных распределений со средними значениями ( _{1 и 2} ) и стандартными отклонениями ( ₁ и ₂ ) : [ ^24]

${\displaystyle S={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{2(\sigma _{1}+\sigma _{2})}}}$

Коэффициент бимодальности

Коэффициент бимодальности Сарля b равен ^[25]

${\displaystyle \beta ={\frac {\gamma ^{2}+1}{\kappa }}}$

где γ — асимметрия , а κ — эксцесс . Эксцесс здесь определяется как стандартизированный четвертый момент вокруг среднего значения. Значение b лежит между 0 и 1. ^[26] Логика этого коэффициента заключается в том, что бимодальное распределение с легкими хвостами будет иметь очень низкий эксцесс, асимметричный характер или и то, и другое – все из которых увеличивают этот коэффициент.

Формула для конечной выборки имеет вид ^[27]

${\displaystyle b={\frac {g^{2}+1}{k+{\frac {3(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}}}}$

где n — количество элементов в выборке, g — асимметрия выборки , а k — эксцесс выборки .

Значение b для равномерного распределения составляет 5/9. Это также его значение для экспоненциального распределения . Значения, превышающие 5/9, могут указывать на бимодальное или мультимодальное распределение, хотя соответствующие значения также могут привести к сильно искаженным унимодальным распределениям. ^[28] Максимальное значение (1.0) достигается только распределением Бернулли только с двумя различными значениями или суммой двух разных дельта-функций Дирака (би-дельта-распределение).

Распределение этой статистики неизвестно. Это связано со статистикой, предложенной ранее Пирсоном – разницей между эксцессом и квадратом асимметрии ( см. ниже ).

Амплитуда бимодальности

Это определяется как ^[24]

${\displaystyle A_{B}={\frac {A_{1}-A_{an}}{A_{1}}}}$

где A ₁ — амплитуда меньшего пика, а A _an — амплитуда антимоды.

A _B всегда < 1. Большие значения указывают на более отчетливые пики.

Бимодальное соотношение

Это соотношение левого и правого пиков. ^[24] Математически

${\displaystyle R={\frac {A_{r}}{A_{l}}}}$

где Al _и Ar _— амплитуды левого и правого пиков соответственно .

Параметр бимодальности

Этот параметр ( B ) принадлежит Уилкоку. ^[29]

${\displaystyle B={\sqrt {\frac {A_{r}}{A_{l}}}}\sum P_{i}}$

где A _l и Ar _- амплитуды левого и правого пиков соответственно, а Pi _- логарифм по основанию 2 доли распределения в i-м ^{интервале} . Максимальное значение ΣP равно 1, но значение B может быть больше этого значения.

Чтобы использовать этот индекс, ведется журнал значений. Затем данные разделяются на интервал шириной Φ, значение которого равно log 2. Ширина пиков принимается равной четыре раза 1/4 Φ с центром в их максимальных значениях.

Индексы бимодальности

Индекс Ванга

Индекс бимодальности, предложенный Вангом и др., предполагает, что распределение представляет собой сумму двух нормальных распределений с равными дисперсиями, но разными средними значениями. ^[30] Оно определяется следующим образом:

${\displaystyle \delta ={\frac {|\mu _{1}-\mu _{2}|}{\sigma }}}$

где 1 , 2 _— средние значения, а _σ — общее стандартное отклонение.

${\displaystyle BI=\delta {\sqrt {p(1-p)}}}$

где p — параметр смешивания.

Индекс Старрока

Другой индекс бимодальности был предложен Старроком. ^[31]

Этот индекс ( B ) определяется как

${\displaystyle B={\frac {1}{N}}\left[\left(\sum _{1}^{N}\cos(2\pi m\gamma )\right)^{2}+\left(\sum _{1}^{N}\sin(2\pi m\gamma )\right)^{2}\right]}$

Когда m = 2 и γ распределено равномерно, B распределяется экспоненциально. ^[32]

Эта статистика представляет собой форму периодограммы . Он страдает от обычных проблем оценки и утечки спектра, свойственных этой форме статистики.

Индекс де Микеле и Аккатино

Другой индекс бимодальности был предложен де Микеле и Аккатино. ^[33] Их индекс ( B ) равен

${\displaystyle B=|\mu -\mu _{M}|}$

где μ — среднее арифметическое выборки и

${\displaystyle \mu _{M}={\frac {\sum _{i=1}^{L}m_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{L}m_{i}}}}$

где m _i — количество точек данных в i- ^м интервале, x _i — центр i ^-го интервала, а L — количество интервалов.

Авторы предложили пороговое значение 0,1 для B , чтобы различать бимодальное ( B > 0,1) и унимодальное ( B <0,1) распределение. Никакого статистического обоснования этой величины предложено не было.

Индекс Сэмбрука Смита

Дополнительный индекс ( B ) был предложен Сэмбруком Смитом и др. ^[34]

$${\displaystyle B=|\phi _{2}-\phi _{1}|{\frac {p_{2}}{p_{1}}}}$$

где p ₁ и p ₂ — пропорция, содержащаяся в первичной (той, что с большей амплитудой) и вторичной (той, что с меньшей амплитудой) моде, а φ ₁ и φ ₂ — φ -размеры первичной и вторичной моды. φ - размер определяется как минус один умноженный на логарифм размера данных, принятый по основанию 2. Это преобразование обычно используется при изучении отложений.

Авторы рекомендовали пороговое значение 1,5, при этом B было больше 1,5 для бимодального распределения и меньше 1,5 для унимодального распределения. Никакого статистического обоснования этой величины не было.

Метод Оцу

Метод Оцу для нахождения порога разделения между двумя модами основан на минимизации величины

$${\displaystyle {\frac {n_{1}\sigma _{1}^{2}+n_{2}\sigma _{2}^{2}}{m\sigma ^{2}}}}$$

n _ii- ^йσ _i ²i-й ^{субпопуляции}mσ ²цифровой обработки изображений^[35]

Статистические тесты

Доступен ряд тестов, позволяющих определить, распространяется ли набор данных бимодальным (или мультимодальным) способом.

Графические методы

При изучении отложений размер частиц часто бывает бимодальным. Эмпирически оказалось полезным построить график зависимости частоты от логарифма (размера) частиц. ^{[36] [37]} Обычно это дает четкое разделение частиц на бимодальное распределение. В геологических приложениях логарифм обычно принимается по основанию 2. Логарифмически преобразованные значения называются единицами фи (Φ). Эта система известна как шкала Крумбейна (или фи).

Альтернативный метод — построить график зависимости размера частиц от кумулятивной частоты. Этот график обычно состоит из двух достаточно прямых линий с соединительной линией, соответствующей антимоде.

Статистика

Приблизительные значения для некоторых статистических данных можно получить из графических графиков. ^[36]

${\displaystyle {\mathit {Mean}}={\frac {\phi _{16}+\phi _{50}+\phi _{84}}{3}}}$

${\displaystyle {\mathit {StdDev}}={\frac {\phi _{84}-\phi _{16}}{4}}+{\frac {\phi _{95}-\phi _{5}}{6.6}}}$

${\displaystyle {\mathit {Skew}}={\frac {\phi _{84}+\phi _{16}-2\phi _{50}}{2(\phi _{84}-\phi _{16})}}+{\frac {\phi _{95}+\phi _{5}-2\phi _{50}}{2(\phi _{95}-\phi _{5})}}}$

${\displaystyle {\mathit {Kurt}}={\frac {\phi _{95}-\phi _{5}}{2.44(\phi _{75}-\phi _{25})}}}$

где Mean — среднее значение, StdDev — стандартное отклонение, Skew — асимметрия, Kurt — эксцесс, а φ _x — значение вариации φ в x- ^м проценте распределения.

Унимодальное и бимодальное распределение

Пирсон в 1894 году был первым, кто разработал процедуру проверки возможности разложения распределения на два нормальных распределения. ^[38] Этот метод требовал решения полинома девятого порядка . В последующей статье Пирсон сообщил, что для любой асимметрии распределения ² + 1 <эксцесс. ^[26] Позже Пирсон показал, что ^[39]

${\displaystyle b_{2}-b_{1}\geq 1}$

где b ₂ – эксцесс, а b ₁ – квадрат асимметрии. Равенство справедливо только для двухточечного распределения Бернулли или суммы двух разных дельта-функций Дирака . Это самые крайние возможные случаи бимодальности. Эксцесс в обоих случаях равен 1. Поскольку они оба симметричны, их асимметрия равна 0, а разница равна 1.

Бейкер предложил преобразование для преобразования бимодального распределения в унимодальное. ^[40]

Было предложено несколько тестов унимодальности и бимодальности: Холдейн предложил тест, основанный на вторых центральных различиях. ^[41] Позже Ларкин представил тест, основанный на F-тесте; ^[42] Бенетт создал один на основе G-теста Фишера . ^[43] Токеши предложил четвертый тест. ^{[44] [45]} Тест, основанный на отношении правдоподобия, был предложен Хольцманном и Фоллмером. ^[20]

Предложен метод, основанный на балльном тесте и тесте Вальда. ^[46] Этот метод позволяет различать унимодальные и бимодальные распределения, когда известны основные распределения.

Антимодные тесты

Статистические тесты антимоды известны. ^[47]

Метод Оцу

Метод Оцу обычно используется в компьютерной графике для определения оптимального разделения между двумя распределениями.

Общие тесты

Чтобы проверить, отличается ли распределение от унимодального, было разработано несколько дополнительных тестов: тест полосы пропускания, ^[48] тест падения, ^[49] тест избыточной массы, ^[50] тест MAP, ^[51] тест существования режима. , ^[52] тест на короткую длину, ^{[53] [54]} тест на пролет, ^[55] и седловой тест.

Реализация провального теста доступна для языка программирования R. ^[56] Значения p для значений статистики провалов варьируются от 0 до 1. Значения P менее 0,05 указывают на значительную мультимодальность, а значения p больше 0,05, но меньше 0,10 предполагают мультимодальность с предельной значимостью. ^[57]

тест Сильвермана

Сильверман представил метод начальной загрузки для определения количества мод. ^[48] ​​В тесте используется фиксированная полоса пропускания, что снижает мощность теста и его интерпретируемость. При сглаженных плотностях может возникнуть чрезмерное количество мод, подсчет которых во время начальной загрузки нестабильен.

Тест Байгера-Аггарвала

Байгер и Аггарвал предложили тест, основанный на эксцессе распределения. ^[58]

Особые случаи

Дополнительные тесты доступны для ряда особых случаев:

Смесь двух нормальных распределений

Исследование плотности смеси данных двух нормальных распределений показало, что разделение на два нормальных распределения было затруднено, если средние значения не были разделены 4–6 стандартными отклонениями. ^[59]

В астрономии алгоритм Kernel Mean Matching используется для определения принадлежности набора данных к одному нормальному распределению или к смеси двух нормальных распределений.

Бета-нормальное распределение

Это распределение является бимодальным для определенных значений параметров. Описан тест на эти значения. ^[60]

Оценка параметров и аппроксимационные кривые

Предполагая, что распределение известно как бимодальное или что бимодальное распределение было показано одним или несколькими приведенными выше тестами, часто желательно подогнать кривую к данным. Это может быть сложно.

Байесовские методы могут оказаться полезными в сложных случаях.

Программное обеспечение

Два нормальных распределения

Пакет для R доступен для тестирования на бимодальность. ^[61] Этот пакет предполагает, что данные распределяются как сумма двух нормальных распределений. Если это предположение неверно, результаты могут быть ненадежными. Он также включает функции для подгонки к данным суммы двух нормальных распределений.

Если предположить, что распределение представляет собой смесь двух нормальных распределений, то для определения параметров можно использовать алгоритм максимизации ожидания. Для этого доступно несколько программ, включая Cluster, ^[62] и пакет R nor1mix. ^[63]

Другие дистрибутивы

Пакет mixtools, доступный для R, может тестировать и оценивать параметры ряда различных дистрибутивов. ^[64] Доступен пакет для смеси двух правосторонних гамма-распределений. ^[65]

Доступно несколько других пакетов для R, подходящих для смешанных моделей; к ним относятся flexmix, ^[66] mcclust, ^[67] agrmt, ^[68] и mixdist. ^[69]

Язык статистического программирования SAS также может соответствовать различным смешанным распределениям с помощью процедуры PROC FREQ.

