В теории струн и связанных с ней теориях (например, теориях супергравитации ) брана — это физический объект, который обобщает понятие нульмерной точечной частицы , одномерной струны или двумерной мембраны на объекты более высокого измерения. Браны — это динамические объекты, которые могут распространяться в пространстве-времени в соответствии с правилами квантовой механики . Они имеют массу и могут иметь другие атрибуты, такие как заряд .
Математически браны можно представить в категориях , и они изучаются в чистой математике для понимания гомологической зеркальной симметрии и некоммутативной геометрии .
Слово «брана» возникло в 1987 году как сокращение от слова « мембрана ». [1]
Точечная частица — это 0-брана, имеющая размерность ноль; струна, названная в честь вибрирующих музыкальных струн , является 1-браной; мембрана, названная в честь вибрирующих мембран, таких как барабанные пластики , является 2-браной. [2] Соответствующий объект произвольной размерности p называется p -браной, термин был введен М. Дж. Даффом и др. в 1988 году. [3]
P - брана выметает ( p +1)-мерный объем в пространстве-времени, называемый ее мировым объемом . Физики часто изучают поля, аналогичные электромагнитному полю , которые живут в мировом объеме браны. [4]
В теории струн струна может быть открытой (образующей сегмент с двумя концами) или закрытой (образующей замкнутую петлю). D-браны — важный класс бран, возникающих при рассмотрении открытых струн. Поскольку открытая струна распространяется через пространство-время, ее концы должны лежать на D-бране. Буква «D» в D-бране относится к граничному условию Дирихле , которому удовлетворяет D-брана. [5]
Одним из важнейших моментов в отношении D-бран является то, что динамика на мировом объеме D-браны описывается калибровочной теорией , своего рода высокосимметричной физической теорией, которая также используется для описания поведения элементарных частиц в стандартной модели физики частиц . Эта связь привела к важным открытиям в калибровочной теории и квантовой теории поля . Например, она привела к открытию соответствия AdS/CFT , теоретического инструмента, который физики используют для перевода сложных проблем калибровочной теории в более математически разрешимые проблемы теории струн. [6]
Математически браны можно описать с помощью понятия категории . [7] Это математическая структура, состоящая из объектов , и для любой пары объектов — набора морфизмов между ними. В большинстве примеров объекты — это математические структуры (такие как множества , векторные пространства или топологические пространства ), а морфизмы — это функции между этими структурами. [8] Можно также рассмотреть категории, где объекты — это D-браны, а морфизмы между двумя бранами и — это состояния открытых струн, натянутых между и . [9]
В одной из версий теории струн, известной как топологическая B-модель , D-браны являются сложными подмногообразиями определенных шестимерных форм, называемых многообразиями Калаби–Яу , вместе с дополнительными данными, которые физически возникают из-за наличия зарядов на концах струн. [10] Интуитивно можно думать о подмногообразии как о поверхности, вложенной внутрь многообразия Калаби–Яу, хотя подмногообразия могут существовать и в измерениях, отличных от двух. [11] На математическом языке категория, имеющая эти браны в качестве своих объектов, известна как производная категория когерентных пучков на Калаби–Яу. [12] В другой версии теории струн, называемой топологической A-моделью , D-браны снова можно рассматривать как подмногообразия многообразия Калаби–Яу. Грубо говоря, они являются тем, что математики называют специальными лагранжевыми подмногообразиями . [13] Это означает, помимо прочего, что они имеют половину размерности пространства, в котором они находятся, и они минимизируют длину, площадь или объем. [14] Категория, имеющая эти браны в качестве своих объектов, называется категорией Фукая . [15]
Производная категория когерентных пучков строится с использованием инструментов из комплексной геометрии , раздела математики, который описывает геометрические фигуры в алгебраических терминах и решает геометрические задачи с использованием алгебраических уравнений . [16] С другой стороны, категория Фукая строится с использованием симплектической геометрии , раздела математики, возникшего из исследований классической физики . Симплектическая геометрия изучает пространства, снабженные симплектической формой , математическим инструментом, который можно использовать для вычисления площади в двумерных примерах. [17]
Гипотеза гомологической зеркальной симметрии Максима Концевича утверждает , что производная категория когерентных пучков на одном многообразии Калаби–Яу эквивалентна в определенном смысле категории Фукая совершенно другого многообразия Калаби–Яу. [18] Эта эквивалентность обеспечивает неожиданный мост между двумя ветвями геометрии, а именно комплексной и симплектической геометрией. [19]
