Описательная теория множеств

В математической логике дескриптивная теория множеств ( DST ) — это изучение определенных классов « хорошо себя ведущих » подмножеств действительной прямой и других польских пространств . Помимо того, что она является одной из основных областей исследований в теории множеств , она имеет приложения к другим областям математики, таким как функциональный анализ , эргодическая теория , изучение операторных алгебр и групповых действий , а также математическая логика .

Польские пространства

Описательная теория множеств начинается с изучения польских пространств и их борелевских множеств .

Польское пространство — это топологическое пространство со счетной второй степенью , которое метризуемо с полной метрикой . Эвристически это полное сепарабельное метрическое пространство , метрика которого «забыта». Примерами являются вещественная прямая , пространство Бэра , пространство Кантора и куб Гильберта . $\mathbb {R}$ ${\mathcal {N}}$ ${\mathcal {C}}$ $I^{\mathbb {N} }$

Универсальность свойств

Класс польских пространств обладает рядом свойств универсальности, которые показывают, что при рассмотрении польских пространств определенных ограниченных форм не теряется общность.

Каждое польское пространство гомеоморфно подпространству G δ гильбертова куба , а каждое подпространство G _δ гильбертова куба является польским.
Каждое польское пространство получается как непрерывный образ пространства Бэра; фактически каждое польское пространство является образом непрерывной биекции, определенной на замкнутом подмножестве пространства Бэра. Аналогично, каждое компактное польское пространство является непрерывным образом пространства Кантора.

Благодаря этим свойствам универсальности, а также потому, что пространство Бэра обладает удобным свойством гомеоморфности , многие результаты в дескриптивной теории множеств доказываются только в контексте пространства Бэра. ${\mathcal {N}}$ ${\mathcal {N}}^{\omega }$

Множества Бореля

Класс борелевских множеств топологического пространства X состоит из всех множеств в наименьшей σ-алгебре, содержащей открытые множества X. Это означает, что борелевские множества X являются наименьшей совокупностью множеств, такой что:

Каждое открытое подмножество X является борелевским множеством.
Если A — борелевское множество, то также является . То есть класс борелевских множеств замкнут относительно дополнения. $X\setminus A$
Если A _n является борелевским множеством для каждого натурального числа n , то объединение является борелевским множеством. То есть борелевские множества замкнуты относительно счетных объединений. $\bigcup A_{n}$

Фундаментальный результат показывает, что любые два несчетных польских пространства X и Y изоморфны Борелю : существует биекция из X в Y такая, что прообраз любого борелевского множества является Борелем, а образ любого борелевского множества является Борелем. Это дает дополнительное обоснование практике ограничения внимания на пространства Бэра и Кантора, поскольку эти и любые другие польские пространства изоморфны на уровне борелевских множеств.

Иерархия Бореля

Каждое борелевское множество польского пространства классифицируется в иерархии Бореля на основе того, сколько раз операции счетного объединения и дополнения должны быть использованы для получения множества, начиная с открытых множеств. Классификация осуществляется в терминах счетных порядковых чисел . Для каждого ненулевого счетного порядкового числа α существуют классы , , и . $\mathbf {\Сигма} _{\альфа}^{0}$ $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$ $\mathbf {\Дельта} _{\альфа}^{0}$

Каждое открытое множество объявляется . $\mathbf {\Сигма} _{1}^{0}$
Множество считается множеством тогда и только тогда, когда его дополнением является . $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$ $\mathbf {\Сигма} _{\альфа}^{0}$
Множество A называется множеством , δ > 1, если существует последовательность ⟨A i _⟩ множеств, каждое из которых для некоторого λ ( i ) < δ , такое, что . $\mathbf {\Sigma } _{\delta }^{0}$ $\mathbf {\Pi } _{\lambda (i)}^{0}$ $A=\bigcup A_{i}$
Множество существует тогда и только тогда, когда оно является одновременно и . $\mathbf {\Дельта} _{\альфа}^{0}$ $\mathbf {\Сигма} _{\альфа}^{0}$ $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$

Теорема показывает, что любое множество, которое является или является , и любое множество является и и для всех α > β . Таким образом, иерархия имеет следующую структуру, где стрелки указывают включение. $\mathbf {\Сигма} _{\альфа}^{0}$ $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$ $\mathbf {\Дельта} _{\альфа +1}^{0}$ $\mathbf {\Delta } _{\beta }^{0}$ $\mathbf {\Сигма} _{\альфа}^{0}$ $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$

${\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma} _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Sigma} _{2}^{0}&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\\mathbf {\Delta} _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Delta} _{2}^{0}&&&&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\&&\mathbf {\Pi} _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Pi} _{2}^{0}&&\cdots \end{matrix}}{\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma} _{\alpha }^{0}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow \\\quad \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow \\&&\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \end{matrix}}$

Свойства регулярности борелевских множеств

Классическая дескриптивная теория множеств включает изучение свойств регулярности борелевских множеств. Например, все борелевские множества польского пространства обладают свойством Бэра и свойством совершенного множества . Современная дескриптивная теория множеств включает изучение способов, которыми эти результаты обобщаются или не обобщаются на другие классы подмножеств польских пространств.