Количество бегунов в парке по времени суток (X в часах) в бимодальном распределении вероятностей

В Python пакет Scikit-learn содержит инструмент для моделирования смесей ^[70]

Пример программного приложения

Программа CumFreqA ^[71] для подгонки составных распределений вероятностей к набору данных (X) может разделить набор на две части с различным распределением. На рисунке показан пример двойного обобщенного зеркального распределения Гамбеля , как при аппроксимации распределения уравнениями кумулятивной функции распределения (CDF):

X <8,10: CDF = 1 - exp[-exp{-(0,092X ^ 0,01+935)}]X > 8,10: CDF = 1 - exp[-exp{-(-0,0039X ^ 2,79+1,05)}]

Смотрите также

• Передисперсия
• Модель смеси - Модели гауссовой смеси (GMM)
• Распределение смеси

Рекомендации

1. Галтунг, Дж. (1969). Теория и методы социальных исследований . Осло: Universitetsforlaget. ISBN 0-04-300017-7.
2. Филлер Э (1932). «Распределение индекса в нормальной двумерной популяции». Биометрика . 24 (3–4): 428–440. дои : 10.1093/biomet/24.3-4.428.
3. Фиорио, резюме; ХаживассИлиу, Вирджиния; Филлипс, печатная плата (2010). «Бимодальные t-коэффициенты: влияние толстых хвостов на выводы». Эконометрический журнал . 13 (2): 271–289. дои : 10.1111/j.1368-423X.2010.00315.x. S2CID  363740.
4. Введение в оценку запасов тропических рыб.
5. Филлипс, PCB (2006). «Замечание о бимодальности и слабых инструментах оценки структурных уравнений» (PDF) . Эконометрическая теория . 22 (5): 947–960. дои : 10.1017/S0266466606060439. S2CID  16775883.
6. Хасан, МЮ; Хиджази, Р.Х. (2010). «Бимодальное экспоненциальное распределение мощности». Пакистанский статистический журнал . 26 (2): 379–396.
7. Элал-Оливеро, Д. (2010). «Альфа-асимметрично-нормальное распределение». Математический журнал Proyecciones . 29 (3): 224–240. дои : 10.4067/s0716-09172010000300006 .
8. Хасан, МЮ; Эль-Бассиуни, Миссури (2016). «Бимодальное кососимметричное нормальное распределение». Коммуникации в статистике - теория и методы . 45 (5): 1527–1541. дои : 10.1080/03610926.2014.882950. S2CID  124087015.
9. Босия, С.; Шмуелиб, Г.; Сура, П.; Дубей, П. (2013). «Подбор смесей Com-Poisson к данным бимодального счета» (PDF) . Материалы Международной конференции по информации, операционному менеджменту и статистике 2013 г. (ICIOMS2013), Куала-Лумпур, Малайзия . стр. 1–8.
10. Вебер, Н.А. (1946). «Диморфизм африканского рабочего Oecophylla и аномалия (Hym.: Formicidae)» (PDF) . Анналы Энтомологического общества Америки . 39 : 7–10. дои : 10.1093/aesa/39.1.7.
11. Санхуан, Р. (27 июня 2010 г.). «Эффекты мутационной приспособленности в вирусах РНК и одноцепочечной ДНК: общие закономерности, выявленные в ходе исследований направленного мутагенеза». Философские труды Лондонского королевского общества B: Биологические науки . 365 (1548): 1975–82. дои : 10.1098/rstb.2010.0063. ПМК 2880115 . ПМИД  20478892. 
12. Эйр-Уокер, А; Кейтли, продюсер (август 2007 г.). «Распределение фитнес-эффектов новых мутаций». Обзоры природы Генетика . 8 (8): 610–8. дои : 10.1038/nrg2146. PMID  17637733. S2CID  10868777.
13. Хитпас, RT; Дженсен, доктор медицинских наук; Болон, Д.Н. (10 мая 2011 г.). «Экспериментальное освещение фитнес-ландшафта». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 108 (19): 7896–901. Бибкод : 2011PNAS..108.7896H. дои : 10.1073/pnas.1016024108 . ПМК 3093508 . ПМИД  21464309. 
14. Шиллинг, Марк Ф.; Уоткинс, Энн Э .; Уоткинс, Уильям (2002). «Бимодален ли человеческий рост?». Американский статистик . 56 (3): 223–229. дои : 10.1198/00031300265. S2CID  53495657.
15. Мостеллер, Ф.; Тьюки, JW (1977). Анализ данных и регрессия: второй курс статистики . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-04854-Х.
