Когерентный пучок

Обобщение векторных расслоений

В математике, особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , когерентные пучки — это класс пучков , тесно связанных с геометрическими свойствами основного пространства. Определение когерентных пучков производится со ссылкой на пучок колец , который кодифицирует эту геометрическую информацию.

Когерентные пучки можно рассматривать как обобщение векторных расслоений . В отличие от векторных расслоений, они образуют абелеву категорию и поэтому замкнуты при таких операциях, как взятие ядер , изображений и коядер . Квазикогерентные пучки являются обобщением когерентных пучков и включают локально свободные пучки бесконечного ранга.

Когомологии когерентных пучков — мощный метод, в частности, для изучения сечений данного когерентного пучка.

Определения

Квазикогерентный пучок в окольцованном пространстве — это пучок модулей , имеющий локальное представление, т. е. каждая точка в имеет открытую окрестность , в которой существует точная последовательность ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$

для некоторых (возможно, бесконечных) множеств и . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

Когерентный пучок в кольцевом пространстве — это пучок , удовлетворяющий следующим двум свойствам: ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$имеет конечный тип над , то есть каждая точка в имеет открытую окрестность в такую, что существует сюръективный морфизм для некоторого натурального числа ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle n}$
2. для любого открытого множества , любого натурального числа и любого морфизма -модулей ядро ​​имеет конечный тип. ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Морфизмы между (квази)когерентными пучками такие же, как морфизмы пучков -модулей. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Дело о схемах

В случае схемы общие определения, приведенные выше, эквивалентны более явным. Пучок -модулей квазикогерентен тогда и только тогда, когда над каждой открытой аффинной подсхемой ограничение изоморфно пучку, ассоциированному с модулем над . Когда — локально нётерова схема, она когерентна тогда и только тогда, когда она квазикогерентна и указанные выше модули можно считать конечно порожденными . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle M=\Gamma (U,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$

На аффинной схеме имеет место эквивалентность категорий от -модулей к квазикогерентным пучкам, переводящим модуль в соответствующий пучок . Обратная эквивалентность переводит квазикогерентный пучок на -модуль глобальных сечений . ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Вот несколько дальнейших характеристик квазикогерентных пучков на схеме. ^[1]

Теорема . Пусть  –  схема и -модуль на ней. Тогда следующие утверждения эквивалентны. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$является квазикогерентным.
• Для каждой открытой аффинной подсхемы изоморфна как -модуль пучку, ассоциированному с некоторым -модулем . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle M}$
• Существует открытое аффинное накрытие такое , что для каждого из накрытий изоморфен пучку, ассоциированному с некоторым -модулем. ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U_{\alpha }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U_{\alpha })}$
• Для каждой пары открытых аффинных подсхем Естественный гомоморфизм ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle X}$

  ${\displaystyle {\mathcal {O}}(V)\otimes _{{\mathcal {O}}(U)}{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),\,f\otimes s\mapsto f\cdot s|_{V}}$

является изоморфизмом.

• Для каждой открытой аффинной подсхемы и каждого , записывая для открытой подсхемы где не ноль, естественный гомоморфизм ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\in A}$ ${\displaystyle U_{f}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$

  ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U){\bigg [}{\frac {1}{f}}{\bigg ]}\to {\mathcal {F}}(U_{f})}$

является изоморфизмом. Гомоморфизм вытекает из универсального свойства локализации .

Характеристики

В произвольном окольцованном пространстве квазикогерентные пучки не обязательно образуют абелеву категорию. С другой стороны, квазикогерентные пучки на любой схеме образуют абелеву категорию, и они чрезвычайно полезны в этом контексте. ^[2]

В любом окольцованном пространстве когерентные пучки образуют абелеву категорию — полную подкатегорию категории -модулей. ^[3] (Аналогично, категория когерентных модулей над любым кольцом является полной абелевой подкатегорией категории всех -модулей.) Таким образом, ядро, образ и коядро любого отображения когерентных пучков когерентны. Прямая сумма двух когерентных пучков когерентна; в более общем смысле когерентным является -модуль, являющийся расширением двух когерентных пучков. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Подмодуль когерентного пучка называется когерентным, если он имеет конечный тип. Когерентный пучок всегда является -модулем конечного представления , что означает, что каждая точка в имеет открытую окрестность такую, что ограничение на to изоморфно коядру морфизма для некоторых натуральных чисел и . Если когерентно, то, наоборот, каждый пучок конечного представления когерентен. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Пучок колец называется когерентным, если он когерентен, рассматриваемый как пучок модулей над собой. В частности, теорема Оки о когерентности утверждает, что пучок голоморфных функций в комплексном аналитическом пространстве является когерентным пучком колец. Основную часть доказательства составляет случай . Аналогично, в локально нетеровой схеме структурный пучок представляет собой когерентный пучок колец. ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbf {C} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Основные конструкции связных пучков

• -модуль в окольцованном пространстве называется локально свободным конечного ранга или векторным расслоением , если каждая точка в имеет открытую окрестность такую , что ограничение изоморфно конечной прямой сумме копий модуля . Если вблизи каждой точки из свободно одного и того же ранга , то говорят, что векторное расслоение имеет ранг . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n}$

Векторные расслоения в этом теоретико-пучковом смысле над схемой эквивалентны векторным расслоениям, определенным более геометрическим способом, как схема с морфизмом и покрытием открытыми множествами с заданными изоморфизмами над такими, что два изоморфизма над пересечением различаются. линейным автоморфизмом. ^[6] ( Аналогичная эквивалентность справедлива и для комплексных аналитических пространств.) Например, для векторного расслоения в этом геометрическом смысле соответствующий пучок определяется следующим образом: над открытым множеством -модуль является множеством сечений морфизм . Преимущество теоретико-пучковой интерпретации векторных расслоений заключается в том, что векторные расслоения (по локально нетеровой схеме) включаются в абелеву категорию когерентных пучков. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha })\cong \mathbb {A} ^{n}\times U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)\to U}$

• Локально свободные пучки оснащены стандартными операциями -модуля, но они возвращают локально свободные пучки. ^{[ нечеткий ]} ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

• Пусть , нётерово кольцо. Тогда векторные расслоения на являются в точности пучками, связанными с конечно порожденными проективными модулями над или (что эквивалентно) с конечно порожденными плоскими модулями над . ^[7] ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

• Пусть , нётерово -градуированное кольцо, — проективная схема над нётеровым кольцом . Тогда каждый -градуированный -модуль определяет квазикогерентный пучок на таком, что является пучком, ассоциированным с -модулем где - однородный элемент положительной степени и - место где не обращается в нуль. ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\{f\neq 0\}}}$ ${\displaystyle R[f^{-1}]_{0}}$ ${\displaystyle M[f^{-1}]_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} R[f^{-1}]_{0}}$ ${\displaystyle f}$

• Например, для каждого целого числа пусть обозначается градуированный -модуль, заданный как . Тогда каждый определяет квазикогерентный пучок на . Если генерируется как -алгебра с помощью , то является линейным расслоением (обратимым пучком) на и является -й тензорной степенью . В частности, называется тавтологическим расслоением на проективном -пространстве. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(n)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R(n)_{l}=R_{n+l}}$ ${\displaystyle R(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)}$ ${\displaystyle n}$

• Простой пример когерентного пучка, который не является векторным расслоением, дается коядром в следующей последовательности ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(1){\xrightarrow {\cdot (x^{2}-yz,y^{3}+xy^{2}-xyz)}}{\mathcal {O}}(3)\oplus {\mathcal {O}}(4)\to {\mathcal {E}}\to 0}$

это связано с тем, что ограничение на исчезающее множество двух полиномов имеет двумерные слои и одномерные слои в других местах. ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

• Идеальные пучки : Если — замкнутая подсхема локально нетеровой схемы , то пучок всех регулярных функций, исчезающих на ней, когерентен. Аналогично, если — замкнутое аналитическое подпространство комплексного аналитического пространства , то идеальный пучок когерентен. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$

• Структурный пучок замкнутой подсхемы локально нетеровой схемы можно рассматривать как когерентный пучок на . Если быть точнее, то это прямой пучок изображений , где находится включение. Аналогично и для замкнутого аналитического подпространства комплексного аналитического пространства. Пучок имеет слой (определенный ниже) нулевой размерности в точках открытого множества и слой размерности 1 в точках из . Существует короткая точная последовательность когерентных пучков на : ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$ ${\displaystyle i:Z\to X}$ ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$ ${\displaystyle X-Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Z/X}\to {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}\to 0.}$

