В динамических системах и эргодической теории понятие блуждающего множества формализует определенную идею движения и перемешивания . Когда динамическая система имеет блуждающее множество ненулевой меры, то система является диссипативной системой . Это противоположно консервативной системе , к которой применима теорема Пуанкаре о возвращении . Интуитивно связь между блуждающими множествами и диссипацией легко понять: если часть фазового пространства «блуждает» в ходе нормальной временной эволюции системы и никогда больше не посещается, то система является диссипативной. Язык блуждающих множеств может быть использован для того, чтобы дать точное математическое определение понятию диссипативной системы. Понятие блуждающих множеств в фазовом пространстве было введено Биркгофом в 1927 году. [ необходима цитата ]
Обычное определение блуждающих множеств в дискретном времени начинается с отображения топологического пространства X. Точка называется блуждающей, если существует окрестность U точки x и положительное целое число N, такие, что для всех итерированное отображение не пересекается:
Более удобное определение требует только, чтобы пересечение имело меру ноль . Чтобы быть точным, определение требует, чтобы X было пространством меры , т.е. частью тройки борелевских множеств и мерой такой, что
для всех . Аналогично, система с непрерывным временем будет иметь отображение, определяющее временную эволюцию или поток системы, причем оператор временной эволюции будет однопараметрическим непрерывным абелевым групповым действием на X :
В таком случае блуждающая точка будет иметь окрестность U точки x и время T, такие, что для всех моментов времени отображение, эволюционирующее во времени, будет иметь меру ноль:
Эти более простые определения могут быть полностью обобщены на групповое действие топологической группы . Пусть будет мерным пространством, то есть множеством с мерой , определенной на его борелевских подмножествах . Пусть будет группой, действующей на этом множестве. Для данной точки множество
называется траекторией или орбитой точки x .
Элемент называется блуждающей точкой , если существует окрестность U точки x и окрестность V единицы в такие, что
для всех .
Неблуждающая точка — это противоположность. В дискретном случае неблуждающая точка, если для каждого открытого множества U, содержащего x , и каждого N > 0 существует некоторое n > N такое, что
Аналогичные определения следуют для непрерывных во времени, а также дискретных и непрерывных групповых действий.
Блуждающее множество — это совокупность блуждающих точек. Точнее, подмножество W множества является блуждающим множеством под действием дискретной группы , если W измеримо и если для любого пересечения
представляет собой множество меры ноль.
Понятие блуждающего множества в некотором смысле двойственно идеям, выраженным в теореме о возвращении Пуанкаре. Если существует блуждающее множество положительной меры, то действие называется диссипативным , а динамическая система называется диссипативной системой . Если такого блуждающего множества нет, то действие называется консервативным , а система является консервативной системой . Например, любая система, для которой справедлива теорема о возвращении Пуанкаре , по определению не может иметь блуждающего множества положительной меры; и, таким образом, является примером консервативной системы.
Определим траекторию блуждающего множества W как
Действие называется полностью диссипативным, если существует блуждающее множество W положительной меры, такое, что орбита почти всюду равна , то есть если
представляет собой множество меры ноль.
Разложение Хопфа утверждает , что каждое мерное пространство с невырожденным преобразованием можно разложить на инвариантное консервативное множество и инвариантное блуждающее множество.
