Большие числа

Числа значительно больше, чем те, которые используются регулярно.

Большие числа — это числа, значительно большие, чем те, которые обычно используются в повседневной жизни (например, при простом подсчете или в денежных операциях), часто встречающиеся в таких областях, как математика , космология , криптография и статистическая механика . Обычно это большие положительные целые числа или, в более общем плане, большие положительные действительные числа , но также могут быть и другими числами в других контекстах. Гугология – это изучение номенклатуры и свойств больших чисел. ^{[1] [2] [ нужен лучший источник ]}

В повседневном мире

Научное обозначение было создано для обработки широкого диапазона значений, встречающихся в научных исследованиях. Например, 1,0 × 10 ^{9 означает один} миллиард , или 1, за которым следуют девять нулей: 1 000 000 000. Обратная величина 1,0 × 10 ⁻⁹ означает одну миллиардную долю или 0,000 000 001. Написание 10 ⁹ вместо девяти нулей избавляет читателей от необходимости пересчитывать длинную серию нулей, чтобы увидеть, насколько велико это число. В дополнение к научным (степени 10) обозначениям следующие примеры включают (краткую) систематическую номенклатуру больших чисел.

Примеры больших чисел, описывающих повседневные объекты реального мира, включают:

• Количество клеток в организме человека (оценивается в 3,72×10 ¹³ ), или 37,2 триллиона ^[3]
• Количество бит на жестком диске компьютера (по состоянию на 2024 год ^{[обновлять]}обычно около 10 ¹³ , 1–2  ТБ ), или 10 триллионов
• Число нейрональных связей в мозге человека (оценивается в 10 ¹⁴ ), или 100 триллионов
• Константа Авогадро — это количество «элементарных объектов» (обычно атомов или молекул) в одном моле ; количество атомов в 12 граммах углерода-12  – примерно6,022 × 10 ²³ , или 602,2 секстиллиона.
• Общее количество пар оснований ДНК во всей биомассе на Земле, как возможное приближение к глобальному биоразнообразию , оценивается в (5,3 ± 3,6) × 10 ³⁷ , или 53 ± 36 ундециллионов ^{[4] [5]}
• Масса Земли состоит примерно из 4 × 10 ⁵¹ , или 4 сексдециллионов нуклонов .
• Предполагаемое количество атомов в наблюдаемой Вселенной (10 ⁸⁰ ), или 100 квинвигинтиллионов.
• Нижняя граница сложности дерева игры в шахматах, также известная как « число Шеннона » (оценивается примерно в 10 ¹²⁰ ), или 1 новейтригинтиллион ^[6]
  • Обратите внимание, что это значение числа Шеннона относится к стандартным шахматам. Он имеет еще большие значения для вариантов шахмат с большей доской, таких как Грант Аседрекс , Тай Сёги и Тайкиоку Сёги .

Астрономический

Другие большие числа, относящиеся к длине и времени, встречаются в астрономии и космологии . Например, текущая модель Большого взрыва предполагает, что возраст Вселенной составляет 13,8 миллиарда лет (4,355 × 10 ¹⁷ секунд), а наблюдаемая Вселенная имеет поперечник 93 миллиарда световых лет (8,8 × 10 ²⁶ метров) и содержит около 5 × 10 26 метров. По данным наблюдений космического телескопа Хаббл, ²² звезды объединены примерно в 125 миллиардов (1,25 × 10 ¹¹ ) галактик. По грубым оценкам, в наблюдаемой Вселенной насчитывается около 10 ^{80 атомов. [7]}

По словам Дона Пейджа , физика из Университета Альберты, Канада, самое длинное конечное время, которое до сих пор было явно рассчитано каким-либо физиком, равно

${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{1.1}}}}}{\mbox{ years}}}$

что соответствует масштабу оцененного времени возврата Пуанкаре для квантового состояния гипотетического ящика, содержащего черную дыру с предполагаемой массой всей Вселенной, наблюдаемой или нет, в предположении некоторой инфляционной модели с инфлатоном , масса которого равна 10 ^{−6 .} Планковские массы . ^{[8] [9]} На этот раз предполагается статистическая модель с учетом рекуррентности Пуанкаре. Гораздо упрощенный способ мышления об этом времени заключается в модели, в которой история Вселенной повторяется произвольное количество раз из-за свойств статистической механики ; это временной масштаб, когда он сначала снова будет несколько похож (при разумном выборе «похожего») на свое текущее состояние.

Комбинаторные процессы быстро генерируют еще большие числа. Функция факториала , определяющая количество перестановок набора фиксированных объектов, очень быстро растет с увеличением количества объектов. Формула Стирлинга дает точное асимптотическое выражение этой скорости роста.

Комбинаторные процессы в статистической механике генерируют очень большие числа. Эти числа настолько велики, что для обозначения их обычно используют только логарифмы .

Числа Гёделя и подобные числа, используемые для представления битовых строк в алгоритмической теории информации , очень велики даже для математических утверждений разумной длины. Однако некоторые патологические числа даже больше, чем числа Гёделя типичных математических утверждений.

Логик Харви Фридман проделал работу, связанную с очень большими числами, например, с теоремой Краскала о дереве и теоремой Робертсона-Сеймура .

«Миллиарды и миллиарды»

Чтобы помочь зрителям « Космоса» различать «миллионы» и «миллиарды», астроном Карл Саган подчеркнул букву «b». Однако Саган никогда не говорил « миллиарды и миллиарды ». Ассоциация этой фразы и Сагана у публики возникла из пародии на « Вечернее шоу» . Пародируя эффект Сагана, Джонни Карсон пошутил: «миллиарды и миллиарды». ^[10] Однако теперь эта фраза превратилась в юмористический вымышленный номер — Саган . См. , Саганский отряд .

Примеры

• Гугол = ${\displaystyle 10^{100}}$
• центиллион = или , в зависимости от системы наименования чисел ${\displaystyle 10^{303}}$ ${\displaystyle 10^{600}}$
• миллиниллион = или , в зависимости от системы наименования чисел ${\displaystyle 10^{3003}}$ ${\displaystyle 10^{6000}}$
• Наибольшее известное число Смита = (10 ¹⁰³¹ −1) × (10 ⁴⁵⁹⁴ + 3 × 10²²⁹⁷ + 1) ¹⁴⁷⁶ × 10^{3 913 210}
• Самое большое известное простое число Мерсенна = ^[11] ${\displaystyle 2^{82,589,933}-1}$
• гуголплекс = ${\displaystyle 10^{\text{googol}}=10^{10^{100}}}$
• Числа Скьюза : первое приблизительно , второе ${\displaystyle 10^{10^{10^{34}}}}$ ${\displaystyle 10^{10^{10^{964}}}}$
• Число Грэма , большее, чем то, что можно представить даже с помощью силовых башен ( тетрация ). Однако его можно представить, используя слои нотации Кнута со стрелкой вверх.
• Теорема Краскала о дереве — это последовательность, относящаяся к графам. TREE(3) больше числа Грэма .
• Число Райо - это большое число, названное в честь Агустина Райо, которое считается самым большим именованным числом. Первоначально он был определен в «дуэли больших чисел» в Массачусетском технологическом институте 26 января 2007 года.

Стандартизированная система письма

Стандартизированный способ записи очень больших чисел позволяет легко сортировать их в порядке возрастания и получить хорошее представление о том, насколько одно число больше другого.

Чтобы сравнить числа в экспоненциальной записи, скажем, 5×10 ⁴ и 2×10 ⁵ , сначала сравните показатели степени, в данном случае 5 > 4, то есть 2×10 ⁵ > 5×10 ⁴ . Если показатели степени равны, следует сравнить мантиссу (или коэффициент), таким образом 5×10 ⁴ > 2×10 ^4, поскольку 5 > 2.

Тетрование с основанием 10 дает последовательность , степенные башни чисел 10, где обозначает функциональную степень функции (функция также выражается суффиксом «-plex», как в гуголплексе, см. семейство гугол ). ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n=10\to n\to 2=(10\uparrow )^{n}1}$ ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}}$ ${\displaystyle f(n)=10^{n}}$

Это очень круглые числа, каждое из которых представляет собой порядок величины в обобщенном смысле. Грубый способ указать, насколько велико число, — указать, между какими двумя числами в этой последовательности оно находится.

Точнее, числа между ними могут быть выражены в форме , т. е. с башней из 10 и числом вверху, возможно, в научной записи, например , числом между и (обратите внимание, что если ). (См. также распространение тетрации на реальные высоты .) ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}a}$ ${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{4.829}}}}}=(10\uparrow )^{5}4.829}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 5}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 6}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n<(10\uparrow )^{n}a<10\uparrow \uparrow (n+1)}$ ${\displaystyle 1<a<10}$

Таким образом, гуголплекс ${\displaystyle 10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{2}100=(10\uparrow )^{3}2}$

Другой пример:

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 4={\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\qquad \quad \ \ \ 65,536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}\approx (10\uparrow )^{65,531}(6\times 10^{19,728})\approx (10\uparrow )^{65,533}4.3}$(между и ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,533}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,534}$

Таким образом, «порядок» числа (в большем масштабе, чем обычно подразумевается) может быть охарактеризован количеством раз ( n ), которое нужно выполнить, чтобы получить число от 1 до 10. Таким образом, число равно между и . Как объяснялось, более точное описание числа также указывает значение этого числа между 1 и 10, или предыдущего числа (логарифмируя на один раз меньше) между 10 и 10 ¹⁰ , или следующего, между 0 и 1. ${\displaystyle log_{10}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (n+1)}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle 10^{(10\uparrow )^{n}x}=(10\uparrow )^{n}10^{x}}$

Т.е., если число x слишком велико для представления, то силовую башню можно сделать на единицу выше, заменив x на log ₁₀ x , или найти x из нижнего представления log ₁₀ целого числа. Если бы башня электропередачи содержала одно или несколько чисел, отличных от 10, два подхода привели бы к разным результатам, что соответствует тому факту, что расширение башни электропередачи с цифрой 10 внизу - это не то же самое, что расширение ее с цифрой 10 внизу. верх (но, конечно, аналогичные замечания применимы, если вся электробашня состоит из экземпляров одного и того же числа, отличного от 10). ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}x}$

Если высота башни большая, к самой высоте можно применить различные представления больших чисел. Если высота указана приблизительно, указание значения вверху не имеет смысла, поэтому можно использовать обозначение двойной стрелкой (например, ). Если значение после двойной стрелки само по себе является очень большим числом, приведенное выше значение можно рекурсивно применить к этому значению. ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (7.21\times 10^{8})}$

Примеры:

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}}$(между и ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 2}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})=(10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$(между и ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$

Аналогично вышеизложенному, если показатель степени не задан точно, то указание значения справа не имеет смысла, и вместо использования степенного обозначения можно добавить к показателю степени , чтобы получить, например , . ${\displaystyle (10\uparrow )}$ ${\displaystyle (10\uparrow )}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$ ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{3}(2.8\times 10^{12})}$

Если показатель степени велик, к самому этому показателю можно применить различные представления для больших чисел. Если этот показатель не задан точно, то, опять же, указание значения справа не имеет смысла, и вместо использования степенного обозначения можно использовать оператор тройной стрелки, например . ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$ ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (7.3\times 10^{6})}$

Если правый аргумент оператора тройной стрелки велик, к нему применимо вышеизложенное, получая, например, (между и ). Это можно сделать рекурсивно, поэтому можно использовать оператор тройной стрелки. ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$

Затем можно перейти к операторам с большим количеством стрелок, записанным . ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$

Сравните это обозначение с гипероператором и обозначением цепочки стрелок Конвея :

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b}$знак равно ( а → б → п ) = гипер( а ,  п  + 2,  б )

Преимущество первого состоит в том, что, если рассматривать его как функцию от b , существует естественное обозначение степеней этой функции (точно так же, как при записи n стрелок): . Например: ${\displaystyle (a\uparrow ^{n})^{k}b}$

${\displaystyle (10\uparrow ^{2})^{3}b}$знак равно ( 10 → ( 10 → ( 10 → б → 2 ) → 2 ) → 2 )

и только в особых случаях сокращается обозначение длинной вложенной цепочки; для получения: ${\displaystyle ''b''=1}$

${\displaystyle 10\uparrow ^{3}3=(10\uparrow ^{2})^{3}1}$знак равно ( 10 → 3 → 3 )

Поскольку b также может быть очень большим, в общем случае вместо него можно записать число с последовательностью степеней с убывающими значениями n (с точно заданными целыми показателями степени ) с числом в конце в обычной научной записи. Если а слишком велико, чтобы его можно было указать точно, значение увеличивается на 1, а все, что находится справа от, перезаписывается. ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{k_{n}}}$ ${\displaystyle {k_{n}}}$ ${\displaystyle {k_{n}}}$ ${\displaystyle {k_{n+1}}}$ ${\displaystyle ({n+1})^{k_{n+1}}}$

Для приближенного описания чисел отклонения от порядка убывания значений n не нужны. Например, и . Таким образом получается несколько парадоксальный результат: число x может быть настолько большим, что в каком-то смысле x и 10 ^x «почти равны» (об арифметике больших чисел см. также ниже). ${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow )^{5}a=(10\uparrow \uparrow )^{6}a}$ ${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow \uparrow 3)=10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 10+1)\approx 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$

Если верхний индекс стрелки вверх большой, к самому этому верхнему индексу можно применить различные представления больших чисел. Если этот верхний индекс не задан точно, то нет смысла возводить оператор в определенную степень или корректировать значение, на которое он действует, вместо этого можно просто использовать стандартное значение справа, скажем, 10, и выражение сводится к приблизительному n . Для таких чисел преимущество использования обозначения стрелки вверх больше не применяется, поэтому вместо него можно использовать обозначение цепочки. ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10=(10\to 10\to n)}$

Вышеупомянутое можно применить рекурсивно для этого n , поэтому обозначение получается в верхнем индексе первой стрелки и т. д. или в виде вложенной цепочки, например: ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$

(10 → 10 → (10 → 10 → ) ) = ${\displaystyle 3\times 10^{5}}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{3\times 10^{5}}10}10}$

Если количество уровней становится слишком большим, чтобы быть удобным, используется обозначение, в котором это количество уровней записывается в виде числа (например, использование верхнего индекса стрелки вместо написания множества стрелок). Вводя функцию = (10 → 10 → n ), эти уровни становятся функциональными степенями f , что позволяет нам записать число в форме , где m задано точно, а n — целое число, которое может быть задано или не задано точно (например, : ). Если n велико, для его выражения можно использовать любое из вышеперечисленного. Самыми «круглыми» из этих чисел являются числа вида f ^m (1) = (10→10→ m →2). Например, ${\displaystyle f(n)=10\uparrow ^{n}10}$ ${\displaystyle f^{m}(n)}$ ${\displaystyle f^{2}(3\times 10^{5})}$ ${\displaystyle (10\to 10\to 3\to 2)=10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10}$

Сравните определение числа Грэма: оно использует цифры 3 вместо 10, имеет 64 уровня стрелок и цифру 4 вверху; таким образом , но также . ${\displaystyle G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2<(10\to 10\to 65\to 2)=f^{65}(1)}$ ${\displaystyle G<f^{64}(4)<f^{65}(1)}$

Если m in слишком велико, чтобы дать точное значение, можно использовать фиксированное n , например n = 1, и применить вышеизложенное рекурсивно к m , т. е. количество уровней стрелок вверх само по себе представлено в надстрочной стрелке вверх. обозначение и т. д. Использование обозначения функциональной степени f дает несколько уровней f . При введении функции эти уровни становятся функциональными степенями g , что позволяет нам записать число в форме , где m задано точно, а n — целое число, которое может быть задано или не задано точно. Например, если (10→10→ m →3) = g ^m (1). Если n велико, для его выражения можно использовать любое из вышеперечисленных значений. Аналогично можно ввести функцию h и т. д. Если требуется много таких функций, их можно пронумеровать вместо того, чтобы каждый раз использовать новую букву, например, в качестве нижнего индекса, так, чтобы существовали числа вида, где k и m заданы точно, а n представляет собой целое число, которое может или не может быть быть дано точно. Используя k =1 для f выше, k =2 для g и т. д., получаем (10→10→ n → k ) = . Если n велико, для его выражения можно использовать любое из вышеперечисленных. Таким образом получается вложение форм , в которых при движении внутрь k уменьшается, а в качестве внутреннего аргумента используется последовательность степеней с убывающими значениями n (где все эти числа представляют собой в точности заданные целые числа) с числом в конце в обычной научной записи. ${\displaystyle f^{m}(n)}$ ${\displaystyle g(n)=f^{n}(1)}$ ${\displaystyle g^{m}(n)}$ ${\displaystyle f_{k}^{m}(n)}$ ${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(1)}$ ${\displaystyle {f_{k}}^{m_{k}}}$ ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$

Когда k слишком велико, чтобы его можно было указать точно, соответствующее число можно выразить как = (10→10→10→ n ) с приближенным n . Заметим, что процесс перехода от последовательности =(10→ n ) к последовательности =(10→10→ n ) очень похож на переход от последней к последовательности =(10→10→10→ n ): это общий процесс добавления элемента 10 в цепочку в обозначении цепочки; этот процесс можно повторить еще раз (см. также предыдущий раздел). Нумеруя последующие версии этой функции, число можно описать с помощью функций , вложенных в лексикографическом порядке , где q является самым значимым числом, но с порядком убывания для q и для k ; в качестве внутреннего аргумента выдается последовательность степеней с уменьшающимися значениями n (где все эти числа представляют собой в точности целые числа) с числом в конце в обычной научной записи. ${\displaystyle {f_{n}}(10)}$ ${\displaystyle 10^{n}}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10}$ ${\displaystyle {f_{n}}(10)}$ ${\displaystyle {f_{qk}}^{m_{qk}}}$ ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$

Для числа, слишком большого, чтобы его можно было записать в виде цепочки стрелок Конвея, его размер можно описать длиной этой цепочки, например, используя только элементы 10 в цепочке; другими словами, можно указать его положение в последовательности 10, 10→10, 10→10→10, .. Если даже позиции в последовательности большое, можно применить те же методы снова.

Примеры

Числа, выражаемые в десятичной системе счисления:

• 2 ² = 4
• 2 ^{2 2} = 2 ↑↑ 3 = 16
• 3 ³ = 27
• 4 ⁴ = 256
• 5 ⁵ = 3,125
• 6 ⁶ = 46 656
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}}$= 2 ↑↑ 4 = 2↑↑↑3 = 65 536
• 7 ⁷ = 823 543
• 10 ⁶ = 1 000 000 = 1 миллион
• 8 ⁸ = 16 777 216
• 9 ⁹ = 387 420 489
• 10 ⁹ = 1 000 000 000 = 1 миллиард
• 10 ¹⁰ = 10 000 000 000
• 10 ¹² = 1 000 000 000 000 = 1 триллион
• 3 ^{3 3} = 3 ↑↑ 3 = 7 625 597 484 987 ≈ 7,63 × 10 ¹²
• 10 ¹⁵ = 1 000 000 000 000 000 = 1 миллион миллиардов = 1 квадриллион
• 10 ¹⁸ = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 миллиард миллиардов = 1 квинтилион

Числа, выражаемые в научной записи:

• Приблизительное количество атомов в наблюдаемой Вселенной = 10 ⁸⁰ = 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000,0 00 000
• гугол = 10 ¹⁰⁰ = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000,0 00 000 000 000 000 000 000
• 4 ^{4 4} = 4 ↑↑ 3 = 2 ⁵¹² ≈ 1,34 × 10 ¹⁵⁴ ≈ (10 ↑) ² 2,2
• Примерное количество планковских объемов , составляющих объем наблюдаемой Вселенной = 8,5 × 10 ^184.
• 5 ^{5 5} = 5 ↑↑ 3 = 5 ³¹²⁵ ≈ 1,91 × 10 ²¹⁸⁴ ≈ (10 ↑) ² 3,3
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2}}}}=2\uparrow \uparrow 5=2^{65,536}\approx 2.0\times 10^{19,728}\approx (10\uparrow )^{2}4.3}$
• 6 ^{6 6} = 6 ↑↑ 3 ≈ 2,66 × 10 ^{36 305} ≈ (10 ↑) ² 4,6
• 7 ^{7 7} = 7 ↑↑ 3 ≈ 3,76 × 10 ^{695 974} ≈ (10 ↑) ² 5,8
• 8 ^{8 8} = 8 ↑↑ 3 ≈ 6,01 × 10 ^{15 151 335} ≈ (10 ↑) ² 7,2
• ${\displaystyle M_{82,589,933}\approx 1.49\times 10^{24,862,047}\approx 10^{10^{7.3955}}=(10\uparrow )^{2}\ 7.3955}$, 51-е и по состоянию на январь 2021 года ^[update]самое большое известное простое число Мерсенна .
• 9 ^{9 9} = 9 ↑↑ 3 ≈ 4,28 × 10 ^{369 693 099} ≈ (10 ↑) ² 8,6
• 10 ^{10 10} =10 ↑↑ 3 = 10 ^{10 000 000 000} = (10 ↑) ³ 1
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3}}}=3\uparrow \uparrow 4\approx 1.26\times 10^{3,638,334,640,024}\approx (10\uparrow )^{3}1.10}$

Числа, выражаемые в обозначениях (10 ↑) ⁿ k :

• гуголплекс = ${\displaystyle 10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{3}2}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}=2\uparrow \uparrow 6=2^{2^{65,536}}\approx 2^{(10\uparrow )^{2}4.3}\approx 10^{(10\uparrow )^{2}4.3}=(10\uparrow )^{3}4.3}$
• ${\displaystyle 10^{10^{10^{10}}}=10\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{4}1}$
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3^{3}}}}=3\uparrow \uparrow 5\approx 3^{10^{3.6\times 10^{12}}}\approx (10\uparrow )^{4}1.10}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}=2\uparrow \uparrow 7\approx (10\uparrow )^{4}4.3}$
• 10 ↑↑ 5 = (10 ↑) ⁵ 1
• 3 ↑↑ 6 ≈ (10 ↑) ⁵ 1,10
• 2 ↑↑ 8 ≈ (10 ↑) ⁵ 4,3
• 10 ↑↑ 6 = (10 ↑) ⁶ 1
• 10 ↑↑↑ 2 = 10 ↑↑ 10 = (10 ↑) ¹⁰ 1
• 2 ↑↑↑↑ 3 = 2 ↑↑↑ 4 = 2 ↑↑ 65 536 ≈ (10 ↑) ^{65 533} 4,3 находится между 10 ↑ ↑ 65 533 и 10 ↑ ↑ 65 534

Большие числа:

• 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² ≈ 10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² находится между (10 ↑↑) ² 2 и (10 ↑↑) ² 3
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow )^{3}1}$знак равно ( 10 → 3 → 3 )
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}11}$
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow )^{4}1}$знак равно ( 10 → 4 → 3 )
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow )^{5}1}$знак равно ( 10 → 5 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow )^{6}1}$знак равно ( 10 → 6 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow )^{7}1}$знак равно ( 10 → 7 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow )^{8}1}$знак равно ( 10 → 8 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow )^{9}1}$знак равно ( 10 → 9 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow )^{10}1}$знак равно ( 10 → 2 → 4 ) знак равно ( 10 → 10 → 3 )
• Первый член в определении числа Грэма, g ₁ = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² ) ≈ 10 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹² ) находится между (10 ↑↑↑) ² 2 и (10 ↑↑↑) ² 3 (см. число Грэма # Величина )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{3}1}$= (10 → 3 → 4)
• ${\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4}$знак равно ( 4 → 4 → 4 ) ${\displaystyle \approx (10\uparrow \uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow \uparrow )^{3}154}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{4}1}$знак равно ( 10 → 4 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{5}1}$знак равно ( 10 → 5 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{6}1}$знак равно ( 10 → 6 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{7}1=}$знак равно ( 10 → 7 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{8}1=}$знак равно ( 10 → 8 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{9}1=}$знак равно ( 10 → 9 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{10}1}$знак равно ( 10 → 2 → 5 ) знак равно ( 10 → 10 → 4 )
• ( 2 → 3 → 2 → 2 ) знак равно ( 2 → 3 → 8 )
• ( 3 → 2 → 2 → 2 ) знак равно ( 3 → 2 → 9 ) знак равно ( 3 → 3 → 8 )
• ( 10 → 10 → 10 ) = ( 10 → 2 → 11 )
• ( 10 → 2 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → 100 )
• ( 10 → 10 → 2 → 2 ) знак равно ( 10 → 2 → ) = ${\displaystyle 10^{10}}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^{10^{10}}10}$
• Второй член в определении числа Грэма, g ₂ = 3 ↑ ^{g ₁} 3 > 10 ↑ ^{g ₁ – 1} 10.
• ( 10 → 10 → 3 → 2 ) знак равно (10 → 10 → (10 → 10 → ) ) = ${\displaystyle 10^{10}}$ ${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10}$
• г ₃ = (3 → 3 → г ₂ ) > (10 → 10 → г ₂ – 1) > (10 → 10 → 3 → 2)
• г ₄ = (3 → 3 → г ₃ ) > (10 → 10 → г ₃ – 1) > (10 → 10 → 4 → 2)
• ...
• g ₉ = (3 → 3 → g ₈ ) находится между (10 → 10 → 9 → 2) и (10 → 10 → 10 → 2)
• ( 10 → 10 → 10 → 2 )
• g ₁₀ = (3 → 3 → g ₉ ) находится между (10 → 10 → 10 → 2) и (10 → 10 → 11 → 2)
• ...
• g ₆₃ = (3 → 3 → g ₆₂ ) находится между (10 → 10 → 63 → 2) и (10 → 10 → 64 → 2)
• ( 10 → 10 → 64 → 2 )
• Число Грэма, g ₆₄ ^[12]
• ( 10 → 10 → 65 → 2 )
• ( 10 → 10 → 10 → 3 )
• ( 10 → 10 → 10 → 4 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → ... → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10), где есть ( 10 → 10 → 10) «10»

Другие обозначения

Некоторые обозначения для очень больших чисел:

• Обозначение стрелки вверх Кнута / гипероператоры / функция Аккермана , включая тетрацию
• Обозначение цепной стрелки Конвея
• обозначения Штейнгауза-Мозера ; кроме способа построения больших чисел, здесь предполагается и графическое обозначение многоугольниками . Альтернативные обозначения, такие как более традиционные обозначения функций, также могут использоваться с теми же функциями.
• Быстрорастущая иерархия

Эти обозначения по существу являются функциями целочисленных переменных, которые очень быстро увеличиваются с ростом этих целых чисел. Постоянно возрастающие функции можно легко построить рекурсивно, применяя эти функции с большими целыми числами в качестве аргумента.

Функция с вертикальной асимптотой бесполезна для определения очень большого числа, хотя функция возрастает очень быстро: нужно определить аргумент очень близко к асимптоте, т. е. использовать очень маленькое число, и построение этого эквивалентно построению очень большое число, например обратное.

Сравнение базовых значений

Следующее иллюстрирует эффект основания, отличного от 10, основания 100. Это также иллюстрирует представление чисел и арифметики.

${\displaystyle 100^{12}=10^{24}}$, с основанием 10 показатель степени увеличивается в два раза.

${\displaystyle 100^{100^{12}}=10^{2*10^{24}}}$, то же самое.

${\displaystyle 100^{100^{100^{12}}}\approx 10^{10^{2*10^{24}+0.30103}}}$, высший показатель степени почти вдвое увеличен (увеличен на log ₁₀ 2).

• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 2=10^{200}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 3=10^{2\times 10^{200}}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200}+0.3)=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{3}200.3=(10\uparrow )^{4}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n=(10\uparrow )^{n-2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{n-1}200.3=(10\uparrow )^{n}2.3<10\uparrow \uparrow (n+1)}$(таким образом, если n велико, кажется справедливым сказать, что оно «приблизительно равно» ) ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{100}2.3<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$(сравните ; таким образом, если n велико, кажется справедливым сказать, что оно «приблизительно равно» ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{10}1<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$ ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(сравнивать ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(сравнивать ) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$(сравните ; если n велико, это «приблизительно» равно) ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$

Точность

Для числа изменение n на одну единицу меняет результат в 10 раз. В таких числах , как 6,2, результат правильного округления с использованием значащих цифр, истинное значение показателя степени может быть на 50 меньше или на 50 больше. Следовательно, результат может оказаться слишком большим или слишком маленьким. Это кажется крайне низкой точностью, но для такого большого числа это можно считать справедливым (большая ошибка в большом числе может быть «относительно небольшой» и, следовательно, приемлемой). ${\displaystyle 10^{n}}$ ${\displaystyle 10^{\,\!6.2\times 10^{3}}}$ ${\displaystyle 10^{50}}$

Для очень больших чисел

В случае аппроксимации чрезвычайно большого числа относительная ошибка может быть большой, но все же может существовать смысл, в котором хочется рассматривать числа как «близкие по величине». Например, рассмотрим

${\displaystyle 10^{10}}$и ${\displaystyle 10^{9}}$

Относительная ошибка

${\displaystyle 1-{\frac {10^{9}}{10^{10}}}=1-{\frac {1}{10}}=90\%}$

большая относительная ошибка. Однако можно учитывать и относительную погрешность логарифмов; в этом случае логарифмы (по основанию 10) равны 10 и 9, поэтому относительная ошибка логарифмов составляет всего 10%.