• Большинство операций линейной алгебры сохраняют когерентные пучки. В частности, для когерентных пучков и на окольцованном пространстве пучок тензорных произведений и пучок гомоморфизмов когерентны. ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$

• Простой непример квазикогерентного пучка дается расширением нулевым функтором. Например, рассмотрим для ${\displaystyle i_{!}{\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,x^{-1}]){\xrightarrow {i}}\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])=Y}$^[9]

Поскольку этот пучок имеет нетривиальные стебли, но нулевое глобальное сечение, он не может быть квазикогерентным пучком. Это связано с тем, что квазикогерентные пучки в аффинной схеме эквивалентны категории модулей над основным кольцом, а присоединение происходит за счет взятия глобальных сечений.

Функциональность

Пусть – морфизм окольцованных пространств (например, морфизм схем ). Если – квазикогерентный пучок на , то прообраз -модуль (или образ ) квазикогерентен на . ^[10] Для морфизма схем и когерентного пучка на , образ не когерентен в полной общности (например, , который может быть некогерентным), но образы когерентных пучков когерентны, если локально нетеров. Важным частным случаем является возврат векторного расслоения, которое является векторным расслоением. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$

Если – квазикомпактный квазиразделённый морфизм схем и является квазикогерентным пучком на , то пучок прямого образа (или pushforward ) квазикогерентен на . ^[2] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$

Прямой образ связного связки часто не связен. Например, для поля пусть будет аффинной прямой над и рассмотрим морфизм ; тогда прямой образ — это пучок, связанный с кольцом многочленов , который не является когерентным, поскольку имеет бесконечную размерность как -векторное пространство. С другой стороны, прямой образ когерентного пучка при правильном морфизме когерентен по результатам Грауэрта и Гротендика . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle k[x]}$ ${\displaystyle k[x]}$ ${\displaystyle k}$

Локальное поведение когерентных пучков

Важная особенность когерентных пучков состоит в том, что свойства в точке контролируют поведение в окрестности в большей степени, чем это было бы верно для произвольного пучка. Например, лемма Накаямы говорит (на геометрическом языке), что если — когерентный пучок на схеме , то слой в точке (векторном пространстве над полем вычетов ) равен нулю тогда и только тогда, когда пучок равен нулю на некотором открытом окрестности . Связанный с этим факт состоит в том, что размерность волокон когерентного пучка полунепрерывна сверху . ^[11] Таким образом, когерентный пучок имеет постоянный ранг на открытом множестве, в то время как ранг может резко возрастать на замкнутом подмножестве меньшей размерности. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,x}}k(x)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$

В том же духе: когерентный пучок на схеме является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его стебель является свободным модулем над локальным кольцом для каждой точки из . ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

В общей схеме невозможно определить, является ли когерентный пучок векторным расслоением только по его слоям (а не по стеблям). Однако в приведенной локально нетеровой схеме когерентный пучок является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его ранг локально постоянен. ^[13]

Примеры векторных расслоений

Для морфизма схем пусть – диагональный морфизм , который является замкнутым погружением , если отделим над . Пусть – идеальный пучок в . Тогда пучок дифференциалов можно определить как возврат к . Сечения этого пучка называются 1-формами на над и локально могут быть записаны как конечные суммы для регулярных функций и . Если локально конечного типа над полем , то является когерентным пучком на . ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle \Delta :X\to X\times _{Y}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times _{Y}X}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{1}}$ ${\displaystyle \Delta ^{*}{\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \sum f_{j}\,dg_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle g_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$ ${\displaystyle X}$

Если является гладким над , то (значение ) является векторным расслоением над , называемым кокасательным расслоением . Тогда касательное расслоение определяется как двойственное расслоение . Для сглаживания размерности всюду касательное расслоение имеет ранг . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle (\Omega ^{1})^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Если – гладкая замкнутая подсхема гладкой схемы над , то существует короткая точная последовательность векторных расслоений на : ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle 0\to TY\to TX|_{Y}\to N_{Y/X}\to 0,}$

