Крестики-нолики

Игра с карандашом и бумагой для двух игроков.

Крестики-нолики ( американский английский ), крестики-нолики ( английский Содружества ) или крестики и нолики ( канадский или ирландский английский ) — это игра с бумагой и карандашом для двух игроков, которые по очереди отмечают клетки в сетке три на три символами X или O. Игрок, которому удается разместить три своих знака в горизонтальном, вертикальном или диагональном ряду, становится победителем. Это решаемая игра с принудительной ничьей, предполагающей лучшую игру от обоих игроков.

Имена

В американском английском игра известна как «tic-tac-toe». Также может быть записана как «tick-tack-toe», «tick-tat-toe» или «tit-tat-toe». ^{[1] [2]}

В английском языке стран Содружества (особенно в британском , южноафриканском , индийском , австралийском и новозеландском английском ) игра известна как «noughts and crosses», альтернативно пишется «naughts and crosses». Это название происходит от формы знаков в игре (то есть X и O); «nought» — это еще одно название цифры ноль , в то время как «cross» относится к форме X.

Иногда крестики-нолики (где игроки продолжают добавлять «фишки») и «Трёхмерную игру Моррис» (где фишки начинают двигаться после того, как было размещено определённое количество фишек) путают друг с другом.

Геймплей

В крестики-нолики играют два игрока на сетке три на три, которые поочередно ставят знаки X и O в одну из девяти ячеек сетки.

В следующем примере первый игрок ( X ) выигрывает игру за семь шагов:

Игра в крестики-нолики, победу одержал X

Не существует общепринятого правила относительно того, кто ходит первым, но в данной статье принято, что первым ходит X.

Игроки вскоре обнаруживают, что лучшая игра с обеих сторон приводит к ничьей . Поэтому в крестики-нолики часто играют маленькие дети, которые, возможно, еще не нашли оптимальную стратегию.

Из-за простоты игры в крестики-нолики она часто используется в качестве педагогического инструмента для обучения концепциям хорошего спортивного поведения и раздела искусственного интеллекта , который занимается поиском игровых деревьев . Несложно написать компьютерную программу для идеальной игры в крестики-нолики или перечислить 765 по существу различных позиций ( сложность пространства состояний ) или 26 830 возможных игр вплоть до вращений и отражений ( сложность игрового дерева ) на этом пространстве. ^{[3] При оптимальной игре обоих игроков игра всегда заканчивается вничью, что делает} игру в крестики-нолики бесполезной . ^[4]

Структура заболеваемости крестиками-ноликами

Игру можно обобщить до m , n , k -игры , в которой два игрока поочередно размещают камни своего цвета на доске размером m на n клеток с целью получить k камней своего цвета в ряд. Крестики-нолики — это игра 3,3,3. ^[5] Обобщенные крестики-нолики Харари — это еще более широкое обобщение крестиков-ноликов. Ее также можно обобщить как игру n d , в частности, такую, в которой n = 3 и d = 2. ^[6] Ее можно обобщить еще больше, играя на произвольной структуре инцидентности , где строки — это линии , а ячейки — это точки . Структура инцидентности крестиков-ноликов состоит из девяти точек, трех горизонтальных линий, трех вертикальных линий и двух диагональных линий, причем каждая линия состоит как минимум из трех точек.

История

Игры, в которые играют на досках «три в ряд», можно проследить до Древнего Египта , ^[7] где такие игровые доски были найдены на кровельной черепице, датируемой примерно 1300 годом до нашей эры. ^[8]

Ранняя вариация крестиков-ноликов существовала в Римской империи , около первого века до нашей эры. Она называлась terni lapilli ( три камешка за раз ), и вместо того, чтобы иметь какое-либо количество фигур, у каждого игрока было только три; таким образом, им приходилось перемещать их на пустые места, чтобы продолжить игру. ^[9] Разметка игровой сетки была найдена нанесенной мелом по всему Риму. Другая тесно связанная древняя игра — это трех человек моррис , в которую также играют на простой сетке и для завершения которой требуется три фигуры в ряд, ^[10] и пикария , игра пуэблоанцев .

Различные названия игры появились позже. Первое печатное упоминание «noughts and crosses» ( nought — альтернативное слово для «zero»), британского названия, появилось в 1858 году в выпуске Notes and Queries . ^[11] Первое печатное упоминание игры под названием «tick-tack-toe» произошло в 1884 году, но относилось к «детской игре, в которую играют на доске, заключающейся в попытке с закрытыми глазами опустить карандаш на одно из чисел набора, попадание в число подсчитывается». ^{[ Эта цитата нуждается в цитате ]} «Tic-tac-toe» также может происходить от «tick-tack», названия старой версии нард, впервые описанной в 1558 году. Переименование «noughts and crosses» в «tic-tac-toe» в США произошло в 20 веке. ^[12]

В 1952 году OXO (или «Крестики-нолики» ), разработанная британским ученым-компьютерщиком Сэнди Дугласом для компьютера EDSAC в Кембриджском университете , стала одной из первых известных видеоигр. ^{[13] [14]} Компьютерный игрок мог играть в идеальные игры в крестики-нолики против человека. ^[13]

В 1975 году крестики-нолики также использовались студентами Массачусетского технологического института для демонстрации вычислительной мощности элементов Tinkertoy . Компьютер Tinkertoy, сделанный из (почти) одних только Tinkertoys, способен идеально играть в крестики-нолики. ^[15] В настоящее время он экспонируется в Музее компьютерной истории . ^[16]

Комбинаторика

Если рассматривать только состояние доски и после учета симметрии доски (т. е. вращений и отражений), то есть только 138 позиций терминальной доски. Комбинаторное исследование игры показывает, что когда «X» делает первый ход каждый раз, результаты игры следующие: ^[17]

• 91 позиция выиграна командой (X)
• 44 отдельных позиции выиграл (O)
• Разыгрываются 3 различные позиции (часто называемые «кошачьей игрой» ^[18] )

Стратегия

Оптимальная стратегия для игрока X, если он начинает с верхнего левого угла. В каждой сетке закрашенный красный X обозначает оптимальный ход, а местоположение следующего хода O дает следующую подсетку для изучения. Только две последовательности ходов O (обе начинаются с центра, сверху справа, слева посередине) приводят к ничьей, а остальные последовательности ведут к победам X.

Оптимальная стратегия для игрока О. Игрок О может добиться победы или ничьей, только если сначала сыграет в центре.

Игрок может идеально сыграть в крестики-нолики (выиграть или, по крайней мере, сыграть вничью), если каждый раз, когда наступает его очередь играть, он выбирает первый доступный ход из следующего списка, как это использовалось в программе для игры в крестики-нолики Ньюэлла и Саймона 1972 года. ^[19]

1. Выигрыш: Если у игрока выпало два камня в ряд, он может положить третий, чтобы получить три камня в ряд.
2. Блок: Если у противника есть два хода подряд, игрок должен сам сыграть третий ход, чтобы заблокировать противника.
3. Вилка: создать ситуацию, в которой у игрока есть два пути к победе (две незаблокированные линии по 2).
4. Блокировка вилки противника: Если у противника есть только одна возможная вилка, игрок должен ее заблокировать. В противном случае игрок должен заблокировать все вилки любым способом, который одновременно позволяет ему сделать две вилки подряд. В противном случае игрок должен сделать две вилки подряд, чтобы заставить противника защищаться, пока это не приведет к тому, что он сделает вилку. Например, если у «X» два противоположных угла, а у «O» — центр, «O» не должен делать угловой ход, чтобы выиграть. (Игра углового хода в этом сценарии делает вилку, чтобы «X» выиграл.)
5. Центр: Игрок отмечает центр. (Если это первый ход в игре, то угловой ход дает второму игроку больше возможностей совершить ошибку и, следовательно, может быть лучшим выбором; однако это не имеет значения для идеальных игроков.)
6. Противоположный угол: Если противник находится в углу, игрок играет в противоположном углу.
7. Пустой угол: Игрок играет в угловом квадрате.
8. Пустая сторона: Игрок играет в среднем квадрате на любой из четырех сторон.

