Консервативная система

В математике консервативная система — это динамическая система , которая противопоставляется диссипативной системе . Грубо говоря, такие системы не имеют трения или другого механизма для рассеивания динамики, и, таким образом, их фазовое пространство не сжимается со временем. Точнее говоря, это те динамические системы, которые имеют нулевое блуждающее множество : при эволюции во времени никакая часть фазового пространства никогда не «блуждает», никогда не возвращается или не посещается повторно. С другой стороны, консервативные системы — это те, к которым применима теорема Пуанкаре о возвращении . Важным частным случаем консервативных систем являются динамические системы, сохраняющие меру .

Неформальное знакомство

Неформально, динамические системы описывают временную эволюцию фазового пространства некоторой механической системы. Обычно такая эволюция задается некоторыми дифференциальными уравнениями или довольно часто в терминах дискретных временных шагов. Однако в данном случае вместо того, чтобы сосредоточиться на временной эволюции дискретных точек, мы переключаем внимание на временную эволюцию наборов точек. Одним из таких примеров могут быть кольца Сатурна : вместо того, чтобы отслеживать временную эволюцию отдельных песчинок в кольцах, мы вместо этого интересуемся временной эволюцией плотности колец: как плотность истончается, распространяется или концентрируется. На коротких временных масштабах (сотни тысяч лет) кольца Сатурна стабильны и, таким образом, являются разумным примером консервативной системы и, точнее, динамической системы, сохраняющей меру. Он сохраняет меру, поскольку число частиц в кольцах не меняется, и, согласно ньютоновской орбитальной механике, фазовое пространство несжимаемо: его можно растягивать или сжимать, но нельзя сжимать (в этом заключается содержание теоремы Лиувилля ).

Формальное определение

Формально измеримая динамическая система является консервативной тогда и только тогда, когда она невырождена и не имеет блуждающих множеств. ^[1]

Измеримая динамическая система ( X , Σ, μ , τ ) — это борелевское пространство ( X , Σ), снабженное сигма-конечной мерой μ и преобразованием τ . Здесь X — это множество , а Σ — сигма-алгебра на X , так что пара ( X , Σ) — измеримое пространство . μ — сигма-конечная мера на сигма-алгебре. Пространство X — это фазовое пространство динамической системы.

Преобразование (отображение) называется Σ-измеримым тогда и только тогда, когда для каждого σ ∈ Σ выполняется . Преобразование представляет собой один «шаг времени» в эволюции динамической системы. Нас интересуют обратимые преобразования, так что текущее состояние динамической системы происходит из хорошо определенного прошлого состояния. ${\displaystyle \tau :X\to X}$ ${\displaystyle \tau ^{-1}\sigma \in \Sigma }$

Измеримое преобразование называется несингулярным, когда тогда и только тогда, когда . ^[2] В этом случае система ( X , Σ, μ , τ ) называется несингулярной динамической системой . Условие несингулярности необходимо для того, чтобы динамическая система была пригодна для моделирования (неравновесных) систем. То есть, если определенная конфигурация системы «невозможна» (т.е. ), то она должна оставаться «невозможна» (всегда была невозможной: ), но в противном случае система может развиваться произвольно. Несингулярные системы сохраняют пренебрежимо малые множества, но не обязаны сохранять какой-либо другой класс множеств. Смысл слова сингулярный здесь такой же, как и в определении сингулярной меры, в том смысле, что никакая часть не является сингулярной относительно и наоборот. ${\displaystyle \tau :X\to X}$ ${\displaystyle \mu (\tau ^{-1}\sigma )=0}$ ${\displaystyle \mu (\sigma )=0}$ ${\displaystyle \mu (\sigma )=0}$ ${\displaystyle \mu (\tau ^{-1}\sigma )=0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu \circ \tau ^{-1}}$

Неособая динамическая система, для которой называется инвариантной , или, чаще, динамической системой, сохраняющей меру . ${\displaystyle \mu (\tau ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )}$

Несингулярная динамическая система является консервативной , если для каждого набора положительной меры и для каждого существует некоторое целое число, такое что . Неформально это можно интерпретировать как то, что текущее состояние системы возвращается или приближается произвольно близко к предыдущему состоянию; см. Повторение Пуанкаре для получения дополнительной информации. ${\displaystyle \sigma \in \Sigma }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle p>n}$ ${\displaystyle \mu (\sigma \cap \tau ^{-p}\sigma )>0}$

Несингулярное преобразование является несжимаемым , если всякий раз , когда , то . ${\displaystyle \tau :X\to X}$ ${\displaystyle \tau ^{-1}\sigma \subset \sigma }$ ${\displaystyle \mu (\sigma \smallsetminus \tau ^{-1}\sigma )=0}$

Характеристики

Для невырожденного преобразования следующие утверждения эквивалентны: ^{[1] [3] [4]} ${\displaystyle \tau :X\to X}$

• τ является консервативным.
• τ несжимаема.
• Каждое блуждающее множество τ равно нулю.
• Для всех множеств σ положительной меры, . ${\textstyle \mu \left(\sigma \smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0}$

Из вышесказанного следует, что если и сохраняет меру, то динамическая система консервативна. Это фактически современная формулировка теоремы о возвращении Пуанкаре . Набросок доказательства эквивалентности этих четырех свойств дан в статье о разложении Хопфа . ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$ ${\displaystyle \tau }$

