Частное абелевой категории

В математике частное (также называемое частным Серра или частным Габриэля ) абелевой категории по подкатегории Серра — это абелева категория , которая интуитивно получается из путем игнорирования (т.е. рассмотрения как нуля ) всех объектов из . Существует канонический точный функтор , ядром которого является , и в определенном смысле является наиболее общей абелевой категорией с этим свойством. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$

Формирование факторов Серра абелевых категорий, таким образом, формально сродни формированию факторов групп . Факторы Серра в некоторой степени похожи на факторы категорий , разница в том, что в факторах Серра все вовлеченные категории абелевы, а все функторы точны. Факторы Серра также часто имеют характер локализаций категорий , особенно если подкатегория Серра является локализующей .

Определение

Формально, это категория , объектами которой являются объекты и морфизмы которой из X в Y задаются прямым пределом ( абелевых групп ) ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

$${\displaystyle \mathrm {Hom} _{{\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}(X,Y):=\varinjlim \mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(X',Y/Y')}$$

где предел берется по подобъектам и таким, что и . (Здесь и обозначают частные объекты, вычисленные в .) Эти пары подобъектов упорядочены по . ${\displaystyle X'\subseteq X}$ ${\displaystyle Y'\subseteq Y}$ ${\displaystyle X/X'\in {\cal {B}}}$ ${\displaystyle Y'\in {\cal {B}}}$ ${\displaystyle X/X'}$ ${\displaystyle Y/Y'}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle (X',Y')\preccurlyeq (X'',Y'')\Longleftrightarrow X''\subseteq X'{\text{ and }}Y'\subseteq Y''}$

Композиция морфизмов в индуцируется универсальным свойством прямого предела. ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$

Канонический функтор переводит объект X в себя и морфизм в соответствующий элемент прямого предела с X′ = X и Y′ = 0. ${\displaystyle Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Альтернативная, эквивалентная конструкция категории фактора использует то, что называется « исчислением дробей », чтобы определить морфизмы . Здесь мы начинаем с класса тех морфизмов, в которых ядро ​​и коядро оба принадлежат . Это мультипликативная система в смысле Габриэля-Зисмана, и можно локализовать категорию в системе , чтобы получить . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}:={\mathcal {A}}[S^{-1}]}$

Примеры

Пусть будет полем и рассмотрим абелеву категорию всех векторных пространств над . Тогда полная подкатегория конечномерных векторных пространств является подкатегорией Серра . Фактор Серра имеет в качестве объектов -векторные пространства, а множество морфизмов из в в есть (что является фактором векторных пространств ) . Это имеет эффект идентификации всех конечномерных векторных пространств с 0 и идентификации двух линейных отображений всякий раз, когда их разность имеет конечномерный образ . Этот пример показывает, что фактор Серра может вести себя как категория факторов . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\rm {Mod}}(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\rm {mod}}(k)}$ ${\displaystyle {\rm {Mod}}(k)}$ ${\displaystyle {\cal {{C}={\rm {Mod}}(k)/{\rm {mod}}(k)}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\cal {C}}}$ $${\displaystyle \{k{\text{-linear maps from }}X{\text{ to }}Y\}/\{k{\text{-linear maps from }}X{\text{ to }}Y{\text{ with finite-dimensional image}}\}}$$

В качестве другого примера возьмем абелеву категорию Ab всех абелевых групп и подкатегорию Серра всех торсионных абелевых групп . Фактор Серра здесь эквивалентен категории всех векторных пространств над рациональными числами с каноническим функтором, заданным тензором с . Аналогично фактор Серра категории конечно порожденных абелевых групп по подкатегории конечно порожденных торсионных групп эквивалентен категории конечномерных векторных пространств над . ^[2] Здесь фактор Серра ведет себя как локализация . ${\displaystyle \operatorname {Mod} ({\mathbb {Q}})}$ ${\displaystyle \mathbf {Ab} \to \operatorname {Mod} ({\mathbb {Q}})}$ ${\displaystyle {\mathbb {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathbb {Q}}}$