Первый игрок, который будет обозначен как «X», имеет три возможные стратегически различные позиции для разметки во время первого хода. На первый взгляд может показаться, что существует девять возможных позиций, соответствующих девяти квадратам в сетке. Однако, вращая доску, мы обнаружим, что в первом ходу каждая угловая отметка стратегически эквивалентна любой другой угловой отметке. То же самое относится к каждой кромке (боковой средней). Со стратегической точки зрения, таким образом, существует только три возможных первых отметки: угол, край или центр. Игрок X может выиграть или заставить сыграть вничью с любой из этих начальных отметок; однако игра в углу дает противнику наименьший выбор квадратов, которые необходимо разыграть, чтобы избежать проигрыша. ^[20] Это может означать, что угол является лучшим начальным ходом для X, однако другое исследование ^[21] показывает, что если игроки не идеальны, начальный ход в центре является лучшим для X.

Второй игрок, который будет обозначен как «O», должен ответить на открывающую отметку X таким образом, чтобы избежать вынужденной победы. Игрок O должен всегда отвечать на угловое открытие центральной отметкой, а на центральное открытие угловой отметкой. На краевое открытие необходимо ответить либо центральной отметкой, либо угловой отметкой рядом с X, либо краевой отметкой напротив X. Любые другие ответы позволят X форсировать победу. После завершения открытия задача O состоит в том, чтобы следовать приведенному выше списку приоритетов, чтобы форсировать ничью, или же получить победу, если X сделает слабый ход.

Более подробно, чтобы гарантировать ничью, О следует использовать следующие стратегии:

• Если X играет угловой открывающий ход, O должен занять центр, а затем край, заставив X заблокировать в следующем ходу. Это предотвратит возникновение любых развилок. Когда и X, и O являются идеальными игроками, и X решает начать с обозначения угла, O занимает центр, а X занимает угол, противоположный исходному. В этом случае O может выбрать любой край в качестве своего второго хода. Однако, если X не является идеальным игроком и сыграл угол, а затем край, O не должен играть противоположный край в качестве своего второго хода, потому что тогда X не вынужден блокировать в следующем ходу и может сделать развилку.
• Если X играет ход открытия края, O должен занять центр или один из углов, смежных с X, а затем следовать приведенному выше списку приоритетов, уделяя особое внимание блоковым вилкам. При идеальной игре O также может форсировать ничью, взяв противоположный край от X.
• Если X делает центральный открывающий ход, O должен сделать угловой, а затем следовать приведенному выше списку приоритетов, уделяя особое внимание блок-форкам.

Когда X первым подает угловой, а O не является идеальным игроком, может произойти следующее:

• Если O отвечает центральной отметкой (лучший ход для них), идеальный игрок X займет угол, противоположный исходному. Затем O должен сыграть край. Однако, если O делает угол своим вторым ходом, идеальный игрок X отметит оставшийся угол, блокируя 3-в-ряд O и делая свою собственную вилку.
• Если O отвечает угловым знаком, X гарантированно выигрывает. Заняв любой из двух других углов, O может занять только позицию между двумя X, а затем, заняв оставшийся угол, чтобы создать вилку, X выиграет на следующем ходу.
• Если O отвечает отметкой края, X гарантированно выигрывает. Заняв центр, O может занять только угол, противоположный углу, который X играет первым, затем, взяв угол, чтобы создать вилку, X выиграет на следующем ходу.

Дополнительные подробности

Рассмотрим доску с девятью позициями, пронумерованными следующим образом:

Когда X делает 1 в качестве своего первого хода, то O должен взять 5. Затем X должен взять 9 (в этой ситуации O не должен брать 3 или 7, O должен взять 2, 4, 6 или 8):

• X1 → O5 → X9 → O2 → X8 → O7 → X3 → O6 → X4, в этой игре будет ничья.

или 6 (в этой ситуации O не должен брать 4 или 7, O должен брать 2, 3, 8 или 9. Фактически, выбор 9 — лучший ход, так как неидеальный игрок X может взять 4, а затем O может взять 7, чтобы выиграть).