который можно использовать как определение нормального пакета для in . ${\displaystyle N_{Y/X}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Для гладкой схемы над полем и натуральным числом векторное расслоение i -форм на определяется как -я внешняя степень кокасательного расслоения . Для гладкого многообразия размерности над каноническим расслоением называется линейное расслоение . Таким образом, сечения канонического расслоения являются алгебро-геометрическими аналогами форм объема на . Например, сечение канонического расслоения аффинного пространства можно записать как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Omega ^{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Omega ^{i}=\Lambda ^{i}\Omega ^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle \Omega ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n},}$

где – многочлен с коэффициентами из . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$

Пусть – коммутативное кольцо и натуральное число. Для каждого целого числа существует важный пример линейного расслоения на проективном пространстве над . Чтобы определить это, рассмотрим морфизм -схем ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \pi :\mathbb {A} ^{n+1}-0\to \mathbb {P} ^{n}}$

задано в координатах . (То есть, думая о проективном пространстве как о пространстве одномерных линейных подпространств аффинного пространства, отправьте ненулевую точку в аффинном пространстве на линию, которую оно охватывает.) Тогда сечение над открытым подмножеством определяется как регулярная функция , однородная по степени , что означает, что ${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle f(ax)=a^{j}f(x)}$

как регулярные функции на ( . Для всех целых чисел и существует изоморфизм линейных расслоений на . ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-0)\times \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(i)\otimes {\mathcal {O}}(j)\cong {\mathcal {O}}(i+j)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

В частности, каждый однородный полином степени over можно рассматривать как глобальное сечение over . Обратите внимание, что каждую замкнутую подсхему проективного пространства можно определить как нулевое множество некоторого набора однородных многочленов, следовательно, как нулевое множество некоторых сечений линейных расслоений . ^[14] Это контрастирует с более простым случаем аффинного пространства, где замкнутая подсхема — это просто нулевое множество некоторого набора регулярных функций. Регулярные функции в проективном пространстве — это всего лишь «константы» (кольцо ), поэтому важно работать с линейными расслоениями . ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$

Серр дал алгебраическое описание всех когерентных пучков в проективном пространстве, более тонкое, чем то, что происходит в аффинном пространстве. А именно, пусть — нетерово кольцо (например, поле), и рассмотрим кольцо многочленов как градуированное кольцо , каждое из которых имеет степень 1. Тогда каждому конечно порожденному градуированному -модулю соответствует ассоциированный когерентный пучок на над . Таким образом, каждый когерентный пучок на возникает из конечно порожденного градуированного -модуля . (Например, линейное расслоение — это пучок, связанный с -модулем с его градуировкой, пониженной на .) Но -модуль , который дает заданный когерентный пучок на, не является единственным; он уникален лишь с точностью до замены градуированными модулями, отличными от нуля лишь в конечном числе степеней. Точнее, абелева категория когерентных пучков на является фактором категории конечно порожденных градуированных -модулей по подкатегории Серра модулей, отличных от нуля только в конечном числе степеней. ^[15] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S=R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S}$

Касательное расслоение проективного пространства над полем можно описать в терминах линейного расслоения . А именно, существует короткая точная последовательность, последовательность Эйлера : ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus \;n+1}\to T\mathbb {P} ^{n}\to 0.}$

Отсюда следует, что каноническое расслоение (двойственное расслоению детерминанта касательного расслоения) изоморфно . Это фундаментальный расчет алгебраической геометрии. Например, тот факт, что каноническое расслоение является отрицательным кратным обильного линейного расслоения, означает, что проективное пространство является многообразием Фано . Для комплексных чисел это означает, что проективное пространство имеет метрику Кэлера с положительной кривизной Риччи . ${\displaystyle K_{\mathbb {P} ^{n}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Векторные расслоения на гиперповерхности

Рассмотрим гладкую гиперповерхность степени , определяемую однородным полиномом степени . Тогда существует точная последовательность ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-d)\to i^{*}\Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\to \Omega _{X}\to 0}$