Дело в том, что экспоненциальные функции значительно увеличивают относительные ошибки – если a и b имеют небольшую относительную ошибку,

${\displaystyle 10^{a}}$и ${\displaystyle 10^{b}}$

относительная ошибка больше, и

${\displaystyle 10^{10^{a}}}$и ${\displaystyle 10^{10^{b}}}$

будет иметь еще большую относительную ошибку. Тогда возникает вопрос: на каком уровне повторных логарифмов можно сравнивать два числа? В каком-то смысле можно рассмотреть

${\displaystyle 10^{10^{10}}}$и ${\displaystyle 10^{10^{9}}}$

быть «близким по величине». Относительная ошибка между этими двумя числами велика, а относительная ошибка между их логарифмами все еще велика; однако относительная ошибка их вторичных логарифмов невелика:

${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{10}}))=10}$и ${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{9}}))=9}$

Такие сравнения повторных логарифмов распространены, например, в аналитической теории чисел .

Классы

Одним из решений проблемы сравнения больших чисел является определение классов чисел, таких как система, разработанная Робертом Мунафо ^[13] , основанная на разных «уровнях» восприятия обычного человека. Класс 0 — числа от нуля до шести — определяется как содержащий числа, которые легко подразделяются на части , то есть числа, которые очень часто встречаются в повседневной жизни и почти мгновенно сопоставимы. Класс 1 — числа от шести до 1 000 000 = 10 ⁶ — определяется как содержащие числа, десятичные выражения которых легко подразделяются, то есть числа, которые легко сравниваются не по мощности , а «с первого взгляда», учитывая десятичное расширение.

Каждый класс после них определяется как итерация этого возведения в степень по основанию 10, чтобы имитировать эффект еще одной «итерации» человеческой неотличимости. Например, класс 5 определяется как включающий числа от 10 ^{10 10 10 6} до 10 ^{10 10 10 10 6} , которые представляют собой числа, в которых X становится неотличимым с человеческой точки зрения от X ^{2 [14]} (повторное логарифмирование такого X дает неотличимость, в первую очередь, между log ( X ) и 2log( X ), во-вторых, между log(log( X )) и 1+log(log( X )), и, наконец, чрезвычайно длинное десятичное расширение, длину которого невозможно разделить).

Приблизительная арифметика

Существуют некоторые общие правила, относящиеся к обычным арифметическим операциям, выполняемым с очень большими числами:

• Сумма и произведение двух очень больших чисел «приблизительно» равны большему из них.
• ${\displaystyle (10^{a})^{\,\!10^{b}}=10^{a10^{b}}=10^{10^{b+\log _{10}a}}}$

Следовательно:

• Очень большое число, возведенное в очень большую степень, «приблизительно» равно большему из следующих двух значений: первого значения и 10 в степени второго. Например, для очень больших есть (см., например, вычисление мега ), а также . Итак , см. таблицу . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{n}\approx 10^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}\approx 10^{n}}$ ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 65536\approx 10\uparrow \uparrow 65533}$

Систематическое создание все более быстрорастущих последовательностей

Учитывая строго возрастающую целочисленную последовательность/функцию ( n ≥1), можно создать более быстрорастущую последовательность (где верхний индекс n обозначает n- ^ю функциональную степень ). Это можно повторить любое количество раз, позволяя каждой последовательности расти намного быстрее, чем предыдущая. Таким образом, можно определить , которое растет гораздо быстрее, чем любое при конечном k (здесь ω — первое бесконечное порядковое число , представляющее предел всех конечных чисел k). Это основа быстрорастущей иерархии функций, в которой индекс индексации расширяется до все больших порядковых номеров. ${\displaystyle f_{0}(n)}$ ${\displaystyle f_{1}(n)=f_{0}^{n}(n)}$ ${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(n)}$ ${\displaystyle f_{\omega }(n)=f_{n}(n)}$ ${\displaystyle f_{k}}$

Например, начиная с f ₀ ( n ) = n + 1:

• ж ₁ ( п ) знак равно ж ₀ ^п ( п ) знак равно п + п знак равно 2 п
• f ₂ ( n ) знак равно f ₁ ⁿ ( n ) знак равно 2 ⁿ n > (2 ↑) n для n ≥ 2 (используя обозначение Кнута со стрелкой вверх )
• ж ₃ ( п ) знак равно ^ж ₂ п ( п ) > (2 ↑) ^п п ≥ 2 ↑ ² п для п ≥ 2
• f _{k +1} ( n ) > 2 ↑ ^k n для n ≥ 2, k < ω
• ж _ω ( п ) знак равно ж _п ( п ) > 2 ↑ ^{п – 1} п > 2 ↑ ^{п - 2} ( п + 3) - 3 знак равно А ( п , п ) для п ≥ 2, где А - функция Аккермана ( из которых f _ω является унарной версией)
• f _ω+1 (64) > f _ω ⁶⁴ (6) > число Грэма (= g ₆₄ в последовательности, определяемой g ₀ = 4, g _{k +1} = 3 ↑ ^{g _k} 3)
  • Это следует из того, что f _ω ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n > 3 ↑ ^{n – 2} 3 + 2 и, следовательно, f _ω ( g _k + 2) > g _{k +1} + 2
• f _ω ( n ) > 2 ↑ ^{n – 1} n = (2 → n → n -1) = (2 → n → n -1 → 1) (используя обозначение цепочки стрелок Конвея )
• f _ω+1 ( n ) = f _ω ⁿ ( n ) > (2 → n → n -1 → 2) (потому что если g _k ( n ) = X → n → k , то X → n → k +1 = g _к ^н (1))
• ж _{ω+ k} ( n ) > (2 → n → n -1 → k +1) > ( n → n → k )
• ж _ω2 ( п ) знак равно ж _{ω+ п} ( п ) > ( п → п → п ) знак равно ( п → п → п → 1)
• ж _{ω2+ k} ( п ) > ( п → п → п → k )
• ж _ω3 ( п ) > ( п → п → п → п )
• f _{ω k} ( n ) > ( n → n → ... → n → n ) (Цепочка из k +1 n' s)
• ж _{ω ²} ( п ) знак равно ж _{ω п} ( п ) > ( п → п → ... → п → п ) (Цепочка из п +1 п' с)