• X1 → O5 → X6 → O2 → X8, тогда O не должен брать 3, или X может взять 7, чтобы выиграть, и O не должен брать 4, или X может взять 9, чтобы выиграть, O должен взять 7 или 9.
  • X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O7 → X3 → O9 → X4, в этой игре будет ничья.
  • X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O9 → X4 (7) → O7 (4) → X3, в этой игре будет ничья.
• X1 → O5 → X6 → O3 → X7 → O4 → X8 (9) → O9 (8) → X2, в этой игре будет ничья.
• X1 → O5 → X6 → O8 → X2 → O3 → X7 → O4 → X9, в этой игре будет ничья.
• X1 → O5 → X6 → O9, тогда X не должен брать 4, или O может взять 7, чтобы выиграть, X должен взять 2, 3, 7 или 8.
  • X1 → O5 → X6 → O9 → X2 → O3 → X7 → O4 → X8, в этой игре будет ничья.
  • X1 → O5 → X6 → O9 → X3 → O2 → X8 → O4 (7) → X7 (4), в этой игре будет ничья.
  • X1 → O5 → X6 → O9 → X7 → O4 → X2 (3) → O3 (2) → X8, в этой игре будет ничья.
  • X1 → O5 → X6 → O9 → X8 → O2 (3, 4, 7) → X4/7 (4/7, 2/3, 2/3) → O7/4 (7/4, 3/2, 3/2) → X3 (2, 7, 4), эта игра будет ничьей.

В обеих этих ситуациях (X выбирает 9 или 6 в качестве второго хода), X имеет ⁠1/3⁠ свойство выиграть.

Если X не идеальный игрок, X может сделать второй ход 2 или 3. Тогда эта игра будет ничьей, X не может победить.

• X1 → O5 → X2 → O3 → X7 → O4 → X6 → O8 (9) → X9 (8), в этой игре будет ничья.
• X1 → O5 → X3 → O2 → X8 → O4 (6) → X6 (4) → O9 (7) → X7 (9), в этой игре будет ничья.

Если X делает 1 дебютный ход, а O не идеальный игрок, может произойти следующее:

Хотя О занимает единственную хорошую позицию (5) в качестве первого хода, О занимает плохую позицию в качестве второго хода:

• X1 → O5 → X9 → O3 → X7, тогда X может взять 4 или 8, чтобы выиграть.
• X1 → O5 → X6 → O4 → X3, тогда X может взять 7 или 9, чтобы выиграть.
• X1 → O5 → X6 → O7 → X3, затем X может взять 2 или 9, чтобы выиграть.

Хотя О занимает хорошие позиции в первых двух ходах, О занимает плохую позицию в третьем ходе:

• X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O3 → X7, тогда X может взять 4 или 9, чтобы выиграть.
• X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O4 → X9, тогда X может взять 3 или 7, чтобы выиграть.

O занимает плохую позицию в качестве первого хода (кроме 5, все остальные позиции плохие):

• X1 → O3 → X7 → O4 → X9, тогда X может взять 5 или 8, чтобы выиграть.
• X1 → O9 → X3 → O2 → X7, тогда X может взять 4 или 5, чтобы выиграть.
• X1 → O2 → X5 → O9 → X7, тогда X может взять 3 или 4, чтобы победить.
• X1 → O6 → X5 → O9 → X3, тогда X может взять 2 или 7, чтобы выиграть.

Вариации

Многие настольные игры разделяют элемент попытки первым получить n в ряд, включая three men's morris , nine men's morris , pente , gomoku , Qubic , Connect Four , Quarto , Gobblet , Order and Chaos , Toss Across и Mojo . Крестики-нолики являются примером игры m,n,k , в которой два игрока поочередно ходят по очереди на доске m × n , пока один из них не получит k в ряд. Обобщенные крестики-нолики Харари являются еще более широким обобщением. Игру можно обобщить еще больше, играя на произвольном гиперграфе , где строки являются гиперребрами , а ячейки являются вершинами .

Другие варианты игры в крестики-нолики включают в себя:

• Трехмерные крестики-нолики на доске 3×3×3. В этой игре первый игрок легко выигрывает, играя в центре, если играют 2 человека.

Играть можно на доске 4x4 квадрата, выигрывая несколькими способами. Выигрыш может включать: 4 по прямой, 4 по диагонали, 4 в ромбе или 4 в квадрате.