где вторая карта — это возврат дифференциальных форм, а первая карта отправляет

${\displaystyle \phi \mapsto d(f\cdot \phi )}$

Обратите внимание, что эта последовательность говорит нам, что это конормальный пучок в . Дуализация этого дает точную последовательность ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle 0\to T_{X}\to i^{*}T_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(d)\to 0}$

следовательно, это нормальный расслоение in . Если мы воспользуемся тем фактом, что для данной точной последовательности ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{2}\to {\mathcal {E}}_{3}\to 0}$

векторных расслоений рангов , , , существует изоморфизм ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$

${\displaystyle \Lambda ^{r_{2}}{\mathcal {E}}_{2}\cong \Lambda ^{r_{1}}{\mathcal {E}}_{1}\otimes \Lambda ^{r_{3}}{\mathcal {E}}_{3}}$

линейных расслоений, то мы видим, что существует изоморфизм

${\displaystyle i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\cong \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-d)}$

показывая это

${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}(d-n-1)}$

Конструкция Серра и векторные расслоения

Одним из полезных методов построения векторных расслоений ранга 2 является конструкция Серра ^{[16] [17] pg 3} , которая устанавливает соответствие между векторными расслоениями ранга 2 на гладком проективном многообразии и подмногообразиями коразмерности 2 с использованием некоторой -группы, вычисленной на . Это задается когомологическим условием на линейном расслоении (см. ниже). ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wedge ^{2}{\mathcal {E}}}$

Соответствие в одном направлении задается следующим образом: сечению можно сопоставить исчезающее множество . Если – подмногообразие коразмерности 2, то ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle V(s)\subseteq X}$ ${\displaystyle V(s)}$

1. Это локальное полное пересечение, то есть если мы возьмем аффинную диаграмму, ее можно представить в виде функции , где и ${\displaystyle U_{i}\subseteq X}$ ${\displaystyle s|_{U_{i}}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle s_{i}:U_{i}\to \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle s_{i}(p)=(s_{i}^{1}(p),s_{i}^{2}(p))}$ ${\displaystyle V(s)\cap U_{i}=V(s_{i}^{1},s_{i}^{2})}$
2. Линейное расслоение изоморфно каноническому расслоению на ${\displaystyle \omega _{X}\otimes \wedge ^{2}{\mathcal {E}}|_{V(s)}}$ ${\displaystyle \omega _{V(s)}}$ ${\displaystyle V(s)}$

В другом направлении, ^[18] для подмногообразия коразмерности 2 и линейного расслоения таких, что ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\to X}$

1. ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})=H^{2}(X,{\mathcal {L}})=0}$
2. ${\displaystyle \omega _{Y}\cong (\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y}}$

существует канонический изоморфизм

${\displaystyle {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}},{\mathcal {O}}_{X})}$,

который является функториальным относительно включения подмногообразий коразмерности. Более того, любой изоморфизм, заданный слева, соответствует локально свободному пучку в середине расширения справа. То есть, поскольку это изоморфизм, существует соответствующий локально свободный пучок ранга 2, который вписывается в короткую точную последовательность ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle s\in {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}}\to 0}$

Затем это векторное расслоение можно дополнительно изучить с использованием когомологических инвариантов, чтобы определить, стабильно оно или нет. Это составляет основу для изучения модулей стабильных векторных расслоений во многих конкретных случаях, например, на принципиально поляризованных абелевых многообразиях ^[17] и поверхностях K3 . ^[19]

Классы Чженя и алгебраическая K -теория

Векторное расслоение на гладком многообразии над полем имеет классы Чженя в кольце Чжоу для . ^[20] Они удовлетворяют тем же формальным свойствам, что и классы Чженя в топологии. Например, для любой короткой точной последовательности ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{i}(E)}$ ${\displaystyle CH^{i}(X)}$ ${\displaystyle i\geq 0}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

векторных расслоений на классы Чженя задаются формулами ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle c_{i}(B)=c_{i}(A)+c_{1}(A)c_{i-1}(C)+\cdots +c_{i-1}(A)c_{1}(C)+c_{i}(C).}$

Отсюда следует, что классы Чженя векторного расслоения зависят только от класса в группе Гротендика . По определению для схемы является фактором свободной абелевой группы на множестве классов изоморфизма векторных расслоений по соотношению, что для любой короткой точной последовательности, как указано выше. Хотя в целом алгебраическую K-теорию трудно вычислить, она предоставляет множество инструментов для ее изучения, включая последовательность связанных групп целых чисел . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [B]=[A]+[C]}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle K_{i}(X)}$ ${\displaystyle i>0}$

Вариантом является группа (или ), группа Гротендика когерентных пучков на . (В топологических терминах G -теория обладает формальными свойствами теории гомологий Бореля–Мура для схем, а K -теория является соответствующей теорией когомологий .) Естественный гомоморфизм является изоморфизмом, если является регулярной разделенной нётеровой схемой, используя это когерентный пучок в этом случае имеет конечное разрешение векторными расслоениями. ^[21] Например, это дает определение классов Чженя когерентного пучка на гладком многообразии над полем. ${\displaystyle G_{0}(X)}$ ${\displaystyle K_{0}'(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{0}(X)\to G_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$

В более общем смысле говорят , что нётерова схема обладает свойством разрешения , если каждый когерентный пучок на имеет сюръекцию из некоторого векторного расслоения на . Например, каждая квазипроективная схема над нетеровым кольцом обладает свойством резольвенты. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Применение свойства разрешения

Поскольку свойство разрешения утверждает, что когерентный пучок нётеровой схемы квазиизоморфен в производной категории комплексу векторных расслоений: мы можем вычислить полный класс Чженя с помощью ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{k}\to \cdots \to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}_{0})c({\mathcal {E}}_{1})^{-1}\cdots c({\mathcal {E}}_{k})^{(-1)^{k}}}$

Например, эта формула полезна для нахождения классов Чженя пучка, представляющего подсхему . Если взять проективную схему, связанную с идеалом , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (xy,xz)\subseteq \mathbb {C} [x,y,z,w]}$

${\displaystyle c({\mathcal {O}}_{Z})={\frac {c({\mathcal {O}})c({\mathcal {O}}(-3))}{c({\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2))}}}$

так как есть разрешение

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-3)\to {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0}$

над . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$

Гомоморфизм расслоения против гомоморфизма пучка

Когда векторные расслоения и локально свободные пучки конечного постоянного ранга используются взаимозаменяемо, необходимо проявлять осторожность, чтобы различать гомоморфизмы расслоений и гомоморфизмы пучков. В частности, для заданных векторных расслоений по определению гомоморфизм расслоения — это схемный морфизм над (т. е. ), такой, что для каждой геометрической точки в является линейным отображением ранга, независимого от . Тем самым он индуцирует пучковый гомоморфизм постоянного ранга между соответствующими локально свободными -модулями (пучками двойственных сечений). Но может существовать гомоморфизм -модулей, который не возникает таким образом; а именно те, которые не имеют постоянного ранга. ${\displaystyle p:E\to X,\,q:F\to X}$ ${\displaystyle \varphi :E\to F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p=q\circ \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{x}:p^{-1}(x)\to q^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\widetilde {\varphi }}:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

В частности, подпучок является подпучком (т. е. является подпучком ). Но обратное может потерпеть неудачу; например, для эффективного делителя Картье на , является подпучком, но обычно не подпучком (поскольку любой линейный расслоение имеет только два подпучка). ${\displaystyle E\subseteq F}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-D)\subseteq {\mathcal {O}}_{X}}$

Категория квазикогерентных пучков

Квазикогерентные пучки на любой фиксированной схеме образуют абелеву категорию. Габбер показал, что на самом деле квазикогерентные пучки на любой схеме образуют абелеву категорию с особенно хорошим поведением — категорию Гротендика . ^[22] Квазикомпактная квазиразделенная схема (такая как алгебраическое многообразие над полем) определяется с точностью до изоморфизма абелевой категорией квазикогерентных пучков на Розенбергом, обобщающим результат Габриэля . ^[23] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Когерентные когомологии

Фундаментальным техническим инструментом алгебраической геометрии является теория когомологий когерентных пучков. Хотя он был введен только в 1950-х годах, многие более ранние методы алгебраической геометрии поясняются языком пучковых когомологий , применяемым к когерентным пучкам. В общих чертах, когомологии когерентных пучков можно рассматривать как инструмент для создания функций с заданными свойствами; сечения линейных расслоений или более общих пучков можно рассматривать как обобщенные функции. В сложной аналитической геометрии когерентные когомологии пучков также играют основополагающую роль.