В некоторых невычислимых последовательностях

Функция занятого бобра Σ является примером функции, которая растет быстрее, чем любая вычислимая функция. Его ценность даже для относительно небольших затрат огромна. Значения Σ( n ) для n = 1, 2, 3, 4 равны 1, 4, 6, 13 (последовательность A028444 в OEIS ). Σ(5) неизвестно, но определенно ≥ 4098. Σ(6) равно как минимум 10↑↑15.

Бесконечные числа

Хотя все числа, рассмотренные выше, очень велики, все же они определенно конечны . Некоторые области математики определяют бесконечные и трансфинитные числа . Например, алеф-ноль — это мощность бесконечного набора натуральных чисел , а алеф-один — следующее по величине кардинальное число. это мощность вещественных чисел . Утверждение, известное как гипотеза континуума . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$

Смотрите также

• Арифметика произвольной точности
• Список программного обеспечения для арифметических вычислений произвольной точности
• Гипотеза больших чисел Дирака
• Экспоненциальный рост
• История больших чисел
• Человеческий масштаб
• Неопределенные и вымышленные числа
• Самое большое число
• Бесконечность
• Закон больших чисел
• Мириады (10 000) в Восточной Азии
• Названия больших чисел
• Сила двух
• Сила 10
• Тетрация

Рекомендации

1. Один миллион вещей: Визуальная энциклопедия ^{[ ненадежный источник? ]}
2. «Изучение больших чисел называется гогологией» ^{[ недостоверный источник? ]}
3. Бьянкони, Ева; Пиовесан, Эллисон; Факчин, Федерика; Берауди, Алина; Касадеи, Рафаэлла; Фрабетти, Флавия; Витале, Лоренца; Пеллери, Мария Кьяра; Тассани, Симона (ноябрь – декабрь 2013 г.). «Оценка количества клеток в организме человека». Анналы биологии человека . 40 (6): 463–471. дои : 10.3109/03014460.2013.807878 . hdl : 11585/152451. ISSN  1464-5033. PMID  23829164. S2CID  16247166.
4. Ланденмарк Гонконг, Форган Д.Х., Кокелл CS (июнь 2015 г.). «Оценка общей ДНК в биосфере». ПЛОС Биология . 13 (6): e1002168. дои : 10.1371/journal.pbio.1002168 . ПМЦ 4466264 . ПМИД  26066900. 
5. Нувер Р. (18 июля 2015 г.). «Подсчитаем всю ДНК на Земле». Нью-Йорк Таймс . Нью-Йорк. ISSN  0362-4331 . Проверено 18 июля 2015 г.
6. Шеннон, Клод (март 1950 г.). «XXII. Программирование компьютера для игры в шахматы» (PDF) . Философский журнал . Ряд 7. 41 (314). Архивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2010 г. Проверено 25 января 2019 г.
7. Атомы во Вселенной. Вселенная сегодня. 30 июля 2009 г. Проверено 13 марта 2013 г.
8. Потеря информации в черных дырах и/или сознательных существах?, Дон Н. Пейдж, Методы теплового ядра и квантовая гравитация (1995), С.А. Фуллинг (редактор), стр. 461. Беседы по математике и ее приложениям, № 4, математический факультет Техасского университета A&M. arXiv : hep-th/9411193. ISBN 0-9630728-3-8 . 
9. Как получить Гуголплекс
10. Карл Саган берет дополнительные вопросы из своего основного доклада CSICOP 1994 года «Чудо и скептицизм», Skeptical Inquirer. Архивировано 21 декабря 2016 года в Wayback Machine .
11. «GIMPS обнаруживает самое большое известное простое число» . Отличный поиск простых чисел Мерсенна в Интернете . 21 декабря 2018 г.
12. По поводу сравнения с предыдущим значением: , поэтому начало 64 шагов с 1 вместо 4 более чем компенсирует замену цифр 3 на 10. ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10<3\uparrow ^{n+1}3}$
13. «Большие числа в MROB» . www.mrob.com . Проверено 13 мая 2021 г.
14. «Большие числа (стр. 2) в MROB» . www.mrob.com . Проверено 13 мая 2021 г.