16. Ким, Т.-Х.; Уайт, Х. (2003). «О более надежной оценке асимметрии и эксцесса: моделирование и применение к индексу S&P 500».
17. Робертсон, Калифорния; Фрайер, Дж. Г. (1969). «Некоторые описательные свойства нормальных смесей». Скандинависк Актуариетидскрифт . 69 (3–4): 137–146. дои : 10.1080/03461238.1969.10404590.
18. Айзенбергер, I (1964). «Генезис бимодальных распределений». Технометрика . 6 (4): 357–363. дои : 10.1080/00401706.1964.10490199.
19. Рэй, С; Линдси, Б.Г. (2005). «Топография многомерных нормальных смесей». Анналы статистики . 33 (5): 2042–2065. arXiv : математика/0602238 . дои : 10.1214/009053605000000417. S2CID  36234163.
20. Хольцманн, Хаджо; Воллмер, Себастьян (2008). «Тест отношения правдоподобия на бимодальность в двухкомпонентных смесях с применением к региональному распределению доходов в ЕС». AStA: достижения в области статистического анализа . 2 (1): 57–69. дои : 10.1007/s10182-008-0057-2. S2CID  14470055.
21. Бехбудиан, Дж (1970). «О модах смеси двух нормальных распределений». Технометрика . 12 (1): 131–139. дои : 10.2307/1267357. JSTOR  1267357.
22. Эшман К.М.; Птица СМ; Цепф С.Е. (1994). «Обнаружение бимодальности в наборах астрономических данных». Астрономический журнал . 108 : 2348–2361. arXiv : astro-ph/9408030 . Бибкод : 1994AJ....108.2348A. дои : 10.1086/117248. S2CID  13464256.
23. Ван дер Эйк, К. (2001). «Измерительное соглашение в упорядоченных шкалах». Качество и количество . 35 (3): 325–341. дои : 10.1023/а: 1010374114305. S2CID  189822180.
24. Чжан, С; Мэйпс, Бельгия; Соден, Би Джей (2003). «Бимодальность тропического водяного пара». Ежеквартальный журнал Королевского метеорологического общества . 129 (594): 2847–2866. Бибкод : 2003QJRMS.129.2847Z. дои : 10.1256/qj.02.166. S2CID  17153773.
25. Эллисон, AM (1987). «Влияние диморфизма семян на зависящую от плотности динамику экспериментальных популяций Atriplex triangularis (Chenopodiaceae)». Американский журнал ботаники . 74 (8): 1280–1288. дои : 10.2307/2444163. JSTOR  2444163.
26. Пирсон, К. (1916). «Математический вклад в теорию эволюции, XIX: Второе приложение к мемуарам о асимметрии». Философские труды Королевского общества А. 216 (538–548): 429–457. Бибкод : 1916RSPTA.216..429P. дои : 10.1098/rsta.1916.0009 . JSTOR  91092.
27. Институт SAS Inc. (2012). Руководство пользователя SAS/STAT 12.1. Кэри, Северная Каролина: Автор.
28. Пфистер, Р; Шварц, Калифорния; Янчик, М.; Дейл, Р; Фриман, Дж. Б. (2013). «Хорошие вещи достигают пика в парах: заметка о коэффициенте бимодальности». Границы в психологии . 4 : 700. doi : 10.3389/fpsyg.2013.00700 . ПМЦ 3791391 . ПМИД  24109465. 
29. Уилкок, PR (1993). «Критическое напряжение сдвига природных отложений». Журнал гидротехники . 119 (4): 491–505. дои :10.1061/(asce)0733-9429(1993)119:4(491).
30. Ван, Дж; Вэнь, С; Симманс, ВФ; Пуштаи, Л; Кумбс, КР (2009). «Индекс бимодальности: критерий для обнаружения и ранжирования бимодальных сигнатур на основе данных профиля экспрессии генов рака». Раковая информатика . 7 : 199–216. дои : 10.4137/CIN.S2846. ПМК 2730180 . ПМИД  19718451. 
31. Старрок, П. (2008). «Анализ бимодальности в гистограммах, сформированных на основе данных солнечных нейтрино GALLEX и GNO». Солнечная физика . 249 (1): 1–10. arXiv : 0711.0216 . Бибкод : 2008SoPh..249....1S. дои : 10.1007/s11207-008-9170-3. S2CID  118389173.
32. Скаргл, JD (1982). «Исследования по анализу астрономических временных рядов. II – Статистические аспекты спектрального анализа неравномерно расположенных данных». Астрофизический журнал . 263 (1): 835–853. Бибкод : 1982ApJ...263..835S. дои : 10.1086/160554.
33. Де Мишель, К; Аккатино, Ф (2014). «Бимодальность древесного покрова в саваннах и лесах, возникающая в результате переключения между двумя динамиками пожаров». ПЛОС ОДИН . 9 (3): е91195. Бибкод : 2014PLoSO...991195D. дои : 10.1371/journal.pone.0091195 . ПМЦ 3963849 . ПМИД  24663432. 
34. Сэмбрук Смит, GH; Николас, АП; Фергюсон, Род-Айленд (1997). «Измерение и определение бимодальных отложений: проблемы и последствия». Исследования водных ресурсов . 33 (5): 1179–1185. Бибкод : 1997WRR....33.1179S. дои : 10.1029/97wr00365 .
35. Чаудхури, Д; Агравал, А (2010). «Процедура разделения и слияния для сегментации изображений с использованием подхода обнаружения бимодальности». Оборонный научный журнал . 60 (3): 290–301. дои : 10.14429/dsj.60.356.
36. Folk, RL; Уорд, WC (1957). «Брасос реки Бразос: исследование значения параметров размера зерна». Журнал осадочных исследований . 27 (1): 3–26. Бибкод : 1957JSedR..27....3F. дои : 10.1306/74d70646-2b21-11d7-8648000102c1865d.
37. Дайер, КР (1970). «Классометрические параметры песчаного гравия». Журнал осадочных исследований . 40 (2): 616–620. дои : 10.1306/74D71FE6-2B21-11D7-8648000102C1865D.
38. Пирсон, К. (1894). «Вклад в математическую теорию эволюции: о расчленении асимметричных частотных кривых». Философские труды Королевского общества А. 185 : 71–90. Бибкод : 1894RSPTA.185...71P. дои : 10.1098/rsta.1894.0003 .
39. Пирсон, К. (1929). «Примечание редакции». Биометрика . 21 : 370–375.
40. Бейкер, Джорджия (1930). «Преобразования бимодальных распределений». Анналы математической статистики . 1 (4): 334–344. дои : 10.1214/aoms/1177733063 .
41. Холдейн, JBS (1951). «Простые тесты на бимодальность и битангиальность». Анналы евгеники . 16 (1): 359–364. doi :10.1111/j.1469-1809.1951.tb02488.x. ПМИД  14953132.
42. Ларкин, Р.П. (1979). «Алгоритм оценки бимодальности и унимодальности в одномерном распределении». Методы и инструменты исследования поведения . 11 (4): 467–468. дои : 10.3758/BF03205709 .
43. Беннетт, Южная Каролина (1992). «Половой диморфизм птеранодона и других птерозавров с комментариями на черепных гребнях». Журнал палеонтологии позвоночных . 12 (4): 422–434. дои : 10.1080/02724634.1992.10011472.
44. Токеши, М (1992). «Динамика и распространение в сообществах животных; теория и анализ». Исследования по популяционной экологии . 34 (2): 249–273. дои : 10.1007/bf02514796. S2CID  22912914.
45. Баррето, С; Борхес, ПАВ; Го, Ц (2003). «Опечатка в тесте на бимодальность Токеши». Глобальная экология и биогеография . 12 (2): 173–174. дои : 10.1046/j.1466-822x.2003.00018.x. hdl : 10400.3/1408 .
46. Кэролан, AM; Рейнер, JCW (2001). «Один образец тестов на определение режима ненормальных данных». Журнал прикладной математики и наук о принятии решений . 5 (1): 1–19. CiteSeerX 10.1.1.504.4999 . дои : 10.1155/s1173912601000013 . 
47. Хартиган, Дж. А. (2000). «Тестирование антимодов». В Галлии W; Опиц О; Шадер М. (ред.). Анализ данных . Исследования в области классификации, анализа данных и организации знаний. Спрингер. стр. 169–181. ISBN 3-540-67731-3.
48. Сильверман, BW (1981). «Использование оценок плотности ядра для исследования мультимодальности». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 43 (1): 97–99. Бибкод : 1981JRSSB..43...97S. doi :10.1111/j.2517-6161.1981.tb01155.x. JSTOR  2985156.
49. Хартиган, Дж.А.; Хартиган, премьер-министр (1985). «Тест на унимодальность». Анналы статистики . 13 (1): 70–84. дои : 10.1214/aos/1176346577 .