Среди основных результатов когомологий когерентных пучков - результаты о конечномерности когомологий, результаты об исчезновении когомологий в различных случаях, теоремы двойственности, такие как двойственность Серра , отношения между топологией и алгебраической геометрией, такие как теория Ходжа , и формулы для эйлеровых характеристик. когерентных пучков, таких как теорема Римана-Роха .

Смотрите также

• Группа Пикарда
• Дивизор (алгебраическая геометрия)
• Рефлекторная связка
• Схема котировок
• Витой сноп
• Существенно конечное векторное расслоение
• Комплект основных частей
• Теорема реконструкции Габриэля – Розенберга
• Псевдокогерентный пучок
• Квазикогерентный пучок на алгебраическом стеке

Примечания

1. Мамфорд 1999, гл. III, § 1, Теорема-определение 3.
2. Проект ab Stacks, тег 01LA.
3. Проект Stacks, тег 01BU.
4. Серр 1955, §13
5. Гротендик и Дьедонне 1960, следствие 1.5.2
6. Хартсхорн 1977, Упражнение II.5.18.
7. Проект Stacks, тег 00NV.
8. Серр 1955, §14
9. Хартшорн 1977
10. Проект Stacks, тег 01BG.
11. Хартсхорн 1977, пример III.12.7.2
12. Гротендик и Дьедонне 1960, гл. 0, 5.2.7
13. Эйзенбуд 1995, Упражнение 20.13.
14. Хартсхорн 1977, следствие II.5.16
15. Проект Stacks, тег 01YR.
16. Серр, Жан-Пьер (1960–1961). «Сюр-ле-модули проектов». Семинар Дюбрей. Algèbre et theorie des nombres (на французском языке). 14 (1): 1–16.
17. Гулбрандсен, Мартин Г. (20 мая 2013 г.). «Векторные расслоения и монады на абелевых тройниках» (PDF) . Связь в алгебре . 41 (5): 1964–1988. arXiv : 0907.3597 . дои : 10.1080/00927872.2011.645977. ISSN  0092-7872.
18. Хартсхорн, Робин (1978). «Стабильные векторные расслоения ранга 2 на P3». Математические Аннален . 238 : 229–280.
19. Хайбрехтс, Дэниел; Лен, Манфред (2010). Геометрия пространств модулей пучков. Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 123–128, 238–243. дои : 10.1017/cbo9780511711985. ISBN 978-0-521-13420-0.
20. Фултон 1998, §3.2 и пример 8.3.3.
21. Фултон 1998, B.8.3
22. Проект Stacks, тег 077K.
23. Антио, 2016, следствие 4.2.

Рекомендации

• Антио, Бенджамин (2016), «Теорема о реконструкции абелевых категорий скрученных пучков», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 712 : 175–188, arXiv : 1305.2541 , doi : 10.1515/crell-2013-0119, MR  3466552
• Данилов, В.И. (2001) [1994], «Связный алгебраический пучок», Энциклопедия математики , EMS Press
• Грауэрт, Ганс ; Реммерт, Рейнхольд (1984), Когерентные аналитические пучки , Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-69582-7, ISBN 3-540-13178-7, МР  0755331
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с взглядом на алгебраическую геометрию , Тексты для аспирантов по математике , том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN. 978-0-387-94268-1, МР  1322960
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечения , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-1700-8 , ISBN 978-0-387-98549-7, МР  1644323
• Разделы 0.5.3 и 0.5.4 Гротендика, Александра ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . дои : 10.1007/bf02684778. МР  0217083.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает Мичиганские лекции (1974 г.) о кривых и их якобианах (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/b62130. ISBN 354063293X. МР  1748380.
• Онищик А.Л. (2001) [1994], «Связный аналитический пучок», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Онищик А.Л. (2001) [1994], «Связный пучок», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Faisceaux algébriques cohérents», Annals of Mathematics , 61 : 197–278, doi : 10.2307/1969915, MR  0068874

Внешние ссылки

• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project
• Часть V Вакиля, Рави , Восходящее море