Характеристики

Фактор Серра является абелевой категорией, а канонический функтор точен и сюръективен на объектах. Ядро равно , т.е. равно нулю в тогда и только тогда, когда принадлежит . ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Q(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Фактор Серра и канонический функтор характеризуются следующим универсальным свойством : если — любая абелева категория и — точный функтор такой, что равен нулю в для каждого объекта , то существует единственный точный функтор такой, что . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {F}}\colon {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F={\overline {F}}\circ Q}$

Учитывая три абелевы категории , , , мы имеем ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}\cong {\mathcal {C}}}$

если и только если

существует точный и по существу сюръективный функтор , ядром которого является и такой, что для любого морфизма из существуют морфизмы и в , так что является изоморфизмом и . ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f:FX\to FY}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \phi :W\to X}$ ${\displaystyle \psi :W\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle F\phi }$ ${\displaystyle f=(F\psi )\circ (F\phi )^{-1}}$

Теоремы, включающие коэффициенты Серра

Описание Серром когерентных пучков на проективной схеме

Согласно теореме Жана-Пьера Серра , категория когерентных пучков на проективной схеме (где — коммутативное нётерово градуированное кольцо , градуированное неотрицательными целыми числами и порожденное элементами степени 0 и конечным числом элементов степени 1, и относится к конструкции Proj ) может быть описана как фактор Серра ${\displaystyle \operatorname {coh} (X)}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} (R)}$

$${\displaystyle \operatorname {coh} (X)\cong \operatorname {mod} ^{\mathbb {Z}}(R)\ /\ \operatorname {mod} _{\mathrm {tor} }^{\mathbb {Z}}(R)}$$

где обозначает категорию конечно-порожденных градуированных модулей над , а — подкатегория Серра, состоящая из всех тех градуированных модулей , которые равны 0 во всех достаточно высоких степенях, т.е. для которых существует такое, что для всех . ^{[4] [5]} ${\displaystyle \operatorname {mod} ^{\mathbb {Z}}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {mod} _{\mathrm {tor} }^{\mathbb {Z}}(R)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n_{0}\in {\mathbb {N}}}$ ${\displaystyle M_{n}=0}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$

Аналогичное описание существует для категории квазикогерентных пучков на , даже если не является нётеровым. ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}$ ${\displaystyle R}$

Теорема Габриэля–Попеску

Теорема Габриэля–Попеску утверждает, что любая категория Гротендика эквивалентна фактору Серра вида , где обозначает абелеву категорию правых модулей над некоторым унитальным кольцом , а является некоторой локализующей подкатегорией . [ ^6] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)/{\cal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\cal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}$

Теорема локализации Квиллена

Алгебраическая K-теория Дэниела Квиллена сопоставляет каждой точной категории последовательность абелевых групп , и это сопоставление является функториальным по . Квиллен доказал, что если — подкатегория Серра абелевой категории , то существует длинная точная последовательность вида ^[7] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle K_{n}({\mathcal {C}}),\ n\geq 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

$${\displaystyle \cdots \to K_{n}({\mathcal {B}})\to K_{n}({\mathcal {A}})\to K_{n}({\mathcal {A/B}})\to K_{n-1}({\mathcal {B}})\to \cdots \to K_{0}({\mathcal {A/B}})\to 0}$$

Ссылки

1. Раздел 12.10 Проект Stacks
2. "109.76 Категория модулей по модулю торсионных модулей". Проект Stacks .
3. Габриэль, Пьер, Des categories abeliennes , Bull. Soc. Math. France 90 (1962), 323-448.
4. Görtz, Ulrich; Wedhorn, Torsten (2020). "Замечание 13.21". Алгебраическая геометрия I: Схемы: с примерами и упражнениями (2-е изд.). Springer Nature. стр. 381. ISBN 9783658307332.
5. "Предложение 30.14.4". Проект Stacks .
6. Н. Попеско; П. Габриэль (1964). «Особенности категорий животных с генераторами и ограничениями точных индуктивностей». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 258 : 4188–4190.
7. Quillen, Daniel (1973). "Высшая алгебраическая K-теория: I" (PDF) . Высшие K-теории . Lecture Notes in Mathematics. 341 . Springer: 85–147. doi :10.1007/BFb0067053. ISBN 978-3-540-06434-3.