50. Мюллер, Д.В.; Савицкий, Г (1991). «Оценки избыточной массы и тесты на мультимодальность». Журнал Американской статистической ассоциации . 86 (415): 738–746. дои : 10.1080/01621459.1991.10475103. JSTOR  2290406.
51. Розал, GPM Хартиган Дж.А. (1994). «Тест MAP на мультимодальность». Журнал классификации . 11 (1): 5–36. дои : 10.1007/BF01201021. S2CID  118500771.
52. Миннотт, MC (1997). «Непараметрическая проверка существования режимов». Анналы статистики . 25 (4): 1646–1660. дои : 10.1214/aos/1031594735 .
53. Хартиган, Дж.А.; Моханти, С. (1992). «Тест RUNT на мультимодальность». Журнал классификации . 9 : 63–70. дои : 10.1007/bf02618468. S2CID  121960832.
54. Андрушкив Р.И.; Клюшин Д.Д.; Петунин Ю.И. (2008). «Новый тест на унимодальность». Теория случайных процессов . 14 (1): 1–6.
55. Хартиган, Дж. А. (1988). «Тест мультимодальности». В Боке, Х.Х. (ред.). Классификация и родственные методы анализа данных . Амстердам: Северная Голландия. стр. 229–236. ISBN 0-444-70404-3.
56. Рингач, Мартин Меклер (первоначально из Fortran и S.-plus Дарио; NYU.edu) (5 декабря 2016 г.). «diptest: статистика погружения Хартигана на унимодальность - исправлено» - через R-Packages.
57. Фриман; Дейл (2012). «Оценка бимодальности для выявления наличия двойственного когнитивного процесса» (PDF) . Методы исследования поведения . 45 (1): 83–97. дои : 10.3758/s13428-012-0225-x . PMID  22806703. S2CID  14500508.
58. Байгер С.М.; Аггарвал Л.К. (1991). «Способность критериев согласия при обнаружении сбалансированных смешанных нормальных распределений». Образовательные и психологические измерения . 51 (2): 253–269. дои : 10.1177/0013164491512001. S2CID  121113601.
59. Джексон, PR; Такер, GT; Вудс, Х.Ф. (1989). «Тестирование бимодальности в частотных распределениях данных, предполагающих полиморфизм метаболизма лекарств - проверка гипотез». Британский журнал клинической фармакологии . 28 (6): 655–662. doi :10.1111/j.1365-2125.1989.tb03558.x. ПМК 1380036 . ПМИД  2611088. 
60. Фамой, Феликс; Ли, Карл; Евгений, Николай. «Бета-нормальное распределение: свойства и применение бимодальности». Совместные статистические совещания - Секция физических и технических наук (SPES) (PDF) . Американское статистическое общество. стр. 951–956. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г.
61. «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 3 ноября 2013 г. Проверено 1 ноября 2013 г.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
62. "Домашняя страница кластера" . Engineering.purdue.edu .
63. Мехлер, Мартин (25 августа 2016 г.). «nor1mix: Нормальные (1-d) модели смеси (классы и методы S3)» – через R-пакеты.
64. Янг, Дерек; Беналья, Татьяна; Шово, Дидье; Хантер, Дэвид; Элмор, Райан; Хеттманспергер, Томас; Томас, Хобен; Сюань, Фэнцзюань (10 марта 2017 г.). «mixtools: инструменты для анализа конечных моделей смесей» – через R-Packages.
65. "discrimARTs" (PDF) . cran.r-project.org . Проверено 22 марта 2018 г.
66. Грюн, Беттина; Лейш, Фридрих; Саркар, Дипаян; Мортье, Фредерик; Пикард, Николя (28 апреля 2017 г.). «flexmix: гибкое моделирование смесей» - через R-Packages.
67. Фрейли, Крис; Рафтери, Адриан Э.; Скручка, Лука; Мерфи, Томас Брендан; Фоп, Майкл (21 мая 2017 г.). «mclust: моделирование гауссовой смеси для кластеризации, классификации и оценки плотности на основе моделей» - через R-Packages.
68. Рюден, Дидье (2 апреля 2016 г.). "согласен". cran.r-project.org.
69. Макдональд, Питер; Ду при участии Хуана (29 октября 2012 г.). «mixdist: модели распределения конечной смеси» – через R-Packages.
70. "Модели гауссовой смеси" . scikit-learn.org . Проверено 30 ноября 2023 г.
71. CumFreq, бесплатная программа для подгонки вероятностных распределений к набору данных. На линии: [1]