Бифуркация вил

Бифуркация от системы с одной неподвижной точкой к трем неподвижным точкам

В теории бифуркаций , области в математике , бифуркация вилки — это особый тип локальной бифуркации , при которой система переходит из одной неподвижной точки в три неподвижные точки. Бифуркации вилки, как и бифуркации Хопфа , бывают двух типов — сверхкритические и субкритические.

В непрерывных динамических системах, описываемых ОДУ , т.е. потоках, бифуркации вил происходят обычно в системах с симметрией .

Сверхкритический случай

Сверхкритический случай: сплошные линии представляют устойчивые точки, пунктирная линия — неустойчивые.

Нормальная форма сверхкритической бифуркации вилки:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx-x^{3}.}$

Для существует одно устойчивое равновесие при . Для существует неустойчивое равновесие при , и два устойчивых равновесия при . ${\displaystyle r<0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {r}}}$

Докритический случай

Докритический случай: сплошная линия представляет собой устойчивую точку, а пунктирные линии — неустойчивую.

Нормальная форма для докритического случая:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx+x^{3}.}$

В этом случае для равновесие при устойчиво, а при имеются два неустойчивых равновесия . Для равновесие при неустойчиво. ${\displaystyle r<0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-r}}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x=0}$

Формальное определение

ОДА

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,r)\,}$

описывается функцией с одним параметром, удовлетворяющей : ${\displaystyle f(x,r)}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle -f(x,r)=f(-x,r)\,\,}$  (f — нечетная функция ),

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial x}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{0})&\neq 0,\\[5pt]{\frac {\partial f}{\partial r}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial r}}(0,r_{0})&\neq 0.\end{aligned}}}$

имеет бифуркацию вил в точке . Форма вил задается знаком третьей производной: ${\displaystyle (x,r)=(0,r_{0})}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{0}){\begin{cases}<0,&{\text{supercritical}}\\>0,&{\text{subcritical}}\end{cases}}\,\,}$

Обратите внимание, что субкритический и суперкритический описывают устойчивость внешних линий вил (пунктирных или сплошных соответственно) и не зависят от того, в каком направлении обращены вилы. Например, отрицание первого ОДУ выше, обращено в том же направлении, что и первая картинка, но меняет устойчивость. ${\displaystyle {\dot {x}}=x^{3}-rx}$

Смотрите также

• Теория бифуркации
• Диаграмма бифуркации

Ссылки

• Стивен Строгац, Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике , Perseus Books, 2000.
• С. Уиггинс, Введение в прикладные нелинейные динамические системы и хаос , Springer-Verlag, 1990.