Аналитические и коаналитические множества

Сразу за борелевскими множествами по сложности находятся аналитические множества и коаналитические множества . Подмножество польского пространства X является аналитическим, если оно является непрерывным образом борелевского подмножества некоторого другого польского пространства. Хотя любой непрерывный прообраз борелевского множества является борелевским, не все аналитические множества являются борелевскими множествами. Множество является коаналитическим, если его дополнение является аналитическим.

Проективные множества и степени Вэджа

Многие вопросы в дескриптивной теории множеств в конечном счете зависят от теоретико-множественных соображений и свойств порядковых и кардинальных чисел . Это явление особенно очевидно в проективных множествах . Они определяются через проективную иерархию на польском пространстве X :

Множество считается аналитическим, если оно является аналитическим. $\mathbf {\Сигма} _{1}^{1}$
Множество — это множество, которое является коаналитическим. $\mathbf {\Pi } _{1}^{1}$
Множество A существует , если существует подмножество B , такое, что A является проекцией B на первую координату. $\mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}$ $\mathbf {\Pi } _{n}^{1}$ $X\times X$
Множество A существует , если существует подмножество B , такое, что A является проекцией B на первую координату. $\mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}$ $\mathbf {\Sigma } _{n}^{1}$ $X\times X$
Множество — это если оно является одновременно и . $\mathbf {\Delta } _{n}^{1}$ $\mathbf {\Pi } _{n}^{1}$ $\mathbf {\Sigma } _{n}^{1}$

Как и в иерархии Бореля, для каждого n любой набор является одновременно и . $\mathbf {\Delta } _{n}^{1}$ $\mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}$ $\mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}$

Свойства проективных множеств не полностью определяются ZFC. При предположении V = L не все проективные множества обладают свойством совершенного множества или свойством Бэра. Однако при предположении проективной определенности все проективные множества обладают как свойством совершенного множества, так и свойством Бэра. Это связано с тем, что ZFC доказывает определенность Бореля , но не проективную определенность.

Существуют также общие расширения для любого натурального числа , в котором состоят из всех подмножеств lightface . ^[1] $L$ $n>2$ ${\mathcal {P}}(\omega )\cap L$ $\Delta _{n}^{1}$ $\omega$

В более общем смысле, весь набор множеств элементов польского пространства X можно сгруппировать в классы эквивалентности, известные как степени Вэджа , которые обобщают проективную иерархию. Эти степени упорядочены в иерархии Вэджа . Аксиома определенности подразумевает, что иерархия Вэджа на любом польском пространстве является обоснованной и имеет длину Θ , со структурой, расширяющей проективную иерархию.

Борелевские соотношения эквивалентности

Современное направление исследований в дескриптивной теории множеств изучает отношения эквивалентности Бореля . Отношение эквивалентности Бореля на польском пространстве X — это подмножество Бореля, которое является отношением эквивалентности на X. $X\times X$

Эффективная описательная теория множеств

Область эффективной дескриптивной теории множеств объединяет методы дескриптивной теории множеств с методами обобщенной теории рекурсии (особенно гиперарифметической теории ). В частности, она фокусируется на аналогах lightface иерархий классической дескриптивной теории множеств. Таким образом, гиперарифметическая иерархия изучается вместо иерархии Бореля, а аналитическая иерархия — вместо проективной иерархии. Это исследование связано с более слабыми версиями теории множеств, такими как теория множеств Крипке–Платека и арифметика второго порядка .

Стол

Смотрите также

Ссылки

Кехрис, Александр С. (1994). Классическая дескриптивная теория множеств . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94374-9.
Мошовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств. Северная Голландия. стр. 2. ISBN 0-444-70199-0.

Цитаты

^ В. Кановей, В. Любецкий, «О проблеме Δ n 1 {\displaystyle \Delta _{n}^{1}} Харви Фридмана. В «Математической логике и ее приложениях» (2020), DOI 10.3380/math8091477.

Внешние ссылки

Описательная теория множеств, Дэвид Маркер, 2002. Конспект лекций.