Другой вариант, Qubic , играется на доске 4×4×4; он был решен Ореном Паташником в 1980 году (первый игрок может форсировать победу). ^[22] Возможны также варианты более высоких размерностей. ^[6]

• В крестиках-ноликах misère игрок выигрывает, если противник выбивает n подряд. ^[23] Игра 3×3 заканчивается вничью. В более общем смысле, первый игрок может сделать ничью или выиграть на любой доске (любого размера), длина стороны которой нечетна, сначала сыграв в центральной клетке, а затем отразив ходы противника. ^[6]

• В «диких» крестиках-ноликах игроки могут выбирать, ставить ли им X или O на каждом ходу. ^{[24] [25] [26]}
• Числовой скрэббл или Pick15 ^[27] изоморфен крестикам-ноликам, но на первый взгляд кажется совершенно другим. [ ^28] Два игрока по очереди называют число от одного до девяти. Конкретное число не может повторяться. В игре побеждает игрок, назвавший три числа, сумма которых равна 15. ^{[27] [29]} Если все числа использованы и никто не называет три числа, которые в сумме дают 15, то игра заканчивается вничью. ^[27] Нанесение этих чисел на магический квадрат 3×3 показывает, что игра в точности соответствует крестикам-ноликам, поскольку три числа будут расположены на прямой линии тогда и только тогда, когда их сумма составит 15. ^[30]

• Другая изоморфная игра использует список из девяти тщательно подобранных слов, например, «try», «be», «on», «any», «boat», «by», «ten», «or» и «fear». Каждый игрок выбирает одно слово по очереди, и чтобы выиграть, игрок должен выбрать три слова с одинаковой буквой. Слова могут быть нанесены на сетку крестиков-ноликов таким образом, что линия из трех в ряд выигрывает. ^[31]
• Числовые крестики-нолики — это разновидность игры, придуманная математиком Рональдом Грэмом . В этой игре используются числа от 1 до 9. Первый игрок играет нечетными числами, а второй — четными. Все числа можно использовать только один раз. Выигрывает игрок, который выставит 15 очков в линию (сумма 3 чисел).
• В 1970-х годах существовала игра для двух игроков, созданная Tri-ang Toys & Games, под названием Check Lines , в которой доска состояла из одиннадцати лунок, расположенных в геометрическом узоре из двенадцати прямых линий, каждая из которых содержала по три лунки. У каждого игрока было ровно пять фишек, и он играл по очереди, помещая одну фишку в любую из лунок. Победителем становился первый игрок, чьи фишки были расположены в две линии по три (которые по определению были пересекающимися линиями). Если ни один из игроков не выигрывал к десятому ходу, последующие ходы состояли в перемещении одной из своих фишек в оставшуюся пустую лунку, с ограничением, что этот ход мог быть только из соседней лунки. ^[32]
• Существует также вариант игры с классическим полем 3×3, в котором для победы необходимо составить два ряда, тогда как алгоритму противника достаточно одного. ^[33]
• Квантовые крестики-нолики позволяют игрокам размещать квантовую суперпозицию чисел на доске, то есть ходы игроков являются «суперпозициями» игр в оригинальной классической игре. Этот вариант был изобретен Алланом Гоффом из Novatia Labs. ^[34]

В популярной культуре

• Джордж Купер написал слова, а Джон Роджерс Томас написал музыку для песни «Tit, Tac, Toe» в 1876 году. ^[35]
• В 452-м выпуске This American Life ^[36] рассказывается реальная история группы адвокатов , которая пыталась добиться отмены решения штата Флорида о казни психически больного убийцы, используя в качестве доказательства курицу, играющую в крестики-нолики . Аркадные игры с курами, играющими в крестики-нолики, были популярны в середине 1970-х годов; животных обучали с помощью оперантного обусловливания ^[37] , при этом ходы выбирал компьютер и указывал курице светом, невидимым для человека-игрока. ^[38]
• В научно-фантастическом фильме 1983 года «Военные игры» глобальная термоядерная война описывается как нечто похожее на игру в крестики-нолики: если все стороны будут полномасштабно использовать свои арсеналы, используя максимально эффективные стратегии, то ни одна из сторон не победит .

Различные игровые шоу были основаны на игре «крестики-нолики» и ее вариациях: ^{[ необходима цитата ]}

• В Hollywood Squares девять знаменитостей заполняли ячейки сетки крестиков-ноликов; игроки размещали символы на доске, правильно соглашаясь или не соглашаясь с ответом знаменитости на вопрос. Вариации шоу включают Storybook Squares и Hip Hop Squares . Британская версия называлась Celebrity Squares . В Австралии были различные версии под названиями Celebrity Squares , Personality Squares и All Star Squares .
• В игре «Тик-так-доу » игроки выкладывают символы на игровое поле, отвечая на вопросы в различных категориях, которые перемешиваются после того, как оба игрока сделают по два хода.
• В игре «Обыграй учителя» участники отвечают на вопросы, чтобы выиграть ход и повлиять на сетку игры в крестики-нолики.
• В The Price Is Right несколько национальных вариантов включают ценовую игру под названием «Secret X», в которой игроки должны угадать цены двух небольших призов, чтобы выиграть X (в дополнение к одному бесплатному X), которые нужно разместить на пустой доске. Они должны разместить X в позиции, чтобы угадать местоположение титульного «секретного X», спрятанного в центральной колонке доски, и сформировать линию крестиков-ноликов по горизонтали (поперек) или диагонали (вертикальные линии не допускаются). В этом варианте игры нет O.
• В Minute to Win It , игре Ping Tac Toe, один участник играет с девятью стаканами, наполненными водой, и белыми и оранжевыми шариками для пинг-понга, пытаясь собрать три в ряд одного цвета. Они должны чередовать цвета после каждого успешного приземления и должны быть осторожны, чтобы не заблокировать себя.

