Эквивалентность категорий

В теории категорий , разделе абстрактной математики , эквивалентность категорий — это отношение между двумя категориями , которое устанавливает, что эти категории «по сути одинаковы». Существует множество примеров категориальных эквивалентностей из многих областей математики. Установление эквивалентности включает демонстрацию сильного сходства между рассматриваемыми математическими структурами. В некоторых случаях эти структуры могут показаться не связанными на поверхностном или интуитивном уровне, что делает это понятие довольно мощным: оно создает возможность «переводить» теоремы между различными видами математических структур, зная, что основной смысл этих теорем сохраняется при переводе.

Если категория эквивалентна противоположной (или двойственной) другой категории, то говорят о двойственности категорий и говорят, что две категории двойственно эквивалентны .

Эквивалентность категорий состоит из функтора между вовлеченными категориями, который должен иметь «обратный» функтор. Однако, в отличие от ситуации, обычной для изоморфизмов в алгебраической постановке, композиция функтора и его «обратного» не обязательно является тождественным отображением. Вместо этого достаточно, чтобы каждый объект был естественно изоморфен своему образу при этой композиции. Таким образом, можно описать функторы как «обратные с точностью до изоморфизма». Действительно, существует концепция изоморфизма категорий , где требуется строгая форма обратного функтора, но она имеет гораздо меньше практического применения, чем концепция эквивалентности .

Определение

Формально, если заданы две категории C и D , эквивалентность категорий состоит из функтора F : C → D , функтора G : D → C и двух естественных изоморфизмов ε: FG → I _D и η : I _C → GF . Здесь FG : D → D и GF : C → C обозначают соответствующие композиции F и G , а I _C : C → C и I _D : D → D обозначают тождественные функторы на C и D , сопоставляющие каждый объект и морфизм себе. Если F и G являются контравариантными функторами, то вместо этого говорят о двойственности категорий .

Часто не указываются все вышеперечисленные данные. Например, мы говорим , что категории C и D эквивалентны (соответственно дуально эквивалентны ), если между ними существует эквивалентность (соответственно дуальность). Кроме того, мы говорим, что F "является" эквивалентностью категорий, если существуют обратный функтор G и естественные изоморфизмы, как указано выше. Однако следует отметить, что знания F обычно недостаточно для реконструкции G и естественных изоморфизмов: может быть много вариантов (см. пример ниже).

Альтернативные характеристики

Функтор F : C → D задает эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда он одновременно:

полное , т.е. для любых двух объектов c ₁ и c ₂ из C , отображение Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc ₂ ), индуцированное F , является сюръективным ;
точным , т.е. для любых двух объектов c ₁ и c ₂ из C , отображение Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc ₂ ), индуцированное F , является инъективным ; и
по существу сюръективен (плотен) , т.е. каждый объект d в D изоморфен объекту вида Fc , для c в C. ^[1]

Это весьма полезный и часто применяемый критерий, поскольку не требуется явно строить «обратный» G и естественные изоморфизмы между FG , GF и тождественными функторами. С другой стороны, хотя указанные выше свойства гарантируют существование категориальной эквивалентности (при достаточно сильной версии аксиомы выбора в базовой теории множеств), недостающие данные не полностью определены, и часто существует много вариантов выбора. Хорошей идеей является явное указание недостающих конструкций, когда это возможно. Из-за этого обстоятельства функтор с этими свойствами иногда называют слабой эквивалентностью категорий . (К сожалению, это противоречит терминологии из теории гомотопий .)

Существует также тесная связь с понятием сопряженных функторов , где мы говорим, что является левым сопряженным функтором , или, аналогично, G является правым сопряженным функтором F . Тогда C и D эквивалентны (как определено выше в том смысле, что существуют естественные изоморфизмы из FG в I _D и I _C в GF ) тогда и только тогда, когда и оба F и G являются полными и точнымы. $F\dashv G$ $F:C\rightarrow D$ $G:D\rightarrow C$ $F\dashv G$

Когда сопряженные функторы не являются одновременно полными и верными, то мы можем рассматривать их отношение сопряженности как выражение "слабой формы эквивалентности" категорий. Предполагая, что заданы естественные преобразования для сопряжений, все эти формулировки допускают явное построение необходимых данных, и никакие принципы выбора не требуются. Ключевое свойство, которое здесь нужно доказать, заключается в том, что коединица сопряжения является изоморфизмом тогда и только тогда, когда правый сопряженный является полным и верным функтором. $F\dashv G$

Примеры

Рассмотрим категорию, имеющую один объект и один морфизм , и категорию с двумя объектами и четырьмя морфизмами: двумя тождественными морфизмами , и двумя изоморфизмами и . Категории и эквивалентны; мы можем (например) иметь map to и map оба объекта из в и все морфизмы в . $С$ $с$ $1_{c}$ $D$ $d_{1}$ $d_{2}$ $1_{d_{1}}$ $1_{d_{2}}$ $\альфа \двоеточие d_{1}\до d_{2}$ $\beta \colon d_{2}\to d_{1}$ $С$ $D$ $F$ $с$ $d_{1}$ $G$ $D$ $с$ $1_{c}$
Напротив, категория с одним объектом и одним морфизмом не эквивалентна категории с двумя объектами и только двумя тождественными морфизмами. Два объекта в не изоморфны в том смысле, что между ними нет морфизмов. Таким образом, любой функтор из в не будет по существу сюръективным. $С$ $E$ $E$ $С$ $E$
Рассмотрим категорию с одним объектом и двумя морфизмами . Пусть будет тождественным морфизмом на и множеством . Конечно, эквивалентно самому себе, что можно показать, взяв вместо требуемых естественных изоморфизмов между функтором и самим собой. Однако также верно, что дает естественный изоморфизм из в себя. Следовательно, учитывая информацию о том, что тождественные функторы образуют эквивалентность категорий, в этом примере все еще можно выбрать между двумя естественными изоморфизмами для каждого направления. $С$ $с$ $1_{c},f\двоеточие c\to c$ $1_{c}$ $с$ $f\circ f=1$ $С$ $1_{c}$ $\mathbf {Я} _{С}$ $f$ $\mathbf {Я} _{С}$
Категория множеств и частичных функций эквивалентна, но не изоморфна категории точечных множеств и отображений, сохраняющих точки. ^[2]
Рассмотрим категорию конечномерных вещественных векторных пространств и категорию всех вещественных матриц (последняя категория поясняется в статье об аддитивных категориях ). Тогда и эквивалентны: функтор , отображающий объект в векторное пространство , а матрицы в в соответствующие линейные отображения , является полным, точным и по существу сюръективным. $С$ $D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R})$ $С$ $D$ $G\двоеточие D\до C$ $A_{n}$ $D$ $\mathbb {R} ^{n}$ $D$
Одной из центральных тем алгебраической геометрии является двойственность категории аффинных схем и категории коммутативных колец . Функтор сопоставляет каждому коммутативному кольцу его спектр , схему, определяемую простыми идеалами кольца. Его сопряженный сопоставляет каждой аффинной схеме ее кольцо глобальных сечений. $G$ $F$
В функциональном анализе категория коммутативных C*-алгебр с единицей контравариантно эквивалентна категории компактных хаусдорфовых пространств . При этой двойственности каждое компактное хаусдорфово пространство связано с алгеброй непрерывных комплекснозначных функций на , а каждая коммутативная C*-алгебра связана с пространством своих максимальных идеалов . Это представление Гельфанда . $X$ $X$
В теории решеток существует ряд дуальностей, основанных на теоремах о представлении , которые связывают определенные классы решеток с классами топологических пространств . Вероятно, наиболее известной теоремой такого рода является теорема Стоуна о представлении для булевых алгебр , которая является частным случаем в общей схеме двойственности Стоуна . Каждая булева алгебра отображается в определенную топологию на множестве ультрафильтров . Наоборот, для любой топологии открыто-замкнутые (т.е. замкнутые и открытые) подмножества дают булеву алгебру. Получается двойственность между категорией булевых алгебр (с их гомоморфизмами) и пространствами Стоуна (с непрерывными отображениями). Другим случаем двойственности Стоуна является теорема о представлении Биркгофа, устанавливающая двойственность между конечными частичными порядками и конечными дистрибутивными решетками. $B$ $B$
Известно, что в беспредметной топологии категория пространственных локалей эквивалентна двойственной категории трезвых пространств.
Для двух колец R и S категория продукта R - Mod × S - Mod эквивалентна ( R × S )- Mod . ^{[ необходима ссылка ]}
Любая категория эквивалентна своему скелету .

Характеристики

Как правило, эквивалентность категорий сохраняет все «категориальные» понятия и свойства. Если F : C → D — эквивалентность, то все следующие утверждения верны:

объект c из C является начальным объектом (или конечным объектом , или нулевым объектом ), тогда и только тогда, когда Fc является начальным объектом (или конечным объектом , или нулевым объектом ) из D
морфизм α в C является мономорфизмом (или эпиморфизмом , или изоморфизмом ) тогда и только тогда, когда Fα является мономорфизмом (или эпиморфизмом, или изоморфизмом) в D.
функтор H : I → C имеет предел (или копредел) l тогда и только тогда, когда функтор FH : I → D имеет предел (или копредел) Fl . Это может быть применено к уравнителям , произведениям и копроизведениям среди прочих. Применяя это к ядрам и коядрам , мы видим, что эквивалентность F является точным функтором .
C является декартово замкнутой категорией (или топосом ) тогда и только тогда, когда D является декартово замкнутой категорией (или топосом).

Дуальности «переворачивают все концепции»: они превращают исходные объекты в конечные, мономорфизмы в эпиморфизмы, ядра в коядра, пределы в копределы и т. д.

Если F : C → D — эквивалентность категорий, а G ₁ и G ₂ — две обратные категории к F , то G ₁ и G ₂ естественно изоморфны.

Если F : C → D является эквивалентностью категорий, и если C является предаддитивной категорией (или аддитивной категорией , или абелевой категорией ), то D может быть превращена в предаддитивную категорию (или аддитивную категорию, или абелеву категорию) таким образом, что F становится аддитивным функтором . С другой стороны, любая эквивалентность между аддитивными категориями обязательно является аддитивной. (Заметим, что последнее утверждение неверно для эквивалентностей между предаддитивными категориями.)

Автоэквивалентность категории C — это эквивалентность F : C → C . Автоэквивалентности C образуют группу относительно композиции , если мы считаем две автоэквивалентности, которые естественно изоморфны, идентичными. Эта группа охватывает существенные «симметрии» C . (Одна оговорка: если C не является малой категорией, то автоэквивалентности C могут образовывать собственный класс , а не множество .)

Смотрите также

Ссылки

^ Маклейн (1998), Теорема IV.4.1
^ Лутц Шредер (2001). «Категории: бесплатная экскурсия». В Юргене Козловски и Остине Мелтоне (ред.). Категориальные перспективы . Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.

эквивалентность категорий в n Lab
«Эквивалентность категорий», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающего математика . Нью-Йорк: Springer. С. xii+314. ISBN 0-387-98403-8.