Исчезают в бесконечности

В математике говорят, что функция исчезает на бесконечности , если ее значения стремятся к 0 по мере того, как входные данные растут без ограничений. Существует два разных способа определить это: одно определение применяется к функциям, определенным на нормированных векторных пространствах , а другое применяется к функциям, определенным на локально компактных пространствах . Помимо этого различия, оба эти понятия соответствуют интуитивному понятию добавления точки на бесконечности и требованию, чтобы значения функции становились произвольно близкими к нулю по мере приближения к ней. Это определение можно формализовать во многих случаях, добавив (реальную) точку на бесконечности .

Определения

Говорят, что функция в нормированном векторном пространстве исчезает на бесконечности, если функция приближается к , когда входные данные растут без ограничений (то есть, как ). Или, ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(x)\to 0}$ ${\displaystyle \|x\|\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }f(x)=0}$

в частном случае функций на действительной прямой.

Например, функция

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$

определенная на действительной прямой, исчезает на бесконечности.

Альтернативно, функция на локально компактном пространстве исчезает на бесконечности , если задано любое положительное число , то существует компактное подмножество такое, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K\subseteq \Omega }$

${\displaystyle |f(x)|<\varepsilon }$

всякий раз, когда точка лежит вне ^[1] [ ^2] Другими словами, для каждого положительного числа множество имеет компактное замыкание. Для данного локально компактного пространства множество таких функций ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \left\{x\in X:\|f(x)\|\geq \varepsilon \right\}}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {K} }$

значение в котором равно или образует векторное пространство относительно поточечного скалярного умножения и сложения , которое часто обозначается ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle C_{0}(\Omega ).}$

В качестве примера можно привести функцию

${\displaystyle h(x,y)={\frac {1}{x+y}}}$

где и — действительные числа, большие или равные 1 и соответствующие точке, исчезающей на бесконечности. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 1}^{2}}$

Нормированное пространство локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно, поэтому в этом конкретном случае существуют два различных определения функции «исчезающей на бесконечности». Эти два определения могут противоречить друг другу: если в бесконечномерном банаховом пространстве , то исчезает на бесконечности по определению, но не по определению компактного множества. ${\displaystyle f(x)=\|x\|^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f(x)\|\to 0}$

Быстро уменьшается

Уточняя концепцию, можно более внимательно рассмотреть скорость исчезновения функций на бесконечности. Одной из основных интуиций математического анализа является то, что преобразование Фурье меняет условия гладкости на условия скорости исчезновения на бесконечности. Быстро убывающие тестовые функции теории сдержанного распределения являются гладкими функциями, которые

${\displaystyle O\left(|x|^{-N}\right)}$

для всех , как и , и таких, что все их частные производные также удовлетворяют тому же условию. Это условие установлено так, чтобы быть самодвойственным относительно преобразования Фурье, так что соответствующая теория распределения умеренных распределений будет иметь то же свойство. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |x|\to \infty }$

Смотрите также

• Бесконечность  – Математическое понятие
• Проективно расширенная вещественная прямая  – Действительные числа с добавленной точкой на бесконечности
• Ноль функции  – точка, в которой значение функции равно нулю.

Цитаты

1. "Функция, исчезающая на бесконечности - Энциклопедия математики". www.encyclopediaofmath.org . Получено 15.12.2019 .
2. "исчезает на бесконечности в nLab". ncatlab.org . Получено 2019-12-15 .

Ссылки

• Хьюитт, Э. и Стромберг, К. (1963). Реальный и абстрактный анализ . Springer-Verlag.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )