набор Бореля

Класс математических множеств

В математике борелевское множество — это любое множество в топологическом пространстве , которое может быть образовано из открытых множеств (или, что эквивалентно, из замкнутых множеств ) посредством операций счетного объединения , счетного пересечения и относительного дополнения . Борелевские множества названы в честь Эмиля Бореля .

Для топологического пространства X совокупность всех борелевских множеств на X образует σ-алгебру , известную как алгебра Бореля или σ-алгебра Бореля на X — это наименьшая σ-алгебра, содержащая все открытые множества (или, что эквивалентно, все замкнутые множества).

Множества Бореля играют важную роль в теории мер , поскольку любая мера, определенная на открытых множествах пространства или на замкнутых множествах пространства, должна быть также определена на всех множествах Бореля этого пространства. Любая мера, определенная на множествах Бореля, называется мерой Бореля . Множества Бореля и связанная с ними иерархия Бореля также играют фундаментальную роль в дескриптивной теории множеств .

В некоторых контекстах борелевские множества определяются как порождаемые компактными множествами топологического пространства, а не открытыми множествами. Эти два определения эквивалентны для многих хорошо ведущих себя пространств, включая все хаусдорфовы σ-компактные пространства , но могут отличаться в более патологических пространствах.

Генерация алгебры Бореля

В случае, когда X является метрическим пространством , алгебра Бореля в первом смысле может быть описана генеративно следующим образом.

Для набора T подмножеств X (то есть для любого подмножества множества P ( X ) множества X ) пусть

• ${\displaystyle T_{\sigma }}$быть всеми счетными объединениями элементов T
• ${\displaystyle T_{\delta }}$быть всеми счетными пересечениями элементов T
• ${\displaystyle T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }.}$

Теперь определим с помощью трансфинитной индукции последовательность G ^m , где m — порядковое число , следующим образом:

• Для базового случая определения пусть будет совокупностью открытых подмножеств X. ${\displaystyle G^{0}}$
• Если i не является предельным ординалом , то i имеет непосредственно предшествующий ординал i − 1. Пусть $${\displaystyle G^{i}=[G^{i-1}]_{\delta \sigma }.}$$
• Если i — предельный ординал, установите $${\displaystyle G^{i}=\bigcup _{j<i}G^{j}.}$$

Утверждается, что алгебра Бореля — это G ^{ω ₁} , где ω ₁ — первое несчетное порядковое число . То есть, алгебра Бореля может быть получена из класса открытых множеств путем повторения операции до первого несчетного порядкового числа. $${\displaystyle G\mapsto G_{\delta \sigma }.}$$

Чтобы доказать это утверждение, любое открытое множество в метрическом пространстве является объединением возрастающей последовательности замкнутых множеств. В частности, дополнение множеств отображает G ^m в себя для любого предельного ординала m ; более того, если m — несчетный предельный ординал, G ^m замкнуто относительно счетных объединений.

Для каждого борелевского множества B существует некоторый счетный ординал α _B такой, что B может быть получен путем итерации операции по α _B. Однако, поскольку B изменяется по всем борелевским множествам, α _B будет изменяться по всем счетным ординалам, и, таким образом, первый ординал, при котором получаются все борелевские множества, — это ω ₁ , первый несчетный ординал.

Полученная последовательность множеств называется иерархией Бореля .

Пример

Важным примером, особенно в теории вероятностей , является алгебра Бореля на множестве действительных чисел . Это алгебра, на которой определена мера Бореля . Если задана действительная случайная величина, определенная на вероятностном пространстве , ее распределение вероятностей по определению также является мерой на алгебре Бореля.

Алгебра Бореля на действительных числах является наименьшей σ-алгеброй на R , содержащей все интервалы .

При построении по трансфинитной индукции можно показать, что на каждом шаге число множеств не больше мощности континуума . Таким образом, общее число борелевских множеств меньше или равно $${\displaystyle \aleph _{1}\cdot 2^{\aleph _{0}}\,=2^{\aleph _{0}}.}$$

Фактически, мощность совокупности борелевских множеств равна мощности континуума (сравните с числом существующих измеримых по Лебегу множеств, которое строго больше и равно ). ${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}}$

Стандартные пространства Бореля и теоремы Куратовского

Пусть X — топологическое пространство. Борелевское пространство, связанное с X, — это пара ( X , B ), где B — σ-алгебра борелевских множеств X.

Джордж Макки определил борелевское пространство несколько иначе, написав, что это «множество вместе с выделенным σ-полем подмножеств, называемых его борелевскими множествами». ^[1] Однако современное использование заключается в том, чтобы называть выделенную подалгебру измеримыми множествами , а такие пространства — измеримыми пространствами . Причина этого различия в том, что борелевские множества являются σ-алгеброй, порожденной открытыми множествами (топологического пространства), тогда как определение Макки относится к множеству, снабженному произвольной σ-алгеброй. Существуют измеримые пространства, которые не являются борелевскими пространствами, для любого выбора топологии на базовом пространстве. ^[2]

Измеримые пространства образуют категорию , в которой морфизмы являются измеримыми функциями между измеримыми пространствами. Функция измерима , если она тянет назад измеримые множества, т. е . для всех измеримых множеств B в Y множество измеримо в X. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(B)}$

Теорема . Пусть X — польское пространство , то есть топологическое пространство, такое, что существует метрика d на X , которая определяет топологию X и которая делает X полным сепарабельным метрическим пространством. Тогда X как борелевское пространство изоморфно одному из

1. Р ,
2. Z ^{[ требуется разъяснение ]} ,
3. конечное пространство.

(Этот результат напоминает теорему Махарама .)

Рассматриваемые как борелевские пространства, вещественная прямая R , объединение R со счетным множеством и R ⁿ изоморфны.

Стандартное борелевское пространство — это борелевское пространство, ассоциированное с польским пространством . Стандартное борелевское пространство характеризуется с точностью до изоморфизма своей мощностью, ^[3] и любое несчетное стандартное борелевское пространство имеет мощность континуума.

Для подмножеств польских пространств борелевские множества можно охарактеризовать как множества, которые являются диапазонами непрерывных инъективных отображений, определенных на польских пространствах. Однако следует отметить, что диапазон непрерывного неинъективного отображения может не быть борелевским. См. аналитическое множество .

Каждая вероятностная мера в стандартном борелевском пространстве превращает его в стандартное вероятностное пространство .

Неборелевские множества

Пример подмножества вещественных чисел, которое не является борелевским, согласно Лузину ^[4] , описан ниже. Напротив, пример неизмеримого множества не может быть представлен, хотя существование такого множества подразумевается, например, аксиомой выбора .

Каждое иррациональное число имеет уникальное представление в виде бесконечной цепной дроби.

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}$

где — некоторое целое число , а все остальные числа — положительные целые числа. Пусть — множество всех иррациональных чисел, которые соответствуют последовательностям со следующим свойством: существует бесконечная подпоследовательность , каждая часть которой является делителем следующей. Это множество не является борелевским. Однако оно аналитическое (все борелевские множества также являются аналитическими) и полное в классе аналитических множеств. Подробнее см. дескриптивную теорию множеств и книгу А. С. Кехриса (см. Ссылки), особенно упражнение (27.2) на стр. 209, определение (22.9) на стр. 169, упражнение (3.4)(ii) на стр. 14 и на стр. 196. ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots )}$ ${\displaystyle (a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots )}$ ${\displaystyle A}$

Важно отметить, что хотя аксиомы Цермело–Френкеля (ZF) достаточны для формализации конструкции , в ZF нельзя доказать, что он не является борелевским. Фактически, это согласуется с ZF, который является счетным объединением счетных множеств, ^[5], так что любое подмножество является борелевским множеством. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Другое неборелевское множество — это обратный образ бесконечной функции четности . Однако это доказательство существования (через аксиому выбора), а не явный пример. ${\displaystyle f^{-1}[0]}$ ${\displaystyle f\colon \{0,1\}^{\omega }\to \{0,1\}}$

Альтернативные неэквивалентные определения

По словам Пола Халмоша ^[6] , подмножество локально компактного хаусдорфова топологического пространства называется борелевским множеством , если оно принадлежит наименьшему σ-кольцу , содержащему все компактные множества.

Норберг и Верват ^[7] переопределяют алгебру Бореля топологического пространства как -алгебру, порожденную его открытыми подмножествами и его компактными насыщенными подмножествами . Это определение хорошо подходит для приложений в случае, когда не является хаусдорфовым. Оно совпадает с обычным определением, если является счетно-второй степени или если каждое компактное насыщенное подмножество является замкнутым (что имеет место, в частности, если является хаусдорфовым). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Иерархия Бореля
• Борелевский изоморфизм
• набор Бэра
• Цилиндрическая σ-алгебра
• Описательная теория множеств  – Подраздел математической логики
• Польское пространство  – Понятие в топологии

Примечания

1. Mackey, GW (1966), «Эргодическая теория и виртуальные группы», Math. Ann. , 166 (3): 187–207, doi :10.1007/BF01361167, ISSN  0025-5831, S2CID  119738592
2. Йохен Венгенрот, Является ли каждая сигма-алгебра алгеброй Бореля топологии?
3. Шривастава, SM (1991), Курс по борелевским множествам , Springer Verlag , ISBN 978-0-387-98412-4
4. Лусин, Николя (1927), «Sur les ансамбли Analytiques», Fundamenta Mathematicae (на французском языке), 10 : Sect. 62, страницы 76–78, doi : 10.4064/fm-10-1-1-95
5. Джех, Томас (2008). Аксиома выбора . Courier Corporation. стр. 142.
6. (Халмош 1950, стр. 219)
7. Томми Норберг и Вим Верват, Емкости в нехаусдорфовых пространствах, в: Вероятность и решетки , в: CWI Tract, т. 110, Math. Centrum Centrum Wisk. Inform., Амстердам, 1997, стр. 133-150

Ссылки

• Уильям Арвесон , Приглашение к C*-алгебрам , Springer-Verlag, 1981. (См. Главу 3 для превосходного изложения польской топологии )
• Ричард Дадли , Действительный анализ и вероятность . Уодсворт, Брукс и Коул, 1989
• Халмос, Пол Р. (1950). Теория меры . Д. ван Ностранд Ко. См. особенно раздел 51 «Борелевские множества и множества Бэра».
• Хэлси Ройден , Реальный анализ , Prentice Hall, 1988
• Александр С. Кехрис , Классическая описательная теория множеств , Springer-Verlag, 1995 (Тексты для аспирантов по математике, т. 156)

Внешние ссылки

• «Борелевское множество», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Формальное определение множеств Бореля в системе Мицара и список теорем, заархивированных 01.06.2020 на Wayback Machine , которые были формально доказаны по этому поводу.
• Вайсштейн, Эрик В. «Борелевское множество». MathWorld .

Эта коробка:

• вид
• разговаривать
• редактировать