Смотрите также

• Теорема Хейлса–Джеветта
• m,n,k-игра
• Числовой скрэббл

Ссылки

1. Гарсия, Дэн. "GamesCrafters: Tic-Tac-Toe". gamescrafters.berkeley.edu . Получено 8 июня 2021 г. .
2. «История игры в крестики-нолики и где она сейчас». Aurosi . 1 июля 2019 г. Получено 8 июня 2021 г.
3. Шефер, Стив (2002). "MathRec Solutions (Tic-Tac-Toe)". Математические развлечения . Архивировано из оригинала 28 июня 2013 г. Получено 18 сентября 2015 г.
4. W., Weisstein, Eric. "Крестики-нолики". mathworld.wolfram.com . Получено 12 мая 2017 г. .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Фам, Дук-Нгиа; Пак, Сон-Бэ (12 ноября 2014 г.). PRICAI 2014: Тенденции в области искусственного интеллекта: 13-я Тихоокеанская международная конференция по искусственному интеллекту. Springer. стр. 735. ISBN 978-3-319-13560-1.
6. Golomb, Solomon W.; Hales, Alfred W. (2002). "Hypercube tic-tac-toe" (PDF) . More Games of No Chance (Беркли, Калифорния, 2000) . Math. Sci. Res. Inst. Publ. 42 . Cambridge Univ. Press: 167–182. MR  1973012. Архивировано (PDF) из оригинала 6 февраля 2011 г.
7. Заславский, Клаудия (1982). Крестики-нолики: и другие игры «три в ряд» от Древнего Египта до современных компьютеров . Кроуэлл. ISBN 0-690-04316-3.
8. Паркер, Марла (1995). Она занимается математикой!: Реальные проблемы женщин на работе. Математическая ассоциация Америки. стр. 153. ISBN 978-0-88385-702-1.
9. "Крестики-нолики Древнего Рима 1-го века до н. э.". Sweetooth Design Company . Получено 4 декабря 2016 г.
10. "Morris Games". www-cs.canisius.edu . Архивировано из оригинала 13 марта 2013 г. Получено 5 сентября 2012 г.
11. Примечания и вопросы  . Серия 2. Том. VI. п. 152 – через Wikisource . [ сканирование ]
12. Оксфордского словаря английского языка для «Крестиков и ноликов», «Тик-так» и «Тик-так-нолики», dictionary.oed.com
13. Wolf, Mark JP (16 августа 2012 г.). Энциклопедия видеоигр: культура, технология и искусство игр . Greenwood Publishing Group . стр. 3–7. ISBN 978-0-313-37936-9.
14. Cohen, DS (12 марта 2019 г.). «OXO aka Noughts and Crosses». Lifewire . Получено 29 августа 2019 г. .
15. "Tinkertoys and tic-tac-toe". Архивировано из оригинала 24 августа 2007 г. Получено 27 сентября 2007 г.
16. Оригинальный компьютер Tinkertoy. 5 января 1978 г.
17. Болон, Томас (2013). Как никогда не проигрывать в крестики-нолики. BookCountry. стр. 7. ISBN 978-1-4630-0192-6.
18. Делински, Берни (21 января 2014 г.). «В поисках кота в крестиках-ноликах». timesdaily.com . Times Daily .
19. Кевин Кроули, Роберт С. Сиглер (1993). «Использование гибкой стратегии в игре в крестики-нолики для маленьких детей». Когнитивная наука . 17 (4): 531–561. doi : 10.1207/s15516709cog1704_3 .
20. Гарднер, Мартин (1988). Гексафлексагоны и другие математические развлечения. Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-28254-1.
21. Kutschera, Ant (7 апреля 2018 г.). «Лучший дебютный ход в игре в крестики-нолики». Кухня в зоопарке . Получено 29 августа 2019 г.
22. Паташник, Орен (1 сентября 1980 г.). «Qubic: 4 × 4 × 4 Tic-Tac-Toe». Mathematics Magazine . 53 (4): 202–216. doi :10.2307/2689613. ISSN  0025-570X. JSTOR  2689613.
23. Авербах, Бонни ; Чейн, Орин (2000). Решение проблем с помощью занимательной математики . Dover Publications. стр. 252. ISBN 978-0-486-40917-7.
24. Мендельсон, Эллиотт (2016). Введение в теорию игр и ее применение. CRC Press. стр. 19. ISBN 978-1-4822-8587-1.
25. "Wild Tic-Tac-Toe". Головоломки в образовании . 11 декабря 2007 г. Получено 29 августа 2019 г.
26. Эпштейн, Ричард А. (28 декабря 2012 г.). Теория азартных игр и статистическая логика. Academic Press. стр. 450. ISBN 978-0-12-397870-7.
27. Juul, Jesper (2011). Half-Real: Видеоигры между реальными правилами и вымышленными мирами. MIT Press. стр. 51. ISBN 978-0-262-51651-8.
28. Мишон, Джон А. (1 января 1967 г.). «Игра в ДЖЕМ: изоморф крестиков-ноликов». Американский журнал психологии . 80 (1): 137–140. doi :10.2307/1420555. JSTOR  1420555. PMID  6036351.
29. "TicTacToe Magic" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 20 декабря 2016 г. Получено 17 декабря 2016 г.
30. "Крестики-нолики как магический квадрат". О, Боже! Я займусь математикой! . 30 мая 2015 г. . Получено 29 августа 2019 г. .
31. Шумер, Питер Д. (2004). Математические путешествия. John Wiley & Sons. стр. 71–72. ISBN 978-0-471-22066-4.
32. "Проверьте линии". BoardGameGeek . Получено 29 августа 2019 г.
33. Дважды кресты-круги
34. Гофф, Аллан (ноябрь 2006 г.). «Квантовые крестики-нолики: обучающая метафора для суперпозиции в квантовой механике». American Journal of Physics . 74 (11). College Park, MD: Американская ассоциация учителей физики: 962–973. Bibcode : 2006AmJPh..74..962G. doi : 10.1119/1.2213635. ISSN  0002-9505.
35. "Tit, tat, toe". Библиотека Конгресса . Получено 29 августа 2019 г.
36. "452: Poultry Slam 2011". This American Life . 2 декабря 2011 г. Получено 28 мая 2016 г.
37. Триллин, Кэлвин (1 февраля 1999 г.). «The Chicken Vanishes». The New Yorker . ISSN  0028-792X . Получено 29 августа 2019 г.
38. "Почему курица выиграла игру? Кондиционирование". Star Tribune . 28 августа 2018 г. Получено 15 сентября 2019 г.

Внешние ссылки

• Словарное определение крестиков-ноликов в Викисловаре
• Медиа, связанные с Tic Tac Toe на Wikimedia Commons
• «Крестики-нолики». Wolfram MathWorld . 11 марта 2002 г.
• "этимология – Почему игра в крестики-нолики называется «кошачьей игрой?». English Language & Usage Stack Exchange . 5 марта 2014 г.– Обсуждение термина «кошачья игра» для обозначения игры в крестики-нолики.