Предположим, что и сохраняет меру. Пусть будет блуждающим множеством из . По определению блуждающих множеств и поскольку сохраняет , таким образом, будет содержать счетное бесконечное объединение попарно непересекающихся множеств, имеющих ту же меру, что и . Поскольку предполагалось , следует, что является нулевым множеством, и поэтому все блуждающие множества должны быть нулевыми множествами. ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$ ${\displaystyle A}$

Это рассуждение не работает даже для самых простых примеров, если . Действительно, рассмотрим, например , , где обозначает меру Лебега , и рассмотрим оператор сдвига . Поскольку мера Лебега инвариантна относительно трансляции, является сохраняющей меру. Однако не является консервативной. Фактически, каждый интервал длины строго меньшей, чем содержащийся в , является блуждающим. В частности, может быть записан как счетное объединение блуждающих множеств. ${\displaystyle \mu (X)=\infty }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \tau :X\to X,x\mapsto x+1}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,\tau )}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Разложение Хопфа

Разложение Хопфа утверждает , что каждое пространство меры с невырожденным преобразованием может быть разложено на инвариантное консервативное множество и блуждающее (диссипативное) множество. Обычным неформальным примером разложения Хопфа является смешивание двух жидкостей (в некоторых учебниках упоминаются ром и кока-кола): начальное состояние, в котором две жидкости еще не смешаны, никогда не может повториться снова после смешивания; оно является частью диссипативного множества. Аналогично любое из частично смешанных состояний. Результат после смешивания ( в каноническом примере — cuba libre ) стабилен и образует консервативное множество; дальнейшее смешивание его не меняет. В этом примере консервативное множество также эргодично: если добавить еще одну каплю жидкости (скажем, лимонного сока), она не останется на одном месте, а смешается везде. Одно слово предостережения относительно этого примера: хотя системы смешивания эргодичны, эргодические системы не являются общими системами смешивания! Смешивание подразумевает взаимодействие, которое может и не существовать. Каноническим примером эргодической системы, которая не перемешивается, является процесс Бернулли : это множество всех возможных бесконечных последовательностей подбрасываний монеты (эквивалентно множеству бесконечных строк нулей и единиц); каждое отдельное подбрасывание монеты не зависит от других. ${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

Эргодическое разложение

Теорема об эргодическом разложении, грубо говоря, утверждает, что каждая консервативная система может быть разделена на компоненты, каждый компонент которых индивидуально эргодичен . Неформальным примером этого может служить ванна с разделителем посередине, в которой жидкости заполняют каждое отделение. Жидкость с одной стороны может явно смешиваться сама с собой, как и с другой, но из-за перегородки две стороны не могут взаимодействовать. Очевидно, что это можно рассматривать как две независимые системы; утечку между двумя сторонами, мерой ноль, можно игнорировать. Теорема об эргодическом разложении утверждает, что все консервативные системы могут быть разделены на такие независимые части, и что это разделение уникально (с точностью до разностей меры ноль). Таким образом, по соглашению, изучение консервативных систем становится изучением их эргодических компонентов.

Формально, каждая эргодическая система консервативна. Напомним, что инвариантное множество σ ∈ Σ — это множество, для которого τ ( σ ) = σ . Для эргодической системы единственными инвариантными множествами являются множества с нулевой или полной мерой (являются нулевыми или conull ); то, что они консервативны, тогда тривиально следует из этого.

Когда τ эргодичен, следующие утверждения эквивалентны: ^[1]

• τ консервативен и эргодичен
• Для всех измеримых множеств σ , ; то есть σ «выметает» все X . ${\textstyle \mu \left(X\smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0}$
• Для всех множеств σ положительной меры и почти для каждого существует положительное целое число n такое, что . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \tau ^{n}x\in \sigma }$
• Для всех множеств положительной меры существует положительное целое число n такое, что ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mu \left(\tau ^{-n}\rho \cap \sigma \right)>0}$
• Если , то либо , либо дополнение имеет нулевую меру: . ${\displaystyle \tau ^{-1}\sigma \subset \sigma }$ ${\displaystyle \mu (\sigma )=0}$ ${\displaystyle \mu (\sigma ^{c})=0}$

Смотрите также

• Состояние КМС , описание термодинамического равновесия в квантово-механических системах; дуальное к модулярным теориям для алгебр фон Неймана.

Примечания

1. Даниленко и Сильва (2009), раздел 2.2.
2. Даниленко и Сильва (2009), с. 1
3. Кренгель (1985), стр. 16–17
4. Сариг (2020), раздел 1.14

Ссылки

• Даниленко, Александр И.; Сильва, Сезар Э. (2009). «Эргодическая теория: Несингулярные преобразования». Энциклопедия сложности и системной науки . Springer: 3055–3083. arXiv : 0803.2424 . doi :10.1007/978-0-387-30440-3_183. ISBN 978-0-387-75888-6.
• Кренгель, Ульрих (1985). Эргодические теоремы . Исследования Де Грюйтера по математике. Том. 6. де Грюйтер. ISBN 3-11-008478-3.
• Сариг, Омри (8 марта 2020 г.). "Конспект лекций по эргодической теории" (PDF) . Главная | Омри Сариг . Институт Вейцмана.

Дальнейшее чтение

• Николс, Питер Дж. (1989). Эргодическая теория дискретных групп . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37674-2.
• Уилкинсон, Эме (2008). «Гладкая эргодическая теория». arXiv : 0804.0167